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爱因斯坦方程

7.2 爱因斯坦方程

引进与航天员共动的坐标系，$e_i^\mu=\delta_i^\mu, T^\sigma=(1,0,0,0)$ ，则我们发现

$$
R_{00 i}^i=0,
$$

这来自张量 $K^i{ }_j$ 是无迹的．作为一个张量方程，我们期待

$$
R_{00 \rho}^\rho=0,
$$

它可以重新写作

$$
R_{00 \rho}^\rho=R_{\mu \nu \rho}^\rho T^\mu T^\nu=-R_{\mu \nu} T^\mu T^\nu=0 .
$$

它是一个标量，应该在所有坐标系中都成立，所以，我们得到了

$$
R_{\mu \nu}=0 .
$$

这就是所谓的真空爱因斯坦方程．严格地说，上面的讨论并非严谨的推导．这里的逻辑是：首先，在真空中有泊松方程 $\nabla^2 \Phi=0$ ，它要求张量 $K^i{ }_j$ 无迹。由此我们得到了张量方程

$$
R_{\mu \nu} T^\mu T^\nu=0
$$

它应该对所有的观测者都正确，即对所有的 $T^\mu$ 都成立，所以得到了真空爱因斯坦方程。

真空爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}=0 .
$$

真空爱因斯坦方程有十个独立的方程，是高度非线性的，很难求解．支持它正确的两个最早证据是：
（1）牛顿极限．在此极限下我们应该回到牛顿引力．
（2）球对称史瓦西解．这样我们可以讨论对广义相对论的检验．
这里我们先讨论牛顿极限．

牛顿极限的三个要求
（1）弱引力，即度规场对平直时空的偏离很小：$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$ ，其中 $h_{\mu \nu}=O(\epsilon)$ ；
（2）慢变，即扰动场随时间的变化较慢：$\partial_0 h_{\mu \nu}=O\left(\epsilon^2\right)$ ；
（3）粒子的运动较慢，可以忽略相对论性效应．
由于扰动场是小量，我们可以得到度规场的逆

$$
g^{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu}-h^{\mu \nu},
$$

其中 $h^{\mu \nu}=\eta^{\mu \sigma} \eta^{\nu \rho} h_{\sigma \rho}$ 是通过背景平直时空的度规来升降指标的。由此，克里斯托弗符号为

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{\sigma \rho}^\mu & =\frac{1}{2} g^{\mu \nu}\left(\partial_\sigma g_{\nu \rho}+\partial_\rho g_{\nu \sigma}-\partial_\nu g_{\sigma \rho}\right) \\
& =\frac{1}{2} \eta^{\mu \nu}\left(\partial_\sigma h_{\nu \rho}+\partial_\rho h_{\nu \sigma}-\partial_\nu h_{\sigma \rho}\right)+O\left(\epsilon^2\right)
\end{aligned}
$$

这里我们只明显写出了一阶小量．测地线方程约化为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \tau^2}+\Gamma_{00}^\mu\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2=0 .
$$

而 $\Gamma_{00}^\mu=-\frac{1}{2} \eta^{\mu \lambda} \partial_\lambda h_{00}$ ，所以测地线方程变为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \tau^2}=\frac{1}{2} \eta^{\mu \lambda} \partial_\lambda h_{00}\left(\frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2
$$

这个方程的 $\mu=0$ 分量给出

$$
\frac{\mathrm{d}^2 t}{\mathrm{~d} \tau^2}=0
$$

即 $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}$ 是一个常数，我们可以简单地取 $t=\tau$ ．从物理上来看，由于粒子运动较慢， $\frac{\mathrm{d} x^i}{\mathrm{~d} \tau} \ll \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau}$ ，我们可以忽略坐标时与固有时之间的差别．而对 $\mu=i$ 分量，有

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^i}{\mathrm{~d} \tau^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2 \partial_i h_{00}
$$

它可以重新写作

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^i}{\mathrm{~d} t^2}=\frac{1}{2} \partial_i h_{00}
$$

与牛顿引力势中点粒子的运动比较，有

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^i}{\mathrm{~d} t^2}=-\partial^i \Phi
$$

我们得到如下的等同关系

$$
h_{00}=-2 \Phi,
$$

或者

$$
g_{00}=-(1+2 \Phi)
$$

进一步地，我们可以计算黎曼张量，得到其一阶非零分量

$$
R_{0 \nu 0}^\mu=-\frac{1}{2} g^{\mu \sigma} \partial_\sigma \partial_\nu h_{00}+O\left(\epsilon^2\right)
$$

$R_{\mu \nu}=0$ 的（00）分量给出

$$
R_{0 \mu 0}^\mu=-\frac{1}{2} \nabla^2 h_{00},
$$

这实际上正是拉普拉斯方程

$$
\nabla^2 \Phi=0 .
$$

因此我们看到，如果我们把度规场对平直时空的偏离（或者说扰动）看作牛顿引力势，则测地线方程给出牛顿第二定律，而真空爱因斯坦方程给出在真空中牛顿引力势的泊松方程．简而言之，在牛顿近嫒因斯坦理论回到牛顿引力．

如果存在物质分布，不再是真空情形，爱因斯坦理论又如何呢？牛顿引力中我们有泊松方程

$$
\nabla^2 \Phi=4 \pi G \rho,
$$

如何把它推广为一个相对论性的张量方程呢？现在我们知道，质量密度只是能动张量的一个分量，而引力势是度规场的扰动的一个分量，因此我们期待

$$
\rho \rightarrow T_{\mu \nu}, \quad \nabla^2 \rightarrow \nabla^\mu \nabla_\mu, \quad \Phi \rightarrow g_{\mu \nu} ?
$$

简单地这样做是不行的，因为 $\nabla_\mu g_{\sigma \rho}=0$ ．
实际上，历史上有各种尝试来推广方程（7．47），试图得到一个相对论性的引力理论。一种做法认为引力是一种标量理论，仍然保留 $\Phi$ 。比如说方程的左边变成协变化的达朗贝尔算子作用在 $\Phi$ 上，而右边取能动张量的迹，即

$$
\square \Phi=4 \pi G T_\mu^\mu .
$$
但这个理论与实验不符合，在描述水星近日点进动时理论预言比实验结果小．此外，由于电磁理论的能动张量的迹 $\left(T^{\mathrm{EM}}\right)_\mu^\mu$ 为零，电磁理论无法与引力耦合．也就是说在这个理论中光子没有引力红移，光线也不存在偏折．所以，利用标量场来描述引力是不正确的．另一种观点认为引力是矢量理论，但这种理论只能给出排斥力．

作为张量理论而言，如果方程右边换作能动张量，则方程左边也必须是个 $(0,2)$ 型张量，而且必须包含二阶导数．包含度规场二阶导数的对称张量可能是里奇张量，因此自然的选择是 $R_{\mu \nu}=\kappa T_{\mu \nu}$ 。然而这样的推广与能动张量的守恒方程 $\nabla^\mu T_{\mu \nu}=0$ 不符。幸运的是，我们只需要对这个方程稍做修改即可以满足能动量守恒条件。我们已经引进了爱因斯坦张量，它满足 $\nabla^\mu G_{\mu \nu}=0$ ，所以我们可以猜测

$$
G_{\mu \nu}=R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=\kappa T_{\mu \nu}
$$

方程右边有一个待确定的因子 $\kappa$ ，它可以通过牛顿极限来确定．首先，对方程（7．50）两边求迹可得，在任意 $D$ 维时空中

$$
R=\frac{2}{2-D} \kappa T
$$

其中 $T=T_\mu^\mu$ 是能动张量的迹．由此可得

$$
R_{\mu \nu}=\kappa\left(T_{\mu \nu}-\frac{1}{D-2} T g_{\mu \nu}\right)
$$

在 $D=4$ 维中，

$$
R_{\mu \nu}=\kappa\left(T_{\mu \nu}-\frac{1}{2} T g_{\mu \nu}\right) .
$$

另一方面，我们考虑产生时空弯曲的物质是尘埃，因此能动张量的分量中主要贡献来自（ 00 ）分量

$$
T_{00}=\rho, \quad T=-\rho,
$$

所以，考虑爱因斯坦方程的（ 00 ）分量，我们得到在牛顿极限下，

$$
R_{00}=-\frac{1}{2} \nabla^2 h_{00}=\frac{1}{2} \kappa T_{00} .
$$

因此，我们可以确定

$$
\kappa=8 \pi G .
$$

最终，我们得到了有能动张量的爱因斯坦方程 ${ }^{(1)}$ ．
爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G T_{\mu \nu},
$$

有时也简记作

$$
G_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu} .
$$

简而言之，从能动张量守恒方程出发我们选择了爱因斯坦张量．但这里的讨论其实有一个疏漏：如我们所知，我们选择的联络是度规相容的，即 $\nabla_\mu g_{\sigma \rho}=0$ ，这实际上提供了一种可能性：我们可以在方程的左边加上一个与度规张量成正比的项，即有名的宇宙学常数项．这样的话，我们得到如下的方程：

$$
G_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu} .
$$

它可以变形为

$$
R_{\mu \nu}=8 \pi G\left(T_{\mu \nu}-\frac{1}{2} T g_{\mu \nu}\right)+\Lambda g_{\mu \nu}
$$

如果我们同样考虑牛顿近似，将得到

$$
\nabla^2 \Phi=4 \pi G \rho-\Lambda .
$$

如果考虑一个球对称分布的物质外的引力加速度，我们得到

$$
\boldsymbol{g}=-\nabla \Phi=\left(-\frac{G M}{r^2}+\frac{\Lambda r}{3}\right) \boldsymbol{e}_r
$$

因此，假如宇宙学常数是负的，它将诱导出一个线性增加的吸引力，而如果宇宙学常数是正的，则它将诱导出一个排斥力，而且随着距离线性增加．

爱因斯坦首先提出了宇宙学常数项，基于宇宙学原理他可以得到一个静态的宇宙。但这个模型是不稳定的。而且随着哈勃发现我们的宇宙是膨胀的，静态宇宙被大家所抛弃．爱因斯坦本人也把引进宇宙学常数看作他一生最大的失误．耐人寻味的是，随着现代宇宙学的发展，观测发现现阶段的宇宙是在做加速膨胀的．这个加速膨胀来自宇宙的物质组分中存在所谓的暗能量。暗能量的最可能候选者是一个正的宇宙学常数。爱因斯坦的失误成为了宇宙学中最重大的发现！

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