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爱因斯坦方程

7.2 爱因斯坦方程

引进与航天员共动的坐标系，$e_i^\mu=\delta_i^\mu, T^\sigma=(1,0,0,0)$ ，则我们发现

$$
R_{00 i}^i=0,
$$

这来自张量 $K^i{ }_j$ 是无迹的．作为一个张量方程，我们期待

$$
R_{00 \rho}^\rho=0,
$$

它可以重新写作

$$
R_{00 \rho}^\rho=R_{\mu \nu \rho}^\rho T^\mu T^\nu=-R_{\mu \nu} T^\mu T^\nu=0 .
$$

它是一个标量，应该在所有坐标系中都成立，所以，我们得到了

$$
R_{\mu \nu}=0 .
$$

这就是所谓的真空爱因斯坦方程．严格地说，上面的讨论并非严谨的推导．这里的逻辑是：首先，在真空中有泊松方程 $\nabla^2 \Phi=0$ ，它要求张量 $K^i{ }_j$ 无迹。由此我们得到了张量方程

$$
R_{\mu \nu} T^\mu T^\nu=0
$$

它应该对所有的观测者都正确，即对所有的 $T^\mu$ 都成立，所以得到了真空爱因斯坦方程。

真空爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}=0 .
$$

真空爱因斯坦方程有十个独立的方程，是高度非线性的，很难求解．支持它正确的两个最早证据是：
（1）牛顿极限．在此极限下我们应该回到牛顿引力．
（2）球对称史瓦西解．这样我们可以讨论对广义相对论的检验．
这里我们先讨论牛顿极限．

牛顿极限的三个要求
（1）弱引力，即度规场对平直时空的偏离很小：$g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$ ，其中 $h_{\mu \nu}=O(\epsilon)$ ；
（2）慢变，即扰动场随时间的变化较慢：$\partial_0 h_{\mu \nu}=O\left(\epsilon^2\right)$ ；
（3）粒子的运动较慢，可以忽略相对论性效应．
由于扰动场是小量，我们可以得到度规场的逆

$$
g^{\mu \nu}=\eta^{\mu \nu}-h^{\mu \nu},
$$

其中 $h^{\mu \nu}=\eta^{\mu \sigma} \eta^{\nu \rho} h_{\sigma \rho}$ 是通过背景平直时空的度规来升降指标的。由此，克里斯托弗符号为

$$
\begin{aligned}
\Gamma_{\sigma \rho}^\mu & =\frac{1}{2} g^{\mu \nu}\left(\partial_\sigma g_{\nu \rho}+\partial_\rho g_{\nu \sigma}-\partial_\nu g_{\sigma \rho}\right) \\
& =\frac{1}{2} \eta^{\mu \nu}\left(\partial_\sigma h_{\nu \rho}+\partial_\rho h_{\nu \sigma}-\partial_\nu h_{\sigma \rho}\right)+O\left(\epsilon^2\right)
\end{aligned}
$$

这里我们只明显写出了一阶小量．测地线方程约化为

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \tau^2}+\Gamma_{00}^\mu\left(\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2=0 .
$$

而 $\Gamma_{00}^\mu=-\frac{1}{2} \eta^{\mu \lambda} \partial_\la

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