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张量的协变导数

5．1．3 张量的协变导数
前面对仿射联络的定义和讨论可以推广到一般的张量上．此时我们有映射 $\nabla$ ： $\chi(M) \otimes(k, l)$ 张量 →（ $k, l$ ）张量，满足

（1）线性：$\nabla_{\widehat{X}}(\widehat{T}+\widehat{S})=\nabla_{\widehat{X}} \widehat{T}+\nabla_{\widehat{X}} \widehat{S}$ ；
（2）莱布尼茨法则：$\nabla_{\widehat{X}}(\widehat{T} \otimes \widehat{S})=\nabla_{\widehat{X}} \widehat{T} \otimes \widehat{S}+\widehat{T} \otimes \nabla_{\widehat{X}} \widehat{S}$ ．
对于标量函数，$\nabla_\mu f=\partial_\mu f$ 。此外，我们还要求协变导数的运算与张量收缩可以对易： $\nabla_\mu \delta_\beta^\alpha=0$ ．由此我们可以推导出 1 形式上的协变导数．考虑一个标量函数 $\langle\widehat{\omega}, \widehat{Y}\rangle$ 上的协变导数

$$
\begin{aligned}
\widehat{X}[\langle\widehat{\omega}, \widehat{Y}\rangle] & =\nabla_{\widehat{X}}\langle\widehat{\omega}, \widehat{Y}\rangle \\
& =\left\langle\nabla_{\widehat{X}} \widehat{\omega}, \widehat{Y}\right\rangle+\left\langle\widehat{\omega}, \nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}\right\rangle .
\end{aligned}
$$

为简单计，我们取 $\widehat{X}=\widehat{e}_\mu, \widehat{Y}=\widehat{e}_\nu$ ，则有

$$
\begin{aligned}
\partial_\mu \omega_\nu & =\left\langle\nabla_\mu \widehat{\omega}, \widehat{e}_\nu\right\rangle+\left\langle\widehat{\omega}, \Gamma_{\mu \nu}^\sigma \widehat{e}_\sigma\right\rangle \\
& =\left(\nabla_\mu \widehat{\omega}\right)_\nu+\omega_\sigma \Gamma_{\mu \nu}^\sigma,
\end{aligned}
$$

所以

$$
\left(\nabla_\mu \widehat{\omega}\right)_\nu=\partial_\mu \omega_\nu-\omega_\sigma \Gamma_{\mu \nu}^\sigma .
$$

如果 $\widehat{\omega}=\mathrm{d} x^\nu$ ，则我们可以定义 $\nabla_\mu \mathrm{d} x^\nu=\widetilde{\Gamma}_{\mu \lambda}^\nu \mathrm{d} x^\lambda$ ，这里 $\widetilde{\Gamma}_{\mu \lambda}^\nu$ 给出了1形式上的联络系数，即告诉我们 1 形式基底是如何沿着不同方向变化的．考虑关系式

$$
\nabla_\mu\left(\left\langle\mathrm{d} x^\nu, \hat{e}_\sigma\right\rangle\right)=\nabla_\mu \delta_\sigma^\nu=0 .
$$

关系式左边的张量可以分别做协变导数，得到

$$
\begin{aligned}
0 & =\left\langle\nabla_\mu \mathrm{d} x^\nu, \hat{e}_\sigma\right\rangle+\left\langle\mathrm{d} x^\nu, \nabla_\mu \hat{e}_\sigma\right\rangle \\
& =\widetilde{\Gamma}_{\mu \lambda}^\nu \delta_\sigma^\lambda+\Gamma_{\mu \sigma}^\lambda \delta_\lambda^\nu \\
& =\widetilde{\Gamma}_{\mu \sigma}^\nu+\Gamma_{\mu \sigma}^\nu .
\end{aligned}
$$

因此，我们有 $\widetilde{\Gamma}_{\mu \sigma}^\nu=-\Gamma_{\mu \sigma}^\nu$ ，所以，$\nabla_\mu \mathrm{d} x^\nu=-\Gamma_{\mu \lambda}^\nu \mathrm{d} x^\lambda$ ．
对于一般的张量，由仿射联络的定义和联络系数，我们可以很容易得到其上的协变导数．对一个 $(k, l)$ 张量，$\widehat{T}=T^{\mu_1 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \cdots \nu_l} \widehat{e}_{\mu_1} \otimes \cdots \otimes \widehat{e}_{\mu_k} \otimes \widehat{\theta}^{\nu_1} \otimes \cdots \otimes \widehat{\theta}^{\nu_l}$ ．当协变导数作用在其上时，首先作用在分量函数上，然后分别一一作用在基矢上．对每一个矢量基矢 $\hat{e}$ ，得到一个正 $\Gamma$ ，而对每一个 1 形式基底 $\hat{\theta}$ ，得到一个负 $\Gamma$ ．把所有的贡献都考虑，最终我们得到

$$
\nabla_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}=\partial_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}
$$

$$
\begin{aligned}
& +\Gamma_{\sigma \lambda}^{\mu_1} T^{\lambda \mu_2 \cdots \mu_k} \nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l+\Gamma_{\sigma \lambda}^{\mu_2} T^{\mu_1 \lambda \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l}+\cdots \\
& -\Gamma_{\sigma \nu_1}^\lambda T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\lambda \nu_2 \cdots \nu_l}-\Gamma_{\sigma \nu_2}^\lambda T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \lambda \cdots \nu_l}-\cdots
\end{aligned}
$$

有时候在文献中也会见到另一套约定：逗号代表偏导数，而分号代表协变导数：

$$
\nabla_\sigma T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l} \equiv T^{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_k}{ }_{\nu_1 \nu_2 \cdots \nu_l ; \sigma} .
$$

在四维中，联络系数 $\Gamma_{\mu \nu}^\lambda$ 似乎有 $4^3=64$ 个独立分量．而且，这个联络系数并不唯一，可以有很多选择，这里我们不做进一步的讨论．然而在广义相对论中，我们将证明每一个度规都定义唯一一个联络．首先，我们注意到，如果有两种联络，则它们的联络系数之差是一个 $(1,2)$ 型张量．也就是说，如果我们有两组联络系数 $\Gamma_{\mu \nu}^\lambda$ 和 $\widehat{\Gamma}_{\mu \nu}^\lambda$ ，则它们之差 $T_{\mu \nu}^\lambda=\Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\widehat{\Gamma}_{\mu \nu}^\lambda$ 在坐标变换下的变换为

$$
\begin{aligned}
T_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}^{\lambda^{\prime}}= & \Gamma_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}^{\lambda^{\prime}}-\widehat{\Gamma}_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}^{\lambda^{\prime}} \\
= & \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \frac{\partial x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^\lambda} \Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \frac{\partial^2 x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \\
& -\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \frac{\partial x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^\lambda} \widehat{\Gamma}_{\mu \nu}^\lambda+\frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \frac{\partial^2 x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \\
= & \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \frac{\partial x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^\lambda}\left(\Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\widehat{\Gamma}_{\mu \nu}^\lambda\right) \\
= & \frac{\partial x^\mu}{\partial x^{\mu^{\prime}}} \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\nu^{\prime}}} \frac{\partial x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^\lambda} T_{\mu \nu}^\lambda,
\end{aligned}
$$

因此 $T_{\mu \nu}^\lambda$ 是一个 $(1,2)$ 型张量．实际上，任何联络都可以写作某个联络再加上一个张量修正项．另一方面，如果 $\Gamma_{\mu \nu}^\lambda$ 是一个联络系数，$\Gamma_{\nu \mu}^\lambda$ 也是一个联络系数。由此，我们可以得到一个所谓的挠率张量

$$
T_{\mu \nu}^\lambda=\Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\Gamma_{\nu \mu}^\lambda=2 \Gamma_{[\mu \nu]}^\lambda
$$

准确地说，上面的表达式只在取坐标基时才成立．挠率张量的形式定义将在后面给出．

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