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测地线

5.3 测 地 线

测地线是欧氏空间中＂直线＂概念在弯曲空间中的推广．首先，在欧氏空间中，两点之间线段距离最短，按照此定义，弯曲空间中两点之间距离＂最短＂的路径即测地线．这是测地线的第一种定义．因此，测地线也称作＂短程线＂．而且所谓的＂最短＂路径是指黎曼空间中的两点，或者赝黎曼流形上利用类空曲线相连的两点距离。对于赝黎曼流形中由类时曲线相连的两点，其时空距离即＂固有时＂实际上是最大的．而对于类光曲线，时空间距总为零，最长或最短是没有意义的。

另一方面，在欧氏空间中直线也可以定义为其切矢量与运动方向总是一致的。此定义在弯曲空间的推广为：测地线的切矢量沿着该曲线总是平行移动的．一条由 $x^\mu(\lambda)$刻画的曲线，其切矢量的分量为 $t^\mu=\mathrm{d} x^\mu / \mathrm{d} \lambda$ ．平行移动的定义要求

$$
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} \widehat{t}=0,
$$

或者说

$$
\nabla_{\widehat{t}} \widehat{t}=0 .
$$

利用坐标系 $\left\{x^\mu\right\}$ ，我们要求测地线满足如下测地线方程．
测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\rho \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=0
$$

测地线方程告诉我们自由粒子是如何在弯曲时空中运动的．在平直时空中，如我们取直角坐标系，测地线方程正是 $\mathrm{d}^2 x^\mu / \mathrm{d} \lambda^2=0$ ，它描述的是一条直线．局部地，我们总有 $\Gamma_{\sigma \rho}^\mu=0$ ，所以有 $\mathrm{d}^2 x^\mu / \mathrm{d} \lambda^2=0$ ．换句话说，测地线局部地看是一条直线．从测地线方程可见，它不仅对类时、类空曲线适用，也对类光曲线适用．

上面两种定义只有在我们取克里斯托弗联络时才是等价的。下面我们证明这一点。为简单计，我们考虑类时曲线．两点间的固有时定义为 $\tau=\int_{P_1}^{P_2} \mathcal{L} \mathrm{~d} \lambda$ ，其中

$$
\mathcal{L}=\sqrt{-g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}}
$$

＂最短＂或＂最长＂意味着我们固定两个端点，考虑所有可能的路径使 $\tau$ 取极值，即 $\delta \tau=0$ ．这将导致欧拉－拉格朗日方程（如果我们不加特别的边界条件）

$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu}\right)=0
$$

方程（5．67）等价于

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial \mathcal{L}^2}{\partial \dot{x}^\mu}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}^2}{\partial x^\mu}=2 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}
$$

方程（5．68）的左边为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\mu}\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right)\right)-\frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right) \\
& \quad=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(2 g_{\sigma \mu} \dot{x}^\sigma\right)+\left(\partial_\mu g_{\sigma \rho}\right) \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho \\
& \quad=\left(\partial_\mu g_{\sigma \rho}\right) \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho-2 g_{\sigma \mu} \ddot{x}^\sigma-2 \partial_\rho g_{\sigma \mu} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho \\
& \quad=-2 g_{\sigma \mu} \ddot{x}^\sigma-2 \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho \Gamma_{\mu \sigma \rho} \quad\left(\Gamma_{\mu \sigma \rho}=g_{\mu \nu}^{\prime} \Gamma_{\sigma \rho}^\nu\right)
\end{aligned}
$$

其中已经用到了克里斯托弗符号的定义．而方程（5．68）的右边为

$$
\begin{aligned}
2 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} & =2 \frac{\partial}{\partial \dot{x}^\mu}\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right)^{1 / 2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\mathrm{~d} \tau}{\mathrm{~d} \lambda}\right) \\
& =-2\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right)^{-1 / 2} g_{\mu \nu} \dot{x}^\nu \frac{\mathrm{d}^2 \tau}{\mathrm{~d} \lambda^2} \\
& =-2\left(\frac{\mathrm{~d}^2 \tau}{\mathrm{~d} \lambda^2} / \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{~d} \lambda}\right) g_{\mu \nu} \dot{x}^\nu
\end{aligned}
$$

最终，我们得到

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=\frac{\ddot{\tau}}{\dot{\tau}} \dot{x}^\mu .
$$

如果我们取 $\lambda=\tau$ ，则 $\ddot{\tau}=0$ ，我们得到了测地线方程

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=0 .
$$

更一般地，我们可以取 $\lambda=\alpha \tau+\beta$ ，也会得到同一个测地线方程

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