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测地线

5.3 测 地 线

测地线是欧氏空间中＂直线＂概念在弯曲空间中的推广．首先，在欧氏空间中，两点之间线段距离最短，按照此定义，弯曲空间中两点之间距离＂最短＂的路径即测地线．这是测地线的第一种定义．因此，测地线也称作＂短程线＂．而且所谓的＂最短＂路径是指黎曼空间中的两点，或者赝黎曼流形上利用类空曲线相连的两点距离。对于赝黎曼流形中由类时曲线相连的两点，其时空距离即＂固有时＂实际上是最大的．而对于类光曲线，时空间距总为零，最长或最短是没有意义的。

另一方面，在欧氏空间中直线也可以定义为其切矢量与运动方向总是一致的。此定义在弯曲空间的推广为：测地线的切矢量沿着该曲线总是平行移动的．一条由 $x^\mu(\lambda)$刻画的曲线，其切矢量的分量为 $t^\mu=\mathrm{d} x^\mu / \mathrm{d} \lambda$ ．平行移动的定义要求

$$
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} \widehat{t}=0,
$$

或者说

$$
\nabla_{\widehat{t}} \widehat{t}=0 .
$$

利用坐标系 $\left\{x^\mu\right\}$ ，我们要求测地线满足如下测地线方程．
测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\rho \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=0
$$

测地线方程告诉我们自由粒子是如何在弯曲时空中运动的．在平直时空中，如我们取直角坐标系，测地线方程正是 $\mathrm{d}^2 x^\mu / \mathrm{d} \lambda^2=0$ ，它描述的是一条直线．局部地，我们总有 $\Gamma_{\sigma \rho}^\mu=0$ ，所以有 $\mathrm{d}^2 x^\mu / \mathrm{d} \lambda^2=0$ ．换句话说，测地线局部地看是一条直线．从测地线方程可见，它不仅对类时、类空曲线适用，也对类光曲线适用．

上面两种定义只有在我们取克里斯托弗联络时才是等价的。下面我们证明这一点。为简单计，我们考虑类时曲线．两点间的固有时定义为 $\tau=\int_{P_1}^{P_2} \mathcal{L} \mathrm{~d} \lambda$ ，其中

$$
\mathcal{L}=\sqrt{-g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}}
$$

＂最短＂或＂最长＂意味着我们固定两个端点，考虑所有可能的路径使 $\tau$ 取极值，即 $\delta \tau=0$ ．这将导致欧拉－拉格朗日方程（如果我们不加特别的边界条件）

$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu}\right)=0
$$

方程（5．67）等价于

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial \mathcal{L}^2}{\partial \dot{x}^\mu}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}^2}{\partial x^\mu}=2 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}
$$

方程（5．68）的左边为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\mu}\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right)\right)-\frac{\partial}{\partial x^\mu}\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right) \\
& \quad=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(2 g_{\sigma \mu} \dot{x}^\sigma\right)+\left(\partial_\mu g_{\sigma \rho}\right) \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho \\
& \quad=\left(\partial_\mu g_{\sigma \rho}\right) \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho-2 g_{\sigma \mu} \ddot{x}^\sigma-2 \partial_\rho g_{\sigma \mu} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho \\
& \quad=-2 g_{\sigma \mu} \ddot{x}^\sigma-2 \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho \Gamma_{\mu \sigma \rho} \quad\left(\Gamma_{\mu \sigma \rho}=g_{\mu \nu}^{\prime} \Gamma_{\sigma \rho}^\nu\right)
\end{aligned}
$$

其中已经用到了克里斯托弗符号的定义．而方程（5．68）的右边为

$$
\begin{aligned}
2 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^\mu} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} & =2 \frac{\partial}{\partial \dot{x}^\mu}\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right)^{1 / 2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\mathrm{~d} \tau}{\mathrm{~d} \lambda}\right) \\
& =-2\left(-g_{\sigma \rho} \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho\right)^{-1 / 2} g_{\mu \nu} \dot{x}^\nu \frac{\mathrm{d}^2 \tau}{\mathrm{~d} \lambda^2} \\
& =-2\left(\frac{\mathrm{~d}^2 \tau}{\mathrm{~d} \lambda^2} / \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{~d} \lambda}\right) g_{\mu \nu} \dot{x}^\nu
\end{aligned}
$$

最终，我们得到

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=\frac{\ddot{\tau}}{\dot{\tau}} \dot{x}^\mu .
$$

如果我们取 $\lambda=\tau$ ，则 $\ddot{\tau}=0$ ，我们得到了测地线方程

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=0 .
$$

更一般地，我们可以取 $\lambda=\alpha \tau+\beta$ ，也会得到同一个测地线方程．这种类型的参数化称为仿射参数化，$\lambda$ 称为仿射参数．如果取其他的参数化方式，而曲线仍然满足（5．70）式，则它仍然是一条测地线：我们可以通过选择参数 $\lambda$ 把它变成标准的测地线方程．

对于零（null）测地线，其上任意两点间的间隔都为零，即 $\mathcal{L} \equiv 0$ 。此时固有时的概念没有意义，$\tau$ 不再是一个合适的仿射参数．但我们仍然可以做变分得到

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=f(\lambda) \dot{x}^\mu,
$$

这里 $g_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu=0$ ．如果 $f(\lambda)=0, \lambda$ 被称作仿射参数，而 $\bar{\lambda}=\alpha \lambda+\beta$ 也可以作为仿射参数．值得注意的是，在这个双参数族的仿射参数中，没有哪一个看起来比别的更好．

上面的讨论也可以利用点粒子的作用量进行。对一个质量为 $m$ 的在类时曲线上运动的粒子，其作用量可以取作

$$
I=-m \int_A^B \mathrm{~d} \tau=-m \int_A^B \sqrt{-g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}} \mathrm{~d} \lambda
$$

这个作用量使用起来并不方便，我们可以利用曲线上的标架场引进一个新的作用量

$$
I=\frac{1}{2} \int_{\lambda_A}^{\lambda_B} \mathrm{~d} \lambda\left(e^{-1}(\lambda) g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}-m^2 e(\lambda)\right),
$$

其中 $e(\lambda)$ 是一个新的独立函数，并没有动力学．通过积掉这个函数，我们可以重新得到原来的作用量．在描述曲线时我们有重参数化的自由度，该自由度等价于对函数 $e(\lambda)$的选择．实际上，对作用量（5．74）变分可得

$$
\begin{aligned}
\frac{\delta I}{\delta e}=0 & \Rightarrow e=\frac{1}{m} \frac{\mathrm{~d} \tau}{\mathrm{~d} \lambda} \\
\frac{\delta I}{\delta x^\mu}=0 & \Rightarrow \frac{\mathrm{D}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=\left(e^{-1} \frac{\mathrm{~d} e}{\mathrm{~d} \lambda}\right) \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}
\end{aligned}
$$

把（5．75）式代人（5．76）式，我们将得到前面通过对固有时直接变分得到的方程．因此，如果我们认为测地线是使作用量取极值的曲线，则一般地有

$$
\frac{\mathrm{D} t^\mu}{\mathrm{d} \lambda}=f(\lambda) t^\mu
$$

其中 $t^\mu$ 是测地线的切矢量分量，$f(\lambda)=e^{-1} \frac{\mathrm{~d} e}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\mathrm{d}^2 \tau}{\mathrm{~d} \lambda^2} / \frac{\mathrm{d} \tau}{\mathrm{d} \lambda}$ 是任意函数．$f(\lambda)$ 的任意性来自对函数 $e(\lambda)$ 的选择任意性．参数化中最自然的选择是使

$$
\frac{\mathrm{D} t^\mu}{\mathrm{d} \lambda}=0,
$$

这种参数化称为仿射参数化．对于一条类时曲线，它对应于 $e(\lambda)=$ 常数，或者

$$
\lambda \propto \tau+\text { 常数. }
$$

利用粒子作用量标架形式的一个好处是可以对（5．74）式取 $m \rightarrow 0$ 的无质量极限．
因此，如果我们考虑仿射参数化，取定 $e(\lambda)=$ 常数，则作用量（5．74）可以进一步简化．我们可以定义

$$
2 K=g_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu
$$

来得到一个新的作用量

$$
I_K=\int_{\lambda_A}^{\lambda_B} K
$$

如果 $\lambda$ 取为仿射参数，则测地线方程为

$$
\frac{\partial K}{\partial x^\mu}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{x}^\mu}\right)=0
$$

其中

$$
2 K=\left\{\begin{array}{cl}
0, & \text { 类光曲线, } \\
1, & \text { 类空曲线, } \\
-1, & \text { 类时曲线. }
\end{array}\right.
$$

在后两种情形．我们取 $\lambda$ 为距离参数 $s$ 和周有时 - ．
例 5.4 二维平面。
如果我们取笛卡儿坐标。则度规为对角形式。所不的克里斯托弗符号都为零。因此测地线方程为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} s^2}=0, \quad \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} s^2}=0
$$

其解为

$$
\begin{aligned}
& x=a_1 s+b_1 \\
& y=a_2 s+b_2
\end{aligned}
$$

消去 $s$ 以后，我们得到 $y=a x+b$ ，即一条直线．另一方面，我们也可以用极坐标来讨论此问题。由前面计算而得的联络系数，我们有测地线方程

$$
\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{~d} s^2}-r\left(\frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} s}\right)^2=0 \\
\frac{\mathrm{~d}^2 \theta}{\mathrm{~d} s^2}+\frac{2}{r} \frac{\mathrm{~d} r}{\mathrm{~d} s} \frac{\mathrm{~d} \theta}{\mathrm{~d} s}=0
\end{gathered}
$$

如果 $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s}=0$ ，则 $\theta=$ 常数，而 $r=a s+b$ 给出一条穿过原点的直线．如果 $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \neq 0$ ，则 （5．87）式可以变成

$$
\frac{\theta^{\prime \prime}}{\theta^{\prime}}+\frac{2}{r} r^{\prime}=0
$$

其中撇号代表对 $s$ 求导．对（5．88）式积分可得

$$
\ln \left|\theta^{\prime}\right|+\ln r^2=\text { 常数 } \Rightarrow r^2 \theta^{\prime}=h=\text { 常数. }
$$

由类空曲线 $2 K=1$ ，我们得

$$
r^{\prime}= \pm \frac{1}{r} \sqrt{r^2-h^2}
$$

并进一步得到

$$
\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{~d} r}= \pm \frac{h}{r \sqrt{r^2-h^2}}
$$

因此，我们最终得到了

$$
r=\frac{h}{\cos \left(\theta-\theta_0\right)}
$$

这正是极坐标下不经过原点的直线．
如果时空是静止的，即存在坐标使 $g_{0 i}=0$ 且所有的度规分量与 $x^0=t$ 无关，我们可以引进另一种变分原理．这个变分原理可以看作费马（Fermat）原理在弯曲时空中的推广．考虑在时空中连接两个事件点 $P$ 和 $Q$ 的所有零曲线，这些曲线满足

$$
0=\mathrm{d} t^2+\left(\frac{g_{i j}}{g_{00}}\right) \mathrm{d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$
因此，每一条零曲线都是由三个函数 $x^i(t)$ 来描述，而从 $P$ 到 $Q$ 需要坐标时 $\Delta t$ ．我们将证明零测地线是使坐标时取极值的曲线．利用（5．93）式，我们可以把测地线方程变为

$$
g_{i k} \frac{\mathrm{~d}^2 x^k}{\mathrm{~d} t^2}+\Gamma_{i j k} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{~d} x^k}{\mathrm{~d} t}-\Gamma_{i 00} \frac{g_{j k}}{g_{00}} \frac{\mathrm{~d} x^j}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{~d} x^k}{\mathrm{~d} t}+\frac{\mathrm{d}^2 t / \mathrm{d} \lambda^2}{(\mathrm{~d} t / \mathrm{d} \lambda)^2} g_{i k} \frac{\mathrm{~d} x^k}{\mathrm{~d} t}=0 .
$$

而测地线的零分量给出

$$
\frac{\mathrm{d}^2 t / \mathrm{d} \lambda^2}{(\mathrm{~d} t / \mathrm{d} \lambda)^2}=-2 \Gamma_{0 k 0} \frac{\mathrm{~d} x^k / \mathrm{d} t}{g_{00}}
$$

将（5．95）式代入（5．94）式，并利用克里斯托弗符号的具体表达式，可得

$$
h_{i k} \frac{\mathrm{~d}^2 x^k}{\mathrm{~d} t^2}+\frac{1}{2}\left(\partial_j h_{i k}+\partial_k h_{j i}-\partial_i h_{j k}\right) \frac{\mathrm{d} x^j}{\mathrm{~d} t} \frac{\mathrm{~d} x^k}{\mathrm{~d} t}=0
$$

其中

$$
h_{i j}=-\frac{g_{i j}}{g_{00}}
$$

这正是一个以 $h_{i j}$ 为度规的三维空间中，以 $t$ 作为仿射参数的测地线方程．因此，在一个静态时空中的零测地线可以通过以坐标时作为作用量来变分得到，
$$
\delta \int \mathrm{d} t=0
$$

这正是光学中的费马原理．这个结果表明，在三维空间中光的传播并非沿长度最短的路径，而是沿坐标时最小的路径．这是因为引力场的作用类似于提供了一种介质，这个介质的折射系数随空间变化，在其中等效的光速并非是真空中的光速．比如说，对于球对称的时空 $g_{i j}=f^2\left(x^i\right) \delta_{i j}$ ，即共形平直的空间，有

$$
\mathrm{d} t=\frac{f}{\sqrt{\left|g_{00}\right|}} \mathrm{d} l
$$

其中

$$
\mathrm{d} l^2=\delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j
$$

是通常的直角坐标线元．此时，费马原理告诉我们引力场提供的介质具有折射系数

$$
n(\boldsymbol{x})=\frac{f(\boldsymbol{x})}{\sqrt{g_{00}(\boldsymbol{x})}}
$$

折射系数的存在意味着光线会发生偏转．除此以外，它也会导致光传播中的时间延迟．
测地线的物理意义是它告诉我们自由粒子如何在弯曲时空中运动．测地线的特性 （类时、类光或类空）是不会改变的，因为平行移动保持矢量的内积．测地线是不受外力的非加速粒子的路径，也就是说粒子走测地线时，其固有加速度为零．这其实就是测地线的定义：

$$
\widehat{a}=\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \tau} \widehat{u}=0 .
$$

如果粒子还受到其他相互作用力，我们由相对论动力学 $\widehat{a}=\frac{\widehat{f}}{m}$ ，可以期待方程（5．102）的右边需要引进与 4－力相关的项，其具体形式可以通过对粒子作用量变分得到．比如对于受外加电磁力的粒子，其运动方程为

$$
\ddot{x}^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \dot{x}^\sigma \dot{x}^\rho=\frac{q}{m} F_\nu^\mu \dot{x}^\nu
$$

这时方程的右边是洛伦兹力．
类时测地线具有最大的固有时．这是因为给定一条类时曲线（无论是否是测地线），我们总可以用一个零曲线来对它进行任意精度的近似。由于零曲线的固有时为零，类时曲线可以无穷接近于零固有时，所以类时测地线的固有时无法是一个极小，而只能是一个极大．在双生子佯谬中，待在家里的人沿一条测地线运动，因此其固有时更大．这与平直时空中的结论一样．
测地线的极值是一个局部的概念，取决于初始条件．比如，在二维球面上的两点，连接它们的测地线（短程线）可以有两根，一根沿短弧，一个沿长弧，只有比较相同方向的路径才是有意义的．

测地线方程是一个二阶微分方程，给定初值，可以局部地确定测地线．我们有如下定理．

定理 在某点 $p$ 附近的测地线 $\gamma(t)$ 由其在 $p$ 点附近的行为确定，这些行为包括
（1）$\gamma(0)=p$ ，
（2）在 $p$ 点 $\gamma(t)$ 的切矢量 $v^\mu(p)$ ．
也就是说，给定初始位置 $\left.x^\mu\right|_p$ 以及初始切矢量 $\left.\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}\right|_p$ 后，测地线在该坐标卡中就被确定了。给定 $\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda}(\lambda=0)=v^\mu$ ，当 $\lambda=1$ 时，在流形 $M$ 上有唯一的一个点与出发点通过测地线相连．实际上，我们可以局域地在 $p$ 点定义一个从切空间到 $p$ 点邻域的指数映射 $\exp _p: T_p \rightarrow M$ ，其具体实现为

$$
=\quad \exp _p\left(v^\mu\right)=x^\mu(\lambda=1),
$$

其中 $x^\mu(\lambda)$ 由满足初始条件的测地线方程确定．直观上看，在 $p$ 点处我们可以取黎曼法坐标使克里斯托弗符号为零，因此测地线是由切矢量确定的一条直线。如图 5.5 所示．

![图片](/uploads/2025-11/56373d.jpg)
 
 在某点 $p$ 附近，穿过点 $p$ 的任何测地线由切矢量决定，$x^\mu(\lambda)=\lambda v^\mu$ ．取决于不同的几何，从同一点沿不同方向出发的测地线最终可能相交．比如，二维球面上从北极出发的短程线最终会在南极相交。因此，指数映射 $\exp _p: T_p \rightarrow M$ 并非 1－1 映射。此外，指数映射的值域也不必是整个流形，因为流形上可能有两个点无法通过测地线相连，比如在反德西特（anti－de Sitter，简记为 AdS）时空中。而另一方面函数域也可能不是所有的切空间，因为测地线延伸可能碰到奇点。在奇点处，无法定义指数映射。如果一个时空流形上所有的测地线都可以任意延伸下去，则流形称为测地完备的（geodesically complete），而如果某些测地线延伸碰到奇点，则流形是测地不完备的．实际上，如果发现某些测地线无法延伸下去了，可以认为时空中存在奇点。这是奇点存在的一种判据．

20 世纪60年代末，彭罗斯和霍金（Hawking）证明了对某些合理的物质组分（不含负能量），广义相对论中的时空几乎必然是测地不完备的．这个所谓的奇点定理的证明依赖于微分几何的整体分析。测地不完备的时空流形包括通常的黑洞时空以及描述我们宇宙的弗里德曼－罗伯特森－沃克尔（Friedman－Robertson－Walker，简记为 FRW）时空。由于奇点的不可避免性，彭罗斯提出了所谓的宇宙监督法则（cosmic censorship）：黑洞的奇点是看不到的，一定有视界将它保护从而使视界外的观测者无法探知奇点的存在。

利用指数映射，可以帮助我们建立局域的黎曼法坐标。在流形上一点 $p_0$ 处，我们有一组正交基矢 $\widehat{e}_\mu\left(p_0\right)$ 。考虑从 $p_0$ 处辐射出去的测地线，每一条测地线都由该点处的切矢量确定。在 $p_0$ 附近一点 $p$ ，它可以表示成
 $$
p=\mathcal{G}(\lambda ; \widehat{V})
$$

其中 $\lambda$ 是仿射参数，而 $\widehat{V}$ 是切矢量．我们总可以变化 $\widehat{V}$ 来固定 $\lambda=1$ ，而考虑所有可

能的 $\widehat{V}$ 则覆盖了 $p_0$ 的邻域中所有的点。因此，在 $p_0$ 附近的一个点 $p$ 可以表示成

$$
p=\mathcal{G}\left(1 ; x^\mu \widehat{e}_\mu\right)
$$

其中 $\left\{x^\mu\right\}$ 构成了黎曼法坐标，$p_0$ 是坐标原点．由构造，我们知道

$$
\widehat{e}_\mu=\left.\frac{\partial}{\partial x^\mu}\right|_{p_0}
$$

而曲线 $x^\mu=V^\mu \lambda$（ $V^\mu$ 是常数）是测地线，代入测地线方程可知 $\left.\Gamma_{\sigma \rho}^\mu\right|_{p_0}=0$ ．进一步地，如果考虑测地偏离方程，我们可以得到联络系数 $\Gamma_{\sigma \rho}^\mu$ 的一阶导数与黎曼张量有关．

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