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平行移动

5.2 平 行 移 动

我们先来讨论一个矢量沿着曲线的内禀导数（intrinsic derivative）．实际上，有的矢量只与粒子有关，并非在整个流形上定义，而只是沿着粒子的世界线来定义，如陀螺仪 （gyroscope）的自旋 4－矢量．我们不能简单地利用流形上的协变导数来讨论这些矢量沿世界线的变化．假设沿曲线 $\mathcal{C}$ ，我们有矢量场 $\widehat{V}(\lambda)$ ．在局部坐标系下，这个矢量可以写作 $\widehat{V}(\lambda)=V^\mu \hat{e}_\mu(\lambda)$ ，其中的 $\hat{e}_\mu(\lambda)$ 是随曲线变化的坐标基矢．这个矢量场沿曲线的变化为

$$
\begin{aligned}
\frac{D \hat{V}}{d \lambda} & =\frac{d V^\mu}{d \lambda} \hat{e}_\mu+V^\mu \frac{D \hat{e}_\mu}{d \lambda}=\frac{d V^\mu}{d \lambda} \hat{e}_\mu+V^\mu \frac{d x^\nu}{d \lambda} \nabla_\nu \hat{e}_\mu \\
& =\frac{d V^\mu}{d \lambda} \hat{e}_\mu+\Gamma_{\nu \mu}^\sigma V^\mu \hat{e}_\sigma \frac{d x^\nu}{d \lambda} \\
& =\left(\frac{d V^\mu}{d \lambda}+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma \frac{d x^\nu}{d \lambda}\right) \hat{e}_\mu \\
& =\frac{D V^\mu}{d \lambda} \hat{e}_\mu
\end{aligned}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda} & =\frac{\mathrm{d} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda}+\Gamma_{\nu \sigma}^\mu V^\sigma \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda} \\
& =\frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}\left(\nabla_\nu V^\mu\right)
\end{aligned}
$$

最后一式中用到了 $\frac{\mathrm{d} V^\mu}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{\partial V^\mu}{\partial x^\nu} \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}$ ．注意，如果矢量场 $\widehat{V}$ 只在曲线 $\mathcal{C}$ 上定义，（5．53）式最后一式中出现的协变导数是没有意义的，我们必须利用前面的定义。同理，我们也可以得到 1 形式沿曲线的内禀导数

$$
\frac{\mathrm{D} V_\mu}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} V_\mu}{\mathrm{d} \lambda}-\Gamma_{\nu \mu}^\sigma V_\sigma \frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda}
$$

对于一般的张量场，我们可以有类似的定义．比如说，对于一个 $(2,0)$ 型的张量场

$$
\widehat{T}(\lambda)=T^{\mu \nu}(\lambda) \widehat{e}_\mu(\lambda) \otimes \widehat{e}_\nu(\lambda)
$$

它沿着曲线的变化为

$$
\begin{aligned}
\frac{D \hat{T}}{\mathrm{~d} \lambda} & =\frac{d T^{\mu \nu}}{d \lambda} \hat{e}_\mu \otimes \hat{e}_\nu+T^{\mu \nu} \frac{D \hat{e}_\mu}{d \lambda} \otimes \hat{e}_\nu+T^{\mu \nu} \hat{e}_\mu \otimes \frac{D \hat{e}_\nu}{d \lambda} \\
& =\frac{d T^{\mu \nu}}{d \lambda} \hat{e}_\mu \otimes \hat{e}_\nu+T^{\mu \nu} \Gamma_{\mu \rho}^\sigma \hat{e}_\sigma \frac{d x^\rho}{d \lambda} \otimes \hat{e}_\nu+T^{\mu \nu} \Gamma_{\nu \rho}^\sigma \hat{e}_\mu \otimes \hat{e}_\sigma \frac{d x^\rho}{d \lambda} \\
& =\left(\frac{d T^{\mu \nu}}{d \lambda}+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu T^{\sigma \nu} \frac{d x^\rho}{d \lambda}+\Gamma_{\sigma \rho}^\nu T^{\mu \sigma} \frac{d x^\rho}{d \lambda}\right) \hat{e}_\mu \otimes \hat{e}_\nu
\end{aligned}
$$

写成分量的形式，我们就得到了二阶张量分量沿曲线的内禀导数

$$
\frac{\mathrm{D} T^{\mu \nu}}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} T^{\mu \nu}}{\mathrm{d} \lambda}+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu T^{\sigma \nu} \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda}+\Gamma_{\sigma \rho}^\nu T^{\mu \sigma} \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda}
$$

一旦我们有了联络，就可以定义平行移动．在平直空间中的平行移动不明显地应用了克里斯托弗联络．可以发现对于一条平直时空中闭合的曲线，沿着它平行移动一个矢量回到起始位置将不会改变这个矢量，即在曲线不同点上的矢量一直是互相平行的，如图 5．3（a）所示．而在弯曲空间中，把矢量从一点平行移动到另一点将依赖于连接这两点的路径．也就是说，没有一个自然的方式把矢量从一个切空间移动到另一个切空间，必须指定一条路径．如图5．3（b）所示，在一个球面上移动矢量．我们可以先把 $A$ 点的矢量 $\widehat{V}_A$ 沿着曲线 $A B$ 平行移动到 $B$ 点，然后沿着 $B P$ 移动到 $P$ 点得到矢量 $\widehat{V}_{B P}$ ．另一方面，我们也可以沿着曲线 $A P$ 把矢量直接移动到 $P$ 点得到矢量 $\widehat{V}_{A P}$ ．易见沿不同的路径，最后得到的矢量是不同的。

实际上，在球面上移动矢量需要很好地定义．我们的讨论基于平行移动的概念．平行移动是＂保持矢量是一个常数＂这一想法在弯曲空间中的推广．在曲线的某点给定一
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  个矢量，沿着这条曲线移动这个矢量，保持其不变，这样的移动称为平行移动（parallel transport，简记为 PT）．如图 5.4 所示．

由内禀导数的定义可知，矢量是平行移动的意味着矢量沿曲线的内禀导数为零，也就是说要求这个矢量沿曲线切矢量的协变导数为零，即

$$
\frac{\mathrm{D} \widehat{V}}{\mathrm{~d} \lambda}=0 \Rightarrow t^\mu \nabla_\mu V^\nu=0,
$$

或者简单地记为 $\nabla_{\widehat{t}} \widehat{V}=0$ ，其中 $\widehat{t}$ 是切矢量．类似地，我们可以定义任意张量的平行移动．给定一条曲线 $x^\mu(\lambda)$ ，要求张量沿这条曲线保持不变，简单地看就是要求 $\frac{\mathrm{D} \widehat{T}}{\mathrm{~d} \lambda}= \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\partial \widehat{T}}{\partial x^\mu}=0$ ．然而这不是一个张量方程．一个明显的推广是把偏导数换成协变导数，

$\partial_\mu \rightarrow \nabla_\mu$ ，由此定义沿曲线的协变导数

$$
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \nabla_\mu
$$

因此，张量沿曲线的平行移动必须满足平行移动方程

$$
\left(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} T\right)^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} \equiv \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda} \nabla_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}=0,
$$

或者简记为 $\nabla_{\widehat{t}} \widehat{T}=0$ ，其中 $\widehat{t}=\mathrm{d} / \mathrm{d} \lambda$ 是曲线的切矢量．
对于一个矢量 $V^\mu$ ，其平行移动方程为

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda} V^\mu+\Gamma_{\sigma \rho}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda} V^\rho=0
$$

这是一个一阶线性微分方程，有良好定义的初值问题：给定一条由 $x^\mu(\lambda)$ 刻画的曲线，并给定在某点处的初始矢量 $\widehat{V}_0$ ，则由上面的方程可以确定沿曲线 $\mathcal{C}$ 上的唯一矢量场 $\widehat{V}(\lambda)$ ．这由微分方程解的唯一性和存在性来保证．显然，平行移动是依赖于联络的．

如果联络是度规相容的，则度规场沿任意曲线总是平行移动的．这是由于

$$
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} g_{\mu \nu}=\frac{\mathrm{d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda} \nabla_\sigma g_{\mu \nu}=0
$$

而两个被平行移动的矢量，它们的内积是不变的：

$$
\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda}(\widehat{V} \cdot \widehat{W})=\left(\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} g_{\mu \nu}\right) V^\mu W^\nu+g_{\mu \nu} \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} V^\mu W^\nu+g_{\mu \nu} V^\mu \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} W^\nu=0
$$

因此，相对于度规相容联络的平行移动保持矢量的大小以及矢量间的正交性．

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