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等效原理回顾

7.4 等效原理回顾

回顾一下至今为止我们对广义相对论的讨论．在广义相对论中，引力体现为时空的曲率．在弯曲时空中，粒子的运动是测地运动．这一点也可以从点粒子在弯曲时空中的作用量得到．另一方面，能动张量会导致时空的弯曲．这一点从爱因斯坦方程可以明显地看出：方程的左边是纯几何的量，而右边正比于能动张量．

在广义相对论的发展中，等效原理发挥了重要的作用。首先，始于伽利略和牛顿的弱等效原理告诉我们，物体的惯性质量和引力质量是相等的。因此，任何物体在引力势中的表现都是一致的，它们的加速度由引力势的梯度确定，即引力具有普适性。弱等效原理的一个直接后果是引力场的效应无法与物体在一个匀加速运动参考系中的运动区分开来。爱因斯坦进一步推广了弱等效原理，指出不仅是试探粒子，任何局部的实验都无法把引力场和匀加速运动区分开来。这就是爱因斯坦的等效原理：在时空足够小的区域，物理规律约化为狭义相对论中的情形，没有办法探测到引力场的存在。这中间牵涉惯性系的选择。在广义相对论中，没有整体惯性系，我们至多只能定义局部惯性系，这个惯性系在时空足够小的区域中如自由下落粒子一般运动．数学上，局部惯性系对应于流形上的黎曼法坐标，在此坐标中度规取平直时空的形式，而克里斯托弗符号为零。这样，在爱因斯坦理论中，引力不是表现成一种力，而是表现为时空的曲率。

爱因斯坦的等效原理要求在局部惯性系中物理规律与狭义相对论中的一致。在黎曼法坐标中，物理规律取平直时空里的形式．在平直时空中，自由粒子满足

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}=0
$$

在弯曲时空中，一个自由粒子满足测地线方程

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \lambda^2}+\Gamma_{\rho \sigma}^\mu \frac{\mathrm{d} x^\rho}{\mathrm{d} \lambda} \frac{\mathrm{~d} x^\sigma}{\mathrm{d} \lambda}=0
$$

在黎曼法坐标下回到（7．90）式．这个例子启示我们如何讨论弯曲时空中的物理．如果在平直时空中一个物理规律成立，我们可以试着把它写成协变的张量形式，这样得到的物理规律可以认为在弯曲时空中成立。这就是所谓的协变性原理，可以简单地总结为以下法则。
＂逗号变分号法则＂

$$
\eta_{\mu \nu

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