最后更新: 2025-11-24 12:34 查看: 11 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

协变导数和仿射联络

第五章 联络与测地线

我们已经看到对于一般的张量场，偏导数作用以后得到的并非是一个新的张量．我们需要慎重地考虑在弯曲空间中如何比较张量场，如何定义合适的导数运算．在本章中，我们将引进仿射联络（affine connection）的概念，定义协变导数，讨论如何通过平行移动来比较不同点间的矢量和张量。我们将证明黎曼几何的基本定理，描述自由点粒子在弯曲时空中的运动，即测地运动．在本章的最后，我们将介绍另外两种有用的导数运算．
5.1 协变导数和仿射联络

在平直空间中，矢量总是在空间内，有起点也有终点．此时比较两个矢量只需把它们的起点拉到一起就可以了。而在弯曲空间中，矢量是局域的，如何比较两个点间的矢量场是一个很微妙的问题。我们需要想办法把两点间的矢量场放到一个点上来比较。一种办法是通过某条路径连接两点，然后通过平行移动矢量来实现这一点．这样的话，矢量场间的比较还依赖于连接两点的路径选择。

我们先来看一个大家熟知的例子．在二维平面上运动的粒子，其速度场切于粒子的运动轨迹： $\boldsymbol{v}=v^r \boldsymbol{e}_r+v^\phi \boldsymbol{e}_\phi$ ，其中 $\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\phi$ 分别是沿径向和角向的单位矢量。如果我们关心粒子的加速度，需要知道速度场如何变化．加速度矢量为

$$
\boldsymbol{a}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v^r}{\mathrm{~d} t} \boldsymbol{e}_r+\frac{\mathrm{d} v^\phi}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{e}_\phi+v^r \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_r}{\mathrm{~d} t}+v^\phi \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_\phi}{\mathrm{d} t} .
$$

由于 $\mathrm{d} e_r / \mathrm{d} t=\omega e_\phi=(\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} t) e_\phi$ 以及 $\mathrm{d} e_\phi / \mathrm{d} t=-\omega e_r=-(\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} t) e_r$ ，加速度矢量有分量

$$
\begin{aligned}
& a^r=\frac{\mathrm{d} v^r}{\mathrm{~d} t}-v^\phi \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{~d} t^2}-r\left(\frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}\right)^2 \\
& a^\phi=\frac{\mathrm{d} v^\phi}{\mathrm{d} t}+v^r \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(r \frac{\mathrm{~d} \phi}{\mathrm{~d} t}\right) .
\end{aligned}
$$

从以上的分析可以看到，矢量的变化依赖于路径．更重要的是，基矢沿着曲线也是变化的，如图 5.1 所示．

指定一条路径，它局部地可以通过其切矢量 $\widehat{t}$ 来刻画．也就是说，在很小的局域，曲线可以通过直线来近似，而直线是由切矢量给出的．相对于这条路径，矢量场的变化

![图片](/uploads/2025-11/b13e1b.jpg)
 
 是

$$
\nabla_{\hat{t}} \widehat{V}\left(x^\mu\right)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\left[\widehat{V}\left(x^\mu+t^\mu \epsilon\right)\right]_{\text {平移至 } x^\mu}-\widehat{V}\left(x^\mu\right)}{\epsilon}
$$

这里的关键点是我们必须在同一点比较矢量才有意义。我们把在点 $x^\mu+t^\mu \epsilon$ 的矢量移动到点 $x^\mu$ 是通过平行移动来实现的．局部地看，平行移动的含义就是字面上的意思：沿着切矢，把矢量从一点平行移动到另一点．在局部直角坐标系中，$\left(\nabla_{\hat{t}} \widehat{V}\right)^\alpha=t^\beta \frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}$ ，即 $\nabla_\beta V^\alpha=\frac{\partial V^\alpha}{\partial x^\beta}$ ．然而，即使在平直空间中，如果我们用极坐标，这个定义式也需要小心地处理，因为基矢有可能发生变化．我们在上面的例子中已经看到了这一点．上面关于协变导数的定义是没有问题的，但是要得到正确的协变导数，我们需要考虑基矢的变化．也就是说，矢量和张量的协变导数，不只与矢量和张量本身有关，也与刻画路径的切矢量有关．

5．1．1 仿射联络
我们先从矢量的协变微分开始．我们可以形式地定义仿射联络：一个仿射联络是一个映射
 $$
\nabla: \chi(M) \otimes \chi(M) \rightarrow \chi(M),
$$

其中 $\chi(M)$ 是流形 $M$ 上任意一个矢量场，也就是说由两个矢量场映射到一个矢量场，

$$
(\widehat{X}, \widehat{Y}) \

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