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爱因斯坦方程的一般性讨论

7.5 爱因斯坦方程的一般性讨论

让我们回到爱因斯坦方程

$$
G_{\mu \nu}=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu}
$$

等价地，我们可以把它写成

$$
R_{\mu \nu}=8 \pi G\left(T_{\mu \nu}-\frac{1}{D-2} g_{\mu \nu} T\right),
$$

其中 $D$ 是时空的维数．由于它是一组局域方程，在不同的时空区域解不同，我们有时必须加上合适的连接条件把解粘起来．在真空中，爱因斯坦方程为

$$
R_{\mu \nu}=0 .
$$
在 $D<4$ 时，$R_{\mu \nu}=0$ 意味着 $R_{\mu \nu \sigma \rho}=0$ ，因此只有平直时空解 ${ }^{(3)}$ ．当 $D \geqslant 4$ 时，存在非零的外尔张量，所以只在四维或四维以上存在非平凡的时空．在四维中，真空爱因斯坦方程的解包括物理上最有趣的几个解：描述静止球对称时空的史瓦西解、描述旋转星体外部时空的克尔（Kerr）解等。

爱因斯坦方程中的爱因斯坦张量有 10 个独立的分量，似乎应该有 10 个独立的方程。然而，比安基恒等式要求 $\nabla^\mu G_{\mu \nu}=0$ ，给出 4 个约束，因此只有 6 个独立的方程。通过爱因斯坦方程可以求解度规场．度规场有 10 个分量，因此看起来方程数不足以确定所有的度规分量。但是如果 $g_{\mu \nu}$ 以 $x_\mu$ 为变量时是爱因斯坦方程的解，则它以 $x_\mu^{\prime}$ 为变量时仍是方程的解，这是因为方程是张量方程，在坐标变换下形式不变．这意味着在 $g_{\mu \nu}$ 中有四个非物理自由度，由四个函数 $x^\mu\left(x^\nu\right)$ 来表示．更物理的说法是，由于存在规范自由度，$g_{\mu \nu}$ 中并非所有自由度都是动力学的。所以，我们期待爱因斯坦方程只确定 $g_{\mu \nu}$ 中六个坐标无关自由度。

作为非线性微分方程组，爱因斯坦方程是极难求解的．里奇张量和里奇标量都是黎曼张量的收缩，包含导数项和克里斯托弗符号的乘积，从而包含度规的逆和度规的导数等。而 $T_{\mu \nu}$ 通常也与度规有关，所以爱因斯坦方程是高度非线性的微分方程组，无法利用通常的线性叠加原理和格林函数方法。在广义相对论的研究中，寻找爱因斯坦方程的严格解是一个重要的研究方向。这方面的专著可以参见文献［35，36］．让人惊奇的是，历史上第一个严格解在广义相对论提出不到一年后就被德国物理学家史瓦西发现．这一类静态球对称解可以描述球对称恒星或黑洞外面的时空几何．然而，直到 1962 年，描述旋转恒星外部时空的解才被新西兰物理学家克尔发现．
在牛顿力学中，我们有泊松方程

$$
\nabla^2 \Phi=4 \pi G \rho
$$

它是关于牛顿引力势的线性微分方程，因此两个质量源的牛顿引力势不过是作为单独质量源产生的引力势之和。而在广义相对论中，引力场与其自身耦合。这是等效原理的后果：如果引力不与自身耦合，一个由引力吸引形成的＂引力原子＂，比如说两个粒子由引力吸引结合而得，其惯性质量由于存在负束缚能而将与其引力质量不同。因此，引力场必然与其自身耦合．爱因斯坦方程的非线性是引力自身反作用的反映．

我们可以把引力的非线性与其他相互作用做比较。对于电磁理论而言，两个电子间的电磁相互作用来自虚光子的交换，其费曼（Feynman）图如图7．3（a）所示。而对于引力而言，如果我们考虑在平直时空背景下的引力子扰动，则相关的费曼图为图 7．3（b）

和图 7．3（c）．图 7．3（c）显示了引力的非线性．从场论的观点看，引力来自交换自旋为 2的引力子，引力的高度非线性与非阿贝尔杨－米尔斯规范相互作用，如 QCD 类似．然而与规范理论不同，广义相对论是不可重整的．实际上，如果我们希望构造一个可重整的引力理论，认为也许我们可以加上更多的高阶导数修正项，这样的尝试会归于失败，本质上这是由于引力的耦合常数是有量纲的．一个紫外（ultraviolet）完备的引力理论无法通过局域的相互作用来实现（4）．

![图片](/uploads/2025-12/b5ded1.jpg)
 
  图 7.3 电磁理论中带电粒子是通过交换虚光子发生相互作用的，是线性理论．在树图水平，电子也可以交换引力子发生相互作用，但作用强度很小．广义相对论中，由于引力子存在自相互作用，引力作用是非线性的．

为了得到一个紫外完备的量子引力理论，我们可以引进非局域的相互作用，从而大大改善理论的高能行为．一个可能的量子引力理论是弦理论．在弦理论中，自然界的基本单元并非点粒子，在高能标下，轻子、传递相互作用的规范玻色子和引力子看起来都是有尺度的细丝——弦。在弦理论中，弦的相互作用并非局域的，而是有一定的模糊性，因此理论的紫外行为大大得到改善．在弦理论中，爱因斯坦的广义相对论作为低能有效理论出现。

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