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弱场近似

7.3 弱 场 近 似

弱场近似是广义相对论的一个重要课题．在实际应用中，很多物理问题都可以利用弱场近似来处理．弱场近似是指度规场可以看作在平直闵氏度规上做线性扰动：

$$
g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}, \quad\left|h_{\mu \nu}\right| \ll 1 .
$$

因此，弱场近似也常称作线性化引力．弱场近似是牛顿近似的进一步推广，放宽了牛顿近似扰动是静态的和粒子的运动是慢速的要求，也就是说 $h_{\mu \nu}$ 可以是与时间相关的，而粒子的运动可以是光速，这样我们就可以讨论光子的运动。

近似到一阶，度规场的逆为 $g^{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu}-h^{\mu \nu}$ ，其中 $h^{\mu \nu}=\eta^{\mu \rho} \eta^{\nu \sigma} h_{\rho \sigma}$ ，即我们利用闵氏度规 $\eta^{\mu \nu}$ 和 $\eta_{\mu \nu}$ 来升降扰动场的指标。所以，线性化引力可以认为是在平直时空中关于一个对称张量场 $h_{\mu \nu}$ 的理论．这个理论在狭义相对论的意义下是洛伦兹不变的：平直时空度规不变，而扰动场变换如

$$
h_{\mu^{\prime} \nu^{\prime}}=\Lambda_{\mu^{\prime}}^\mu \Lambda_{\nu^{\prime}}^\nu h_{\mu \nu} .
$$

在一阶水平上，克里斯托弗符号为

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{\mu \nu}^\rho & =\frac{1}{2} g^{\rho \lambda}\left(\partial_\mu g_{\nu \lambda}+\partial_\nu g_{\lambda \mu}-\partial_\lambda g_{\mu \nu}\right) \\
& =\frac{1}{2} \eta^{\rho \lambda}\left(\partial_\mu h_{\nu \lambda}+\partial_\nu h_{\lambda \mu}-\partial_\lambda h_{\mu \nu}\right)
\end{aligned}
$$

黎曼张量为

$$
\begin{aligned}
R_{\mu \nu \rho \sigma} & =\eta_{\mu \lambda} \partial_\rho \Gamma_{\nu \sigma}^\lambda-\eta_{\mu \lambda} \partial_\sigma \Gamma_{\nu \rho}^\lambda \\
& =\frac{1}{2}\left(\partial_\rho \partial_\nu h_{\mu \sigma}+\partial_\sigma \partial_\mu h_{\nu \rho}-\partial_\sigma \partial_\nu h_{\mu \rho}-\partial_\rho \partial_\mu h_{\nu \sigma}\right)
\end{aligned}
$$

里奇张量为

$$
R_{\mu \nu}=\frac{1}{2}\left(\partial_\sigma \partial_\nu h_\mu^\sigma+\partial_\sigma \partial_\mu h_\nu^\sigma-\partial_\mu \partial_\nu h-\square h_{\mu \nu}\right),
$$

其中 $h=\eta^{\mu \nu} h_{\mu \nu}=h^\mu{ }_\mu$ ，达朗贝尔算子是相对平直时空背景定义的，$\square=-\partial_t^2+\partial_x^2+ \partial_y^2+\partial_z^2$ ．里奇标量为

$$
R=\partial_\mu \partial_\nu h^{\mu \nu}-\square h .
$$

而爱因斯坦张量是

$$
G_{\mu \nu}=\frac{1}{2}\left(\partial_\sigma \partial_\nu h_\mu^\sigma+\partial_\sigma \partial_\mu h_\nu^\sigma-\partial_\mu \partial_\nu h-\square h_{\mu \nu}-\eta_{\mu \nu} \partial_\mu \partial_\nu h^{\mu \nu}+\eta_{\mu \nu} \square h\right) .
$$

这个线性化的爱因斯坦张量可以由下面的拉氏密度（定义见 7．6节）通过变分来得到：

$$
\begin{aligned}
\mathcal{L}= & \frac{1}{2}\left[\left(\partial_\mu h^{\mu \nu}\right)\left(\partial_\nu h\right)-\left(\partial_\mu h^{\rho \sigma}\right)\left(\partial_\rho h^\mu{ }_\sigma\right)+\frac{1}{2} \eta^{\mu \nu}\left(\partial_\mu h^{\rho \sigma}\right)\left(\partial_\nu h_{\rho \sigma}\right)\right. \\
& \left.-\frac{1}{2} \eta^{\mu \nu}\left(\partial_\mu h\right)\left(\partial_\nu h\right)\right] .
\end{aligned}
$$

爱因斯坦方程中的能动张量 $T_{\mu \nu}$ 应该是一阶小量，它决定了度规扰动场的动力学，因此出现在 $T_{\mu \nu}$ 中的度规张量一定是 $g_{\mu \nu}$ 的零阶项，即 $\eta_{\mu \nu}$ ，能动量守恒即是平直时空中的能动量守恒方程 $\partial_\mu T^{\mu \nu}=0$ 。

通常的广义相对论中有微分同胚不变性，或者说广义坐标变换下的不变性。当我们考虑弱场近似时，对这些变换有了更强的限制，因为我们希望在坐标变换后仍然保持弱场近似．换句话说，如果我们考虑坐标变换，在新的坐标系下度规场仍然可以写作闵氏度规加上一个扰动项，尽管扰动场也许与原来的不同．考虑一个无穷小广义坐标变换

$$
x^{\prime \mu}=x^\mu+\zeta^\mu(x) \Rightarrow \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\nu}=\delta_\nu^\mu+\partial_\nu \zeta^\mu
$$

它将导致

$$
g_{\mu \nu}^{\prime}=\frac{\partial x^\rho}{\partial x^{\prime \mu}} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x^{\prime \nu}} g_{\rho \sigma}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu
$$

其中 $\zeta_\mu=\eta_{\mu \nu} \zeta^\nu$ ．因此，在扰动场上的规范变换为

$$
h_{\mu \nu}^{\prime}=h_{\mu \nu}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu .
$$

可以证明，在此变换下黎曼张量是不变的，$\delta R_{\mu \nu \rho \sigma}=0$ ．
由于规范不变性，我们可以选择合适的规范来讨论问题．一个常用的规范是所谓的调和（harmonic）规范 ${ }^{(2)}$ ：

$$
\square x^\mu=0,
$$

其中 $x^\mu$ 应该当作坐标函数来看待．这相当于要求

$$
\partial_\nu\left(\sqrt{-g} g^{\mu \nu}\right)=0
$$

或者等价于

$$
g^{\sigma \rho} \Gamma_{\sigma \rho}^\mu=0
$$

这个规范选择不仅针对平直时空下的张量扰动，也可以加到其他各种时空背景下的扰动上．在弱场极限下，这个规范相当于要求

$$
\frac{1}{2} \eta^{\mu \nu} \eta^{\lambda \rho}\left(\partial_\mu h_{\nu \lambda}+\partial_\nu h_{\lambda \mu}-\partial_\lambda h_{\mu \nu}\right)=0,
$$

所以我们得到对扰动场的限制

$$
\partial_\mu h_\lambda^\mu-\frac{1}{2} \partial_\lambda h=0 .
$$

这个规范选择并未完全固定所有的规范自由度．实际上，如果我们的坐标函数相差一个调和函数，这个规范条件仍然满足，即如果 $x^\mu \rightarrow x^\mu=x^\mu+\xi^\mu$ ，其中 $\xi^\mu$ 是一个调和函数，满足 $\square \xi^\mu=0$ ，则 $x^{\prime \mu}$ 也是合格的坐标函数．换句话说，我们可以有自由度来选择坐标函数．在调和规范下，线性化的爱因斯坦方程为

$$
\square h_{\mu \nu}-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu} \square h=-16 \pi G T_{\mu \nu},
$$

而真空爱因斯坦方程 $R_{\mu \nu}=0$ 则取一个简洁的形式

$$
\square h_{\mu \nu}=0 .
$$

这正是一个相对论性波传导方程．

在实际应用中，我们可以把度规扰动变换一下来简化问题．定义＂迹相反＂的扰动

$$
\bar{h}_{\mu \nu}=h_{\mu \nu}-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu} h
$$

由于它的迹 $\bar{h}^\mu{ }_\mu=-h^\mu{ }_\mu$ ，是原来扰动场迹的相反数，所以称之为＂迹相反＂．调和规范条件此时变为

$$
\partial_\mu \bar{h}_\lambda^\mu=0 .
$$

可以证明我们总能够选择规范参数使上式得到满足．实际上，迹相反的扰动在规范变换下变换如

$$
\bar{h}_{\mu \nu}^{\prime}=\bar{h}_{\mu \nu}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu+\eta_{\mu \nu} \partial_\lambda \zeta^\lambda
$$

我们有

$$
\partial^\mu \bar{h}_{\mu \nu}^{\prime}=\partial^\mu \bar{h}_{\mu \nu}-\square \zeta_\nu .
$$

因此，我们总可以选择 $\square \zeta_\nu=\partial^\mu \bar{h}_{\mu \nu}$ 使得变换后的迹相反的扰动满足（7．79）式．
利用迹相反的扰动，完整的场方程变成

$$
\square \bar{h}_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu},
$$

真空场方程是

$$
\square \bar{h}_{\mu \nu}=0 .
$$

不难发现，这些方程与电动力学中（洛伦茨规范下）关于规范势的方程取相同的形式。因此，我们可以借鉴很多关于电动力学中求解规范势的知识来研究弱场近似下的扰动场．很重要的一点是，方程（7．82）是线性微分方程，方程的左边是平直时空中的达朗贝尔算子，因此我们可以利用线性叠加格林函数来求解方程．

对于一个稳态球对称源附近的时空，如果这个源产生的引力不是很强，也就是说这个源的质量密度并不大，我们得到牛顿极限下的结果，即

$$
h_{00}=-2 \Phi
$$

其中 $\Phi$ 是传统的牛顿引力势 $\Phi=-G M / r$ 。假定这个源的能动张量由其静止能量密度 $\rho=T_{00}$ 主导，其他分量都比它小得多，则由爱因斯坦方程知 $\bar{h}_{\mu \nu}$ 中的其他分量也比 $\bar{h}_{00}$ 小得多。因此

$$
h=-\bar{h}=-\eta^{\mu \nu} \bar{h}_{\mu \nu}=\bar{h}_{00}
$$

而

$$
\bar{h}_{00}=2 h_{00}=-4 \Phi
$$

$\bar{h}_{\mu \nu}$ 的其他分量都可忽略，因此 $\bar{h}=4 \Phi$ ，由此我们得到

$$
h_{i 0}=\bar{h}_{i 0}-\frac{1}{2} \eta_{i 0} \bar{h}=0
$$

和

$$
h_{i j}=\bar{h}_{i j}-\frac{1}{2} \eta_{i j} \bar{h}=-2 \Phi \delta_{i j}
$$

这样，在弱场极限下，一个不转动的恒星或者行星的度规为

$$
\mathrm{d} s^2=-(1+2 \Phi) \mathrm{d} t^2+(1-2 \Phi)\left(\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right)
$$

如果一个球对称的物体转动不快，我们仍然可以在弱场近似下研究转动对时空的影响，相关内容将在第十章中进行讨论．此外，关于弱场近似在引力波中的应用将在第十一章中介绍。

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