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FRW 宇宙中的测地线

5．3．1 FRW 宇宙中的测地线
下面我们以平直 FRW 时空为例讨论其中的测地线．平直 FRW 宇宙描述了一个符合宇宙学原理的均匀各向同性膨胀宇宙，其度规为

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{d} t^2+a^2(t)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right) .
$$

这并非最一般的 FRW 宇宙，为讨论简单计，我们已经假定其空间几何是平直的 ${ }^{(3)}$ 。度规中的 $a(t)$ 是一个标度因子，标志着宇宙的大小。对于不同的物质组分，标度因子或者说宇宙的演化是不同的：

$$
a(t)=t^q, 0<q<1, \begin{cases}q=\frac{2}{3}, & \text { 物质主导, } \\ q=\frac{1}{2}, & \text { 辐射主导, }\end{cases}
$$

可见宇宙总是膨胀的．当我们考虑宇宙早期，即当 $t \rightarrow 0, a(t) \rightarrow 0$ 时，就回到了宇宙大爆炸（Big Bang）奇点．因此我们要求 $0<t<\infty$ ．

我们来考虑上述时空的光锥结构．光锥可以简单地通过 $\mathrm{d} s^2=0$ 来确定．不失一般性，我们固定 $y$ 和 $z$ 从而得到

$$
\begin{aligned}
& 0=-\mathrm{d} t^2+t^{2 q} \mathrm{~d} x^2 \\
\Rightarrow & \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}= \pm t^{-q}
\end{aligned}
$$

这是正确的结果，但我们需要更让人信服的推导．令 $\widehat{V}=\left(\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\right) \partial_\mu$ 是曲线 $x^\mu(\lambda)$ 的切矢量．要得到一条类光路径，我们必须要求 $\widehat{g}(\widehat{V}, \widehat{V})=0$ ．由 1 形式与矢量间的相互
作用，

$$
\mathrm{d} t(\widehat{V})=\mathrm{d} t\left(\frac{\mathrm{~d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \partial_\mu\right)=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \mathrm{~d} t\left(\partial_\mu\right)=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial t}{\partial x^\mu}=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda},
$$

则有

$$
\mathrm{d} t^2(\widehat{V}, \widehat{V})=(\mathrm{d} t \otimes \mathrm{~d} t)(\widehat{V}, \widehat{V})=\mathrm{d} t(\widehat{V}) \mathrm{d} t(\widehat{V})=\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2
$$

同理，

$$
\mathrm{d} x^2(\widehat{V}, \widehat{V})=\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right)^2
$$

所以，要求切矢量为类光矢量意味着

$$
\widehat{g}(\widehat{V}, \widehat{V})=0 \Rightarrow 0=-\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+t^{2 q}\left(\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}= \pm t^{-q}
$$

积分以后得到

$$
t=(1-q)^{\frac{1}{1-q}}\left( \pm x-x_0\right)^{\frac{1}{1-q}}
$$
这就是零曲线满足的方程．由于 $0<q<1$ ，这条曲线在 $t=0$ 处有奇点，而且光锥在 $t=0$ 处与 $x$ 轴平行．因此两个事件点的光锥在过去不必相交．这与平直闵氏时空是不同的．

在前面对测地线的讨论中我们看到，通过对作用量的变分可以得到测地线方程．这实际上提供了一个计算联络系数的有效方法。以上面的 FRW 度规为例，

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{d} t^2+a^2(t) \delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$

其作用量为

$$
I=\frac{1}{2} \int\left[-\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2+a^2(t) \delta_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} \tau}\right] \mathrm{d} \tau
$$

对作用量进行变分，由在 $x^\mu \rightarrow x^\mu+\delta x^\mu$ 下 $\delta I=0$ ，可得测地线方程

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=0
$$

我们先考虑 $t \rightarrow t+\delta t$ ．由于 $a(t+\delta t)=a(t)+\left(a^{\prime}\right) \delta t$ ，其中 $a^{\prime}=\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{~d} t}$ ，有
$$
\begin{aligned}
\delta I & =\frac{1}{2} \int\left[-2 \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d} \delta t}{\mathrm{~d} \tau}+2 a a^{\prime} \delta_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} \tau} \delta t\right] \mathrm{d} \tau \\
& =\int\left[\frac{\mathrm{d}^2 t}{\mathrm{~d} \tau^2}+a a^{\prime} \delta_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} \tau}\right] \delta t \mathrm{~d} \tau
\end{aligned}
$$

为了使对任意的 $\delta t$ 都有 $\delta I=0$ ，积分下方括号中的项必须为零．与测地线方程比较，取 $x^\mu=t$ ，我们可以读出非零的联络系数

$$
\Gamma_{00}^0=\Gamma_{i 0}^0=0, \quad \Gamma_{i j}^0=a a^{\prime} \delta_{i j} .
$$

接下来我们考虑 $x^i \rightarrow x^i+\delta x^i$ ．这导致

$$
\begin{aligned}
\delta I & =\frac{1}{2} \int\left(2 a^2 \delta_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d}\left(\delta x^j\right)}{\mathrm{d} \tau}\right) \mathrm{d} \tau \\
& =\int\left(a^2 \frac{\mathrm{~d}^2 x^i}{\mathrm{~d} \tau^2}+2 a \frac{\mathrm{~d} a}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \tau}\right) \delta_{i j} \delta x^j \mathrm{~d} \tau
\end{aligned}
$$

由 $\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{~d} \tau}=\left(a^{\prime}\right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}$ ，我们需要

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^i}{\mathrm{~d} \tau^2}+2 \frac{a^{\prime}}{a} \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \tau}=0
$$

与测地线方程比较，得到
$$
\Gamma_{00}^i=0, \quad \Gamma_{j 0}^i=\Gamma_{0 j}^i=\frac{a^{\prime}}{a} \delta_j^i, \quad \Gamma_{j k}^i=0 .
$$

这样我们就得到了平直 FRW 时空的联络系数．利用作用量变分的方法，在时空有较好对称性时可以较方便地得到联络系数。

对于 FRW 时空中的测地线，我们特别关注零测地线．我们可以从前面的讨论中很容易得到零路径应该满足的方程

$$
0=-\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2+a^2(t) \delta_{i j} \frac{\mathrm{~d} x^i}{\mathrm{~d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} \lambda} .
$$

这并非测地线，而是任意一个零路径需要满足的方程．而由测地线方程知

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 x^0}{\mathrm{~d} \lambda^2}+\Gamma_{\rho \delta}^0 \frac{\mathrm{~d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\delta}{\mathrm{d} \lambda}=0 \\
\Rightarrow & \frac{\mathrm{~d}^2 t}{\mathrm{~d} \lambda^2}+\frac{a^{\prime}}{a}\left(\frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2=0 \\
\Rightarrow & \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\omega_0}{a},
\end{aligned}
$$
其中 $\omega_0$ 是一个常数．给定了标度因子 $a(t)$ ，我们可以求出 $t(\lambda)$ ．对于以幂次膨胀的两个膨胀阶段，$a(t)=t^q$ ，

$$
\frac{t^{q+1}-t_0^{q+1}}{q+1}=\omega_0\left(\lambda-\lambda_0\right) .
$$

初始位置在 $\lambda_0, t_0$ ，经过有限的仿射参数 $\Delta \lambda=\lambda-\lambda_0$ 到达奇点 $t=0$ 。换句话说，取有限的仿射参数我们就到达了大爆炸奇点，而没有办法把测地线继续延伸下去，即零测地线并非完备的．所以，$t=0$ 是一个真正的奇点．

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