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等效原理回顾

7.4 等效原理回顾

回顾一下至今为止我们对广义相对论的讨论．在广义相对论中，引力体现为时空的曲率．在弯曲时空中，粒子的运动是测地运动．这一点也可以从点粒子在弯曲时空中的作用量得到．另一方面，能动张量会导致时空的弯曲．这一点从爱因斯坦方程可以明显地看出：方程的左边是纯几何的量，而右边正比于能动张量．

在广义相对论的发展中，等效原理发挥了重要的作用。首先，始于伽利略和牛顿的弱等效原理告诉我们，物体的惯性质量和引力质量是相等的。因此，任何物体在引力势中的表现都是一致的，它们的加速度由引力势的梯度确定，即引力具有普适性。弱等效原理的一个直接后果是引力场的效应无法与物体在一个匀加速运动参考系中的运动区分开来。爱因斯坦进一步推广了弱等效原理，指出不仅是试探粒子，任何局部的实验都无法把引力场和匀加速运动区分开来。这就是爱因斯坦的等效原理：在时空足够小的区域，物理规律约化为狭义相对论中的情形，没有办法探测到引力场的存在。这中间牵涉惯性系的选择。在广义相对论中，没有整体惯性系，我们至多只能定义局部惯性系，这个惯性系在时空足够小的区域中如自由下落粒子一般运动．数学上，局部惯性系对应于流形上的黎曼法坐标，在此坐标中度规取平直时空的形式，而克里斯托弗符号为零。这样，在爱因斯坦理论中，引力不是表现成一种力，而是表现为时空的曲率。

爱因斯坦的等效原理要求在局部惯性系中物理规律与狭义相对论中的一致。在黎曼法坐标中，物理规律取平直时空里的形式．在平直时空中，自由粒子满足

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=0
$$

在弯曲时空中，一个自由粒子满足测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\rho \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=0
$$

在黎曼法坐标下回到（7．90）式．这个例子启示我们如何讨论弯曲时空中的物理．如果在平直时空中一个物理规律成立，我们可以试着把它写成协变的张量形式，这样得到的物理规律可以认为在弯曲时空中成立。这就是所谓的协变性原理，可以简单地总结为以下法则。
＂逗号变分号法则＂

$$
\eta_{\mu \nu} \rightarrow g_{\mu \nu}, \quad \partial_\mu \rightarrow \nabla_\mu
$$

也就是说，只要把闵氏度规变成弯曲空间的度规场，并把偏导数变成协变导数即可．有时，也把此原理称为最小耦合原理．最小耦合意味着物质场与度规场的耦合是最小的，

其中不包含与黎曼张量或者其收缩，如里奇张量、里奇标量的直接耦合，而只有上述的协变化操作。

例 7.3 测地线方程．
这实际上是＂逗号变分号法则＂的最直接应用：

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=\frac{\mathrm{d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda} \partial_\nu \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda} \rightarrow \frac{\mathrm{~d} x^\nu}{\mathrm{d} \lambda} \nabla_\nu \frac{\mathrm{d} x^\mu}{\mathrm{d} \lambda},
$$

即 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \lambda} \rightarrow \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{d} \lambda}$ ．因此，

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=0 \quad \rightarrow \quad \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{~d} \lambda} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} \lambda} x^\mu=0 .
$$

这正是测地线方程．
例 7.4 能动量守恒。

$$
\partial_\mu T^{\mu \nu}=0 \quad \rightarrow \quad \nabla_\mu T^{\mu \nu}=0 .
$$

这个推广我们在前面的讨论中已经用到过．
例 7.5 麦克斯韦方程．
$$
\begin{gathered}
\partial_\mu F^{\nu \mu}=4 \pi J^\nu \rightarrow \nabla_\mu F^{\nu \mu}=4 \pi J^\nu \\
\partial_{[\mu} F_{\nu \lambda]}=0 \rightarrow \nabla_{[\mu} F_{\nu \lambda]}=0
\end{gathered}
$$

实际上没有变化．这是因为麦克斯韦方程可以用微分形式来表示：

$$
\mathrm{d}(* F)=4 \pi(* J), \quad \mathrm{d} F=0,
$$

它们本身就是张量方程．
值得注意的是上述法则有时在应用中会有任意性，比如

$$
Y^\mu \partial_\mu \partial_\nu X^\nu=0 \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
Y^\mu \nabla_\mu \nabla_\nu X^\nu \\
Y^\mu \nabla_\nu \nabla_\mu X^\nu
\end{array}\right.
$$

两种协变化得到的结果是有差异的。这是由于偏导数可以交换次序，而协变导数不能随便交换次序．这种不确定性类似于在量子力学中把力学量变成算子时碰到的不确定性．哪一种选择更好必须通过与实验比较来确定．

爱因斯坦的等效原理是否是自然界的基本原理呢？现代的观点认为我们不应该期待它是严格正确的．考虑如下关系：

$$
\nabla_\mu\left[(1+\alpha R) F^{\nu \mu}\right]=4 \pi J^\nu,
$$

其中 $R$ 是里奇标量而 $\alpha$ 是一个耦合系数．等效原理要求 $\alpha=0$ ．然而上面的关系看起来没有什么不对，它不违背电荷守恒以及其他电磁学的要求，而且在平直时空中能够回到通常的麦克斯韦方程，那有何道理令 $\alpha=0$ 呢？这是因为能量标度．从量纲上分析，我们知道 $\alpha$ 必须具有长度平方的量纲，但由于与 $\alpha$ 相关的项是与引力有关的，因此唯一合理的长度标度是普朗克长度，即

$$
\alpha \sim l_{\mathrm{P}}^2,
$$

其中普朗克长度

$$
l_{\mathrm{P}}=\left(\frac{G \hbar}{c^3}\right)^{1 / 2} \approx 1.6 \times 10^{-33} \mathrm{~cm},
$$

因此，与 $\alpha$ 项相关的可能物理效应只会在普朗克标度出现．也就是说，在通常的能量标度下，这一项的物理效应被极大地压低，即使存在也无法观测到。

长期以来，等效原理本身的意义及其在广义相对论中的作用也饱受争议。米斯勒 （Misner）等人认为它是必不可少的，而另一些人，如赛因格（Synge）等则持反对意见。这里我们不准备对此问题做深究．无可否认的是等效原理在爱因斯坦建立广义相对论的过程中发挥了重要的作用，但现在看来，也许它并非不可或缺．

除了广义相对论以外，还存在其他的引力理论，它们大致可分为两类：
（1）度规类型的理论：基于度规、测地线等；
（2）非度规类型的理论：基于挠率等．
 我们在本书中只讨论度规类型的理论，其中包括爱因斯坦的广义相对论、布兰斯－迪克（Brans－Dicke）理论等。如果爱因斯坦的等效原理成立，则只能有度规类型的引力理论，而且这其中似乎只有爱因斯坦的广义相对论满足强等效原理．

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