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协变导数和仿射联络

第五章 联络与测地线

我们已经看到对于一般的张量场，偏导数作用以后得到的并非是一个新的张量．我们需要慎重地考虑在弯曲空间中如何比较张量场，如何定义合适的导数运算．在本章中，我们将引进仿射联络（affine connection）的概念，定义协变导数，讨论如何通过平行移动来比较不同点间的矢量和张量。我们将证明黎曼几何的基本定理，描述自由点粒子在弯曲时空中的运动，即测地运动．在本章的最后，我们将介绍另外两种有用的导数运算．
5.1 协变导数和仿射联络

在平直空间中，矢量总是在空间内，有起点也有终点．此时比较两个矢量只需把它们的起点拉到一起就可以了。而在弯曲空间中，矢量是局域的，如何比较两个点间的矢量场是一个很微妙的问题。我们需要想办法把两点间的矢量场放到一个点上来比较。一种办法是通过某条路径连接两点，然后通过平行移动矢量来实现这一点．这样的话，矢量场间的比较还依赖于连接两点的路径选择。

我们先来看一个大家熟知的例子．在二维平面上运动的粒子，其速度场切于粒子的运动轨迹： $\boldsymbol{v}=v^r \boldsymbol{e}_r+v^\phi \boldsymbol{e}_\phi$ ，其中 $\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\phi$ 分别是沿径向和角向的单位矢量。如果我们关心粒子的加速度，需要知道速度场如何变化．加速度矢量为

$$
\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v^r}{\mathrm{~d} t} \boldsymbol{e}_r+\frac{\mathrm{d} v^\phi}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{e}_\phi+v^r \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_r}{\mathrm{~d} t}+v^\phi \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_\phi}{\mathrm{d} t} .
$$

由于 $\mathrm{d} e_r / \mathrm{d} t=\omega e_\phi=(\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} t) e_\phi$ 以及 $\mathrm{d} e_\phi / \mathrm{d} t=-\omega e_r=-(\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} t) e_r$ ，加速度矢量有分量

$$
\begin{aligned}
& a^r=\frac{\mathrm{d} v^r}{\mathrm{~d} t}-v^\phi \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{~d} t^2}-r\left(\frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}\right)^2 \\
& a^\phi=\frac{\mathrm{d} v^\phi}{\mathrm{d} t}+v^r \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(r \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}\right) .
\end{aligned}
$$

从以上的分析可以看到，矢量的变化依赖于路径．更重要的是，基矢沿着曲线也是变化的，如图 5.1 所示．

指定一条路径，它局部地可以通过其切矢量 $\widehat{t}$ 来刻画．也就是说，在很小的局域，曲线可以通过直线来近似，而直线是由切矢量给出的．相对于这条路径，矢量场的变化

![图片](/uploads/2025-11/b13e1b.jpg)
 
 是

$$
\nabla_{\hat{t}} \widehat{V}\left(x^\mu\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\left[\widehat{V}\left(x^\mu+t^\mu \epsilon\right)\right]_{\text {平移至 } x^\mu}-\widehat{V}\left(x^\mu\right)}{\epsilon}
$$

这里的关键点是我们必须在同一点比较矢量才有意义。我们把在点 $x^\mu+t^\mu \epsilon$ 的矢量移动到点 $x^\mu$ 是通过平行移动来实现的．局部地看，平行移动的含义就是字面上的意思：沿着切矢，把矢量从一点平行移动到另一点．在局部直角坐标系中，$\left(\nabla_{\hat{t}} \widehat{V}\right)^\alpha=t^\beta \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}$ ，即 $\nabla_\beta V^\alpha=\frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}$ ．然而，即使在平直空间中，如果我们用极坐标，这个定义式也需要小心地处理，因为基矢有可能发生变化．我们在上面的例子中已经看到了这一点．上面关于协变导数的定义是没有问题的，但是要得到正确的协变导数，我们需要考虑基矢的变化．也就是说，矢量和张量的协变导数，不只与矢量和张量本身有关，也与刻画路径的切矢量有关．

5．1．1 仿射联络
我们先从矢量的协变微分开始．我们可以形式地定义仿射联络：一个仿射联络是一个映射
 $$
\nabla: \chi(M) \otimes \chi(M) \rightarrow \chi(M),
$$

其中 $\chi(M)$ 是流形 $M$ 上任意一个矢量场，也就是说由两个矢量场映射到一个矢量场，

$$
(\widehat{X}, \widehat{Y}) \rightarrow \nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}, \quad \widehat{X}, \widehat{Y} \in \chi(M)^{\prime}
$$

这个映射应该满足如下条件：
（1）$\nabla_{\widehat{X}}(\widehat{Y}+\widehat{Z})=\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}+\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Z}$ ，
（2）$\nabla_{(\widehat{X}+\widehat{Y})} \widehat{Z}=\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Z}+\nabla_{\widehat{Y}} \widehat{Z}$ ，
（3）$\nabla_{f \widehat{X}} \widehat{Y}=f \nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}$ ，
（4）$\nabla_{\widehat{X}}(f \widehat{Y})=\widehat{X}[f] \widehat{Y}+f \nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}$ ，
其中 $f \in \mathcal{F}(M)$ 是 $M$ 上的任意函数，而 $\widehat{X}, \widehat{Y}, \widehat{Z} \in \chi(M)$ ．

我们可以把 $\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}$ 理解为矢量 $\widehat{Y}$ 沿着切矢量 $\widehat{X}$ 的变化，它给出一个新的矢量．上面的条件中头两条很容易理解，来自矢量的叠加原理，第三个条件说明切矢量的方向是关键，而非其大小，最后一个条件说明我们必须考虑函数 $f$ 的方向导数。注意 $\widehat{X}[f]=X^\mu \partial_\mu f$ ，即切矢量场 $\widehat{X}$ 对函数 $f$ 的作用是函数 $f$ 沿着矢量 $\widehat{X}$ 的方向导数。

给定了一个联络 $\nabla$ 的光滑流形 $(M, \nabla)$ 称为一个仿射联络空间，其中可以定义协变导数．$\nabla_{\hat{X}} \widehat{Y}$ 称为矢量场 $\widehat{Y}$ 沿着切矢量 $\widehat{X}$ 的协变导数（或协变微商）．

从上面的定义可见，仿射联络中最重要的部分来自一个基矢如何沿着不同方向变化．取定流形上的一个坐标卡 $(U, \varphi)$ ，有坐标 $x=\varphi(p)$ ，则定义

$$
\nabla_\mu \widehat{e}_\nu \equiv \nabla_{\widehat{e}_\mu} \widehat{e}_\nu=\widehat{e}_\lambda \Gamma_{\mu \nu}^\lambda,
$$

其中 $\Gamma_{\mu \nu}^\lambda$ 称为联络系数 ${ }^{(1)}$ ，它告诉我们基矢从一点到另一点是如何变化的，包含着基矢沿不同方向扭曲、偏转、扩大和缩小的信息．显然，联络系数与坐标选择有关，即与基矢的选择有关．我们很快将看到它并非一个张量．

例 5.1 二维平面在极坐标下的联络系数。
考虑一个二维平直空间，其在极坐标下的度规为
$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} \rho^2+\rho^2 \mathrm{~d} \phi^2
$$

在极坐标下的基矢为

$$
\widehat{e}_\rho=\cos \phi \widehat{e}_x+\sin \phi \widehat{e}_y, \quad \widehat{e}_\phi=-\rho \sin \phi \widehat{e}_x+\rho \cos \phi \widehat{e}_y,
$$

则基矢的变化为

$$
\frac{\partial \widehat{e}_\rho}{\partial \rho}=0, \quad \frac{\partial \widehat{e}_\rho}{\partial \phi}=-\sin \phi \widehat{e}_x+\cos \phi \widehat{e}_y=\frac{1}{\rho} \widehat{e}_\phi
$$

同样我们有

$$
\frac{\partial \widehat{e}_\phi}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho} \widehat{e}_\phi, \quad \frac{\partial \widehat{e}_\phi}{\partial \phi}=-\rho \widehat{e}_\rho
$$
因此，联络系数为

$$
\begin{gathered}
\Gamma_{\rho \rho}^\rho=\Gamma_{\rho \rho}^\phi=\Gamma_{\rho \phi}^\rho=\Gamma_{\phi \rho}^\rho=\Gamma_{\phi \phi}^\phi=0 \\
\Gamma_{\rho \phi}^\phi=\Gamma_{\phi \rho}^\phi=\frac{1}{\rho}, \quad \Gamma_{\phi \phi}^\rho=-\rho .
\end{gathered}
$$

在这个简单的例子中，我们可以很容易地确定基矢及其变化，但对于一般的弯曲空间，这样的计算并不容易实现．

5．1．2 矢量的协变导数
利用联络系数，我们可以讨论一般的矢量如何沿不同方向变化：

$$
\begin{aligned}
\nabla_{\widehat{V}} \widehat{W} & =V^\mu \nabla_{\widehat{e}_\mu}\left(W^\nu \widehat{e}_\nu\right) \\
& =V^\mu\left(\widehat{e}_\mu\left[W^\nu\right] \widehat{e}_\nu+W^\nu \nabla_{\widehat{e}_\mu}\left(\widehat{e}_\nu\right)\right) \\
& =V^\mu\left(\frac{\partial W^\lambda}{\partial x^\mu}+W^\nu \Gamma_{\mu \nu}^\lambda\right) \widehat{e}_\lambda \\
& =V^\mu \nabla_\mu W^\lambda \widehat{e}_\lambda
\end{aligned}
$$

其中

$$
\nabla_\mu W^\lambda=\left(\nabla_\mu \widehat{W}\right)^\lambda=\frac{\partial W^\lambda}{\partial x^\mu}+W^\nu \Gamma_{\mu \nu}^\lambda
$$

是矢量 $\nabla_\mu \widehat{W}$ 的第 $\lambda$ 分量。通常称 $\nabla_\mu W^\lambda$ 为矢量的协变导数．前面我们已经看到 $\partial_\mu W^\lambda$ 并非张量，而现在定义的 $\nabla_\mu W^\lambda$ 确定是一个张量 ${ }^{(2)}$ 。

我们回到前面通过平行移动对协变导数的定义，如图 5.2 所示，取定坐标后，我们在 $x^\nu$ 和 $x^\nu+\Delta x^\nu$ 处分别有矢量 $V^\mu(x)$ 和 $V^\mu(x+\Delta x)$ 。为了比较两者，我们需要给出一条路径把矢量移到同一点．如果这两点足够近，局部平直，这两点间的直线即给出了切矢．比如说，我们把 $V^\mu(x)$ 移到 $x^\nu+\Delta x^\nu$ ，记为 $\widetilde{V}(x+\Delta x)$ ．这样的移动要保证：
（1）$\tilde{V}^\mu(x+\Delta x)-V^\mu(x) \propto \Delta x$ ，即变化很小；
（2）$\left(\tilde{V}^\mu+\widetilde{W}^\mu\right)(x+\Delta x)=\tilde{V}^\mu(x+\Delta x)+\widetilde{W}^\mu(x+\Delta x)$ ．
考虑到在不同点基矢的变化，我们取

$$
\widetilde{V}^\mu(x+\Delta x)=V^\mu(x)-V^\lambda(x) \Gamma_{\nu \lambda}^\mu(x) \Delta x^\nu
$$

![图片](/uploads/2025-11/b96b69.jpg)
 
 显然，第二项来自基矢的变化．这个取法与前面定义的仿射联络是一致的，与 $\Delta x^\nu$ 成正比来自仿射联络的性质。因此，协变导数为

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{D} \widehat{V}}{\mathrm{~d} x^\nu} & =\lim _{\Delta x^\nu \rightarrow 0} \frac{V^\mu(x+\Delta x)-\widetilde{V}^\mu(x+\Delta x)}{\Delta x^\nu} \frac{\partial}{\partial x^\mu} \\
& =\left(\frac{\partial V^\mu}{\partial x^\nu}+V^\lambda \Gamma_{\nu \lambda}^\mu\right) \frac{\partial}{\partial x^\mu}
\end{aligned}
$$

即 $\nabla_\nu V^\mu=\frac{\partial V^\mu}{\partial x^\nu}+\Gamma_{\nu \lambda}^\mu V^\lambda$ ，与前面的讨论一致．
联络系数依赖坐标的选择，可以证明它并非张量．考虑两个有重叠的坐标卡：坐标为 $\left(x^\mu, \widehat{e}_\mu\right)$ 的 $(U, \varphi)$ ，以及坐标为 $\left(y^\alpha, \widehat{f}_\alpha\right)$ 的 $(V, \psi)$ ．在 $y$ 坐标中，联络系数 $\widetilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^\gamma$ 由 $\nabla_{\widehat{f}_\alpha} \widehat{f}_\beta=\widetilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^\gamma \widehat{f}_\gamma$ 给出。因为 $\widehat{f}_\alpha=\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\alpha}\right) \widehat{e}_\mu$ ，有

$$
\begin{aligned}
\nabla_{\left(\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\alpha} \widehat{e}_\mu\right)}\left(\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\beta} \widehat{e}_\nu\right) & =\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\alpha}\left(\widehat{e}_\mu\left[\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\beta}\right] \widehat{e}_\nu+\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\beta} \nabla_{\widehat{e}_\mu} \widehat{e}_\nu\right) \\
& =\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\alpha}\left(\frac{\partial^2 x^\nu}{\partial x^\mu \partial y^\beta} \widehat{e}_\nu+\frac{\partial x^\nu}{\partial y^\beta} \Gamma_{\mu \nu}^\lambda \widehat{e}_\lambda\right) \\
& =\left(\frac{\partial^2 x^\lambda}{\partial y^\alpha \partial y^\beta}+\frac{\partial x^\mu}{\partial y^\alpha} \frac{\partial x^\nu}{\partial y^\beta} \Gamma_{\mu \nu}^\lambda\right) \widehat{e}_\lambda
\end{aligned}
$$

所以联络系数的变换为

$$
\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^\gamma=\frac{\partial^2 x^\nu}{\partial y^\alpha \partial y^\beta} \frac{\partial y^\gamma}{\partial x^\nu}+\frac{\partial x^\lambda}{\partial y^\alpha} \frac{\partial x^\mu}{\partial y^\beta} \frac{\partial y^\gamma}{\partial x^\nu} \Gamma_{\lambda \mu}^\nu
$$

由于第一项的存在，联络系数的变换并非张量变换．

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