最后更新: 2025-11-24 12:39 查看: 78 次纠错评论(0) 课件开VIP

黎曼几何基本定理

5．1．4 黎曼几何基本定理
给定一个度规，我们可以定义一个唯一的联络．我们需要加上两个条件：
（1）无挠（torsion free）条件：$T_{\mu \nu}^\lambda=0$ 或者 $\Gamma_{\mu \nu}^\lambda=\Gamma_{\nu \mu}^\lambda$ ；
（2）度规相容条件：

$$
\nabla_\rho g_{\mu \nu}=0
$$

在局部惯性系（LIF）中，度规相容条件即 $\partial_\rho g_{\mu \nu}=0$ ，这正是定义黎曼法坐标的条件。换句话说，这个条件是黎曼法坐标条件的协变化：$\partial \rightarrow \nabla$ ．皇然，由度规相容条件有

（1）$\nabla_\rho g^{\mu \nu}=0$ ；
（2）$g_{\mu \lambda} \nabla_\rho V^\lambda=\nabla_\rho\left(g_{\mu \lambda} V^\lambda\right)=\nabla_\rho V_\mu$.
度规相容条件的一个来源是：两个矢量场 $\widehat{X}, \widehat{Y}$ 定义在某条参数化曲线上，它们的内积沿着曲线的变化如果满足

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}<\widehat{X}, \widehat{Y}>=<\nabla_{\partial / \partial t} \widehat{X}, \widehat{Y}>+<\widehat{X}, \nabla_{\partial / \partial t} \widehat{Y}>
$$

则联络满足度规相容条件．进一步地，如果我们有矢量场 $\widehat{X}, \widehat{Y}$ 和矢量 $\widehat{T}$ ，则函数 $<\widehat{X}, \widehat{Y}>$ 沿着 $\widehat{T}$ 的方向导数为

$$
\widehat{T}<\widehat{X}, \widehat{Y}>=<\nabla_{\widehat{T}} \widehat{X}, \widehat{Y}>+<\widehat{X}, \nabla_{\widehat{T}} \widehat{Y}>.
$$

黎曼几何基本定理 在一个给定的黎曼流形上，与流形上某给定度规相容的无挠联络只有一个。

证明 我们通过明显地构造出满足上面两个条件的联络系数，证明其存在性和唯一性。首先我们展开度规相容条件并轮换其指标：

$$
\begin{aligned}
\nabla_\rho g_{\mu \nu} & =\partial_\rho g_{\mu \nu}-\Gamma_{\rho \mu}^\lambda g_{\lambda \nu}-\Gamma_{\rho \nu}^\lambda g_{\mu \lambda}=0 \\
\nabla_\mu g_{\nu \rho} & =\partial_\mu g_{\nu \rho}-\Gamma_{\mu \nu}^\lambda g_{\lambda \rho}-\Gamma_{\mu \rho}^\lambda g_{\nu \lambda}=0 \\
\nabla_\nu g_{\rho \mu} & =\partial_\nu g_{\rho \mu}-\Gamma_{\nu \rho}^\lambda g_{\lambda \mu}-\Gamma_{\nu \mu}^\lambda g_{\rho \lambda}=0
\end{aligned}
$$

（5．26）式的第一式减去第二和第三式之和，得到

$$
\partial_\rho g_{\mu \nu}-\partial_\mu g_{\nu \rho}-\partial_\nu g_{\rho \mu}+2 \Gamma_{\mu \nu}^\lambda g_{\lambda \rho}=0
$$

其中我们用到了无挠条件及度规的对称性．通过（5．27）式可以很容易解出联络系数：只需要乘以 $g^{\sigma \rho}$ ，得到

$$
\Gamma_{\mu \nu}^\sigma=\frac{1}{2} g^{\sigma \rho}\left(\partial_\mu g_{\nu \rho}+\partial_\nu g_{\rho \mu}-\partial_\rho g_{\mu \nu}\right)
$$

由于度规是非简并的，所以联络系数被唯一地确定下来．这个联络系数的表达式也许是广义相对论中最重要的关系。

与此联络系数相关的联络称为克里斯托弗（Christoffel）联络，有时也称为列维－齐维塔联络或者黎曼联络。而联络系数本身被称为克里斯托弗符号，有时也记作 $\left\{\begin{array}{c}\sigma \\ \mu \nu\end{array}\right\}$ 。

联络本身并不需要一定由度规来构成，如自旋联络（spin connection）可以通过标架场来得到。而非零的联络系数并不代表时空是弯曲的，即使在平直时空中，我们也可以得到非零联络系数．比如，如果我们在二维欧氏空间中取极坐标，则联络系数非零．

另一方面，在弯曲空间中通过取定黎曼法坐标，我们总可以使联络系数在某点处为零，但无法做到在局部区域中恒为零。

在黎曼法坐标下，在某事件点 $P$ ，有

$$
\begin{aligned}
\left.g_{\mu \nu}^{\prime}\right|_P & =\eta_{\mu \nu} \\
\left.\partial_\sigma g_{\mu \nu}^{\prime}\right|_P & =0
\end{aligned}
$$

显然，如果（5．30）式成立，则联络系数 $\left.\Gamma_{\nu \sigma}^\mu\right|_P=0$ ．反过来，如果联络系数为零，则由度规相容条件知（5．30）式成立．通常称使（5．30）式成立的坐标为测地坐标，尽管它与测地线没有什么联系．假如在某坐标 $\left\{x^\mu\right\}$ 下，$P$ 点的度规并不取满足（5．29），（5．30）式的形式，而 $P$ 点的坐标为 $x_P^\mu$ ，则我们可以定义一个新的坐标系

$$
x^\mu=x^\mu-x_P^\mu+\left.\frac{1}{2} \Gamma_{\nu \sigma}^\mu\right|_P\left(x^\nu-x_P^\nu\right)\left(x^\sigma-x_P^\sigma\right),
$$

其一阶和二阶导数分别为

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\nu} & =\delta_\nu^\mu+\left.\Gamma_{\nu \sigma}^\mu\right|_P\left(x^\sigma-x_P^\sigma\right), \\
\frac{\partial^2 x^{\prime \mu}}{\partial x^\nu \partial x^\sigma} & =\left.\Gamma_{\nu \sigma}^\mu\right|_P .
\end{aligned}
$$

由联络系数在坐标变换下的行为可发现

$$
\left.\Gamma_{\nu \sigma}^{\prime \mu}\right|_P=0,
$$

也就是说，在新的坐标系下，度规场为常数．在 $P$ 点的这个坐标系就是一个测地坐标．进一步地，我们可以利用坐标变换

$$
X^{\prime \mu}=T_\nu^\mu x^{\prime \nu}
$$

把度规场对角化并使对角元变成 $\pm 1$ ，其中的变换矩阵 $T_\nu^\mu$ 是一个常数矩阵，不会破坏前面对导数的讨论．最终我们得到的坐标 $\left\{X^{\prime}\right\}$ 就是黎曼法坐标．

例 5.2 极坐标下的平面

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2 .
$$

度规逆的非零分量只有 $g^{r r}=1$ 和 $g^{\theta \theta}=r^{-2}$ ，而联络系数中

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{r r}^r= & \frac{1}{2} g^{r \rho}\left(\partial_r g_{r \rho}+\partial_r g_{\rho r}-\partial_\rho g_{r r}\right) \\
= & \frac{1}{2} g^{r r}\left(\partial_r g_{r r}+\partial_r g_{r r}-\partial_r g_{r r}\right) \\
& +\frac{1}{2} g^{r \theta}\left(\partial_r g_{r \theta}+\partial_r g_{\theta r}-\partial_\theta g_{r r}\right) \\
= & \frac{1}{2}(1)(0+0-0)+\frac{1}{2}(0)(0+0-0) \\
= & 0,
\end{aligned}
$$

而

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{\theta \theta}^r & =\frac{1}{2} g^{r \rho}\left(\partial_\theta g_{\theta \rho}+\partial_\theta g_{\rho \theta}-\partial_\rho g_{\theta \theta}\right) \\
& =\frac{1}{2} g^{r r}\left(\partial_\theta g_{\theta r}+\partial_\theta g_{r \theta}-\partial_r g_{\theta \theta}\right) \\
& =\frac{1}{2}(1)(0+0-2 r) \\
& =-r
\end{aligned}
$$

最终我们发现

$$
\begin{aligned}
& \Gamma_{\theta r}^r=\Gamma_{r \theta}^r=0, \\
& \Gamma_{r r}^\theta=0, \\
& \Gamma_{r \theta}^\theta=\Gamma_{\theta r}^\theta=\frac{1}{r}, \\
& \Gamma_{\theta \theta}^\theta=0 .
\end{aligned}
$$

例 5.3 弯曲时空中的散度

$$
\nabla_\mu V^\mu=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu\left(\sqrt{|g|} V^\mu\right)
$$

证明（5．39）式左边有

$$
\nabla_\mu V^\mu=\partial_\mu V^\mu+\Gamma_{\mu \lambda}^\mu V^\lambda
$$

我们需要一个关键的式子

$$
\Gamma_{\mu \lambda}^\mu=\frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\lambda \sqrt{|g|}
$$

我们先证明（5．41）式．由克里斯托弗符号的定义，我们知道

$$
\Gamma_{\mu \lambda}^\mu=\frac{1}{2} g^{\mu \rho}\left(\partial_\mu g_{\rho \lambda}+\partial_\lambda g_{\mu \rho}-\partial_\rho g_{\mu \lambda}\right)=\frac{1}{2} g^{\mu \rho} \partial_\lambda g_{\mu \rho}
$$

（5．42）式第一个等号右边括号中第一和第三项是关于 $(\mu, \rho)$ 反对称的，而括号外度规的逆对 $(\mu, \rho)$ 是全对称的，因此求和后为零．

引理 对于一个一般的矩阵 $M(x)$ ，有

$$
\operatorname{Tr}\left(M^{-1} \partial_\lambda M\right)=\partial_\lambda \ln (\operatorname{Det} M)
$$

引理的证明 考虑一个一般的变分

$$
\begin{aligned}
\delta \ln \operatorname{Det} M & =\ln \operatorname{Det}(M+\delta M)-\ln \operatorname{Det} M \\
& =\ln \operatorname{Det} M^{-1}(M+\delta M) \\
& =\ln \operatorname{Det}\left(1+M^{-1} \delta M\right) \\
& \sim \ln \left(1+\operatorname{Tr}\left(M^{-1} \delta M\right)\right) \quad(\text { 保留领头阶 }) \\
& \sim \operatorname{Tr}\left(M^{-1} \delta M\right) .
\end{aligned}
$$

如果这样的变分是相对于 $x^\lambda$ ，则在（5．44）式两边对 $x^\lambda$ 取导数，即 $\delta \rightarrow \frac{\delta}{\delta x^\lambda}$ ，我们得到关于矩阵的等式．引理得证．

在（5．43）式中令 $M=g_{\mu \nu}$ ，则有

$$
g^{\mu \rho} \frac{\partial g_{\mu \rho}}{\partial x^\lambda}=\frac{\partial}{\partial x^\lambda} \ln g=\frac{2}{\sqrt{|g|}} \partial_\lambda \sqrt{|g|}
$$

这证明了关键关系（5．41），从而证明了关于散度的等式（5．39）．
由（5．39）式，很容易得到标量函数的拉普拉斯算子作用

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 \Phi & =\nabla^\mu \nabla_\mu \Phi \\
& =\frac{1}{\sqrt{|g|}} \partial_\mu\left(\sqrt{|g|} \partial^\mu \Phi\right)
\end{aligned}
$$

这里的讨论适用于任何维度以及具有任何号差的度规，只需要把上面的 $|g|$ 理解为度规场行列式的绝对值即可．实际上，该关系式在多变量微积分的矢量分析中已经开始使用．例如考虑三维欧氏空间中球坐标下的拉普拉斯算子．球坐标下的度规为

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} r^2+r^2\left(\mathrm{~d} \theta^2+\sin ^2 \theta \mathrm{~d} \phi^2\right),
$$

则拉普拉斯算子对标量函数的作用为

$$
\begin{aligned}
\nabla^2 \Phi & =\nabla^i \nabla_i \Phi \\
& =\frac{1}{r^2} \partial_r\left(r^2 \partial_r \Phi\right)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \partial_\theta\left(\sin \theta \partial_\theta \Phi\right)+\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \partial_\phi^2 \Phi
\end{aligned}
$$

利用散度的定义，我们可以直接把高斯定理推广到弯曲时空．不妨假定我们在一个 4 维时空中，其固有体积元为 $\sqrt{|g|} \mathrm{d}^4 x$ 。考虑一个时空区域 $\Sigma$ ，它具有边界 $\partial \Sigma$ ，则有

$$
\int_{\Sigma} \sqrt{|g|} \mathrm{d}^4 x\left(\nabla_\mu J^\mu\right)=\int_{\partial \Sigma}|\gamma|^{1 / 2} \mathrm{~d}^3 y\left(n_\mu J^\mu\right)
$$

其中 $\gamma$ 是在边界面 $\partial \Sigma$ 上的诱导度规，$y^i$ 是边界面上的坐标，而 $n_\mu$ 是垂直于边界面的外向、归一化法余矢量分量．注意在上面的积分中，并不要求 $J^\mu$ 是一个4－矢量的分量，只要是一组四个函数即可。如果流形是无边界的，则上面的积分为零。

而对于通常矢量分析中的旋度计算，

$$
\begin{aligned}
(\operatorname{curl} \widehat{V})_{\mu \nu} & =\nabla_\mu V_\nu-\nabla_\nu V_\mu \\
& =\partial_\mu V_\nu-\partial_\nu V_\mu,
\end{aligned}
$$

可见与联络系数相关的项都消失了，因此看起来与度规没有关系．实际上，（5．50）式最后一行正好是矢量的外微分2形式 $\mathrm{d} \widehat{V}$ 的分量，即

$$
(\mathrm{d} \widehat{V})_{\mu \nu}=\partial_\mu V_\nu-\partial_\nu V_\mu=\nabla_\mu V_\nu-\nabla_\nu V_\mu
$$

外导数是与联络选择无关的运算，即使不存在任何联络，也可以由外导数运算定义好的张量．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：张量的协变导数

下一篇：平行移动

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)