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测地偏离和引潮力

第七章 爱因斯坦方程

我们在前面几章中已经简要介绍了广义相对论中需要的微分几何知识，在这一章中将介绍如何得到爱因斯坦方程．物理上，这可以通过对牛顿引潮力的讨论来获得启示。我们将看到广义相对论中测地偏离方程实际上告诉了我们引潮力的起源，由此我们可以得到真空爱因斯坦方程。对爱因斯坦方程的一般推导，最好的途径是利用作用量原理．在本章中我们还将讨论在弯曲时空中的物质场，以及对能动张量的约束条件．
7.1 测地偏离和引潮力

欧氏几何的第五公设告诉我们：给定一条直线，穿过直线外一点有且仅有一条直线与原来的直线平行．这个公设在非欧几何中不再成立，比如说在二维球面上，所有的测地线都会相交．所以，平行性在非欧几何中不再能够很好地定义．我们可以关注刚开始平行的两条测地线相互之间的偏离矢量（deviation vectors）随测地线的变化情况。为此，我们构造一个单参数族的测地线 $\gamma_s(t)$ ：对每一个实数 $s \in R, \gamma_s$ 是一个被仿射参数 $t$ 所参数化的测地线。这些曲线的集合构成了一个二维的光滑曲面，可以嵌入任意维度的流形 $M$ 中．整个曲面就是点集 $x^\mu(s, t) \in M$ ，我们可以称之为测地线汇．测地线的切矢量为
$$
T^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial t}
$$

而两条相邻测地线间可以定义偏离矢量

$$
S^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial s}
$$

即 $S^\mu$ 从一条测地线指向另一条相邻的测地线，如图 7.1 所示。
我们希望了解偏离矢量是如何沿着测地线变化的，为此我们计算＂测地相对速度矢量＂

$$
V^\mu=\left(\nabla_{\widehat{T}} \widehat{S}\right)^\mu=T^\rho \nabla_\rho S^\mu
$$

以及＂测地相对加速度＂

$$
a^\mu=\left(\nabla_{\widehat{T}} \widehat{V}\right)^\mu=T^\rho \nabla_\rho V^\mu
$$

![图片](/uploads/2025-12/fb9e33.jpg)
 由于 $\widehat{S}$ 和 $\widehat{T}$ 是相对于坐标系的基矢，它们的对易子

$$
[\widehat{S}, \widehat{T}]=0 .
$$

如果我们考虑无挠情形，由于 $\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}-\nabla_{\widehat{Y}} \widehat{X}-[\widehat{X}, \widehat{Y}]=0$ ，所以 $\nabla_{\widehat{S}} \widehat{T}=\nabla_{\widehat{T}} \widehat{S}$ ，也就是说

$$
S^\rho \nabla_\rho T^\mu=T^\rho \nabla_\rho S^\mu,
$$

而测地相对 4－加速度为

$$
\begin{aligned}
a^\mu & =T^\rho \nabla_\rho\left(T^\sigma \nabla_\sigma S^\mu\right) \\
& =T^\rho \nabla_\rho\left(S^\sigma \nabla_\sigma T^\mu\right) \\
& =\left(T^\rho \nabla_\rho S^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma T^\mu\right)+T^\rho S^\sigma \nabla_\rho \nabla_\sigma T^\mu \\
& =\left(S^\rho \nabla_\rho T^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma T^\mu\right)+T^\rho S^\sigma\left(\nabla_\sigma \nabla_\rho T^\mu+R_{\nu \rho \sigma}^\mu T^\nu\right) \\
& =\left(S^\rho \nabla_\rho T^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma T^\mu\right)+S^\sigma \nabla_\sigma\left(T^\rho \nabla_\rho T^\mu\right) \\
& -\left(S^\sigma \nabla_\sigma T^\rho\right) \nabla_\rho T^\mu+R_{\nu \rho \sigma}^\mu T^\nu T^\rho S^\sigma \\
& =R_{\nu \rho \sigma}^\mu T^\nu T^\rho S^\sigma .
\end{aligned}
$$

这样我们就得到了测地偏离方程．
测地偏离方程

$$
a^\mu=\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} t^2} S^\mu=R_{\nu \rho \sigma}^\mu T^\nu T^\rho S^\sigma .
$$

这个方程也称为雅可比方程，它告诉我们两条相邻测地线间的相对加速度与曲率成正比．

在上面的讨论中，有几点值得注意．首先，$\widehat{S}$ 与 $\widehat{T}$ 的对易子为零说明矢量场是填满曲面的（surface－filling）．这是由于此时两个矢量可以写作坐标基的导数．其次，注意

$\widehat{S}$ 和 $\widehat{T}$ 不必正交．但是我们总可以通过投影定义一个矢量

$$
\widehat{\eta}=\widehat{S}+\widehat{T}(\widehat{T} \cdot \widehat{S})
$$

它与 $\widehat{T}$ 正交，$\widehat{\eta} \cdot \widehat{T}=0$ ．对于 $\widehat{\eta}$ 而言，可证它的测地偏离方程取相同的形式：

$$
\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} t^2} \eta^\mu-R_{\nu \rho \sigma}^\mu T^\nu T^\rho \eta^\sigma=0
$$

再次，对于一个自由下落观测者的惯性系，沿测地线运动，其 4－速度为 $\widehat{T}$ ．因此我们在此惯性系中可以选定标架场 $e_0^\mu=T^\mu,\left\{\widehat{e}_1, \widehat{e}_2, \widehat{e}_3\right\}$ 是一组与 $\widehat{T}$ 正交的类空基矢，且所有的标架场都是沿测地线平行移动的：$\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} \tau} \widehat{e}_m=0$ 。由此，我们可以定义相对于观测者参考系的偏离矢量

$$
\eta^m=e_\mu^m \eta^\mu
$$

其中

$$
\eta^0=e_\mu^0 \eta^\mu=T_\mu \eta^\mu=0 .
$$

剩下的三个类空分量满足的方程为

$$
\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^i-R_{\nu \rho \sigma}^\mu e_\mu^i T^\nu T^\rho \eta^j e_j^\sigma=0,
$$

或简记为

$$
\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^i+K^i{ }_j \eta^j=0,
$$

其中

$$
K_j^i=-R_{\nu \rho \sigma}^\mu e_\mu^i T^\nu T^\rho e_j^\sigma .
$$

我们可以把这个方程与牛顿力学中的引潮力做比较．
在牛顿力学中考虑两个粒子沿曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 运动，如图 7.2 所示．它们的世界线由下面的坐标描述：

$$
x^i(t), \quad x^{\prime i}(t)=x^i(t)+\eta^i(t),
$$

其中 $\eta^i(t)$ 是连接两条曲线的偏离矢量．对于第一个粒子，

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^i}{\mathrm{~d} t^2}=-\delta^{i j} \frac{\partial \Phi(\boldsymbol{x})}{\partial x^j},
$$

而对于第二个粒子，

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}^2 x^{\prime i}}{\mathrm{~d} t^2} & =\frac{\mathrm{d}^2\left(x^i+\eta^i\right)}{\mathrm{d} t^2}=-\delta^{i j} \frac{\partial \Phi(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\eta})}{\partial x^j} \\
& =-\delta^{i j}\left(\frac{\partial \Phi(\boldsymbol{x})}{\partial x^j}+\frac{\partial}{\partial x^k} \frac{\partial \Phi(\boldsymbol{x})}{\partial x^j} \eta^k+\cdots\right),
\end{aligned}
$$

其中 $\Phi$ 为牛顿引力势．两个粒子的相对加速度，即牛顿力学中的偏离方程为

$$
\ddot{\eta}^i=-\delta^{i j}\left(\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^j \partial x^k}\right)_{\boldsymbol{x}} \eta^k .
$$

定义

$$
K_j^i \equiv \partial^i \partial_j \Phi,
$$

上面的方程可写作

$$
\ddot{\eta}^i+K^i{ }_j \eta^j=0 .
$$

![图片](/uploads/2025-12/30142e.jpg)
 
 张量 $K$ 刻画了微分加速度，确定了把相邻粒子推开或者拉拢的力。它们被称为＂引潮力＂或者＂潮汐加速度张量＂。由牛顿力学在真空中的拉普拉斯方程

$$
\nabla^2 \Phi=0,
$$

我们知道张量 $K$ 在真空中是无迹的：

$$
K_i^i=0 .
$$

例 7.1 球分布质量外的引潮力．
此时的牛顿引力势为 $\Phi=-M / r(G=1)$ ，而潮汐加速度为

$$
a_{i j}=-\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^i \partial x^j}=-\left(\delta_{i j}-3 n_i n_j\right) \frac{M}{r^3}
$$

其中 $n^i=x^i / r$ ．在极坐标 $(r, \theta, \phi)$ 中，

$$
a_{r r}=\frac{2 M}{r^3}, a_{\theta \theta}=a_{\phi \phi}=-\frac{M}{r^3}
$$

显然，张量 $K$ 此时是无迹的．对一个沿径向方向自由下落的观测者，可以取上面的基，得到

$$
\frac{\mathrm{d}^2 \eta^r}{\mathrm{~d} t^2}=\frac{2 M}{r^3} \eta^r, \quad \frac{\mathrm{~d}^2 \eta^\theta}{\mathrm{d} t^2}=-\frac{M}{r^3} \eta^\theta, \quad \frac{\mathrm{d}^2 \eta^\phi}{\mathrm{d} t^2}=-\frac{M}{r^3} \eta^\phi
$$

因此，这个观测者将感觉到在径向方向被引潮力拉伸，而在横向方向被引潮力压缩．
例 7.2 地球上的引潮力。
地球上的潮汐现象主要来自月球的影响，尽管太阳的影响也不小。为简化问题，我们这里只讨论月球的影响．假定地球在我们选定坐标系的原点 $(0,0,0)$ ，而月球在 $z$ 轴 $(0,0, d)$ 处，月球的牛顿引力势为

$$
\Phi_{\mathrm{m}}(z)=-\frac{G M_{\mathrm{m}}}{\left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{1 / 2}}
$$

则潮汐加速度为

$$
\left.\left(\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^i \partial x^j}\right)\right|_0=\frac{G M_{\mathrm{m}}}{d^3} \operatorname{diag}(1,1,-2)
$$

考虑海洋中质量为 $m$ 的单元，在 $(y, z)$ 平面上位于 $\boldsymbol{r}=r(0,-\sin \theta, \cos \theta)$ 处，其中 $r \ll d$ ，则引潮力为

$$
\boldsymbol{F}_{\text {tidal }}=\frac{G m M_{\mathrm{m}}}{d^2} \frac{r}{d}(0,-\sin \theta, 2 \cos \theta)
$$

沿着 $z, \theta=0$ 时，该力是沿 $+z$ 方向，而 $\theta=\pi$ 时，该力是沿 $-z$ 方向．也就是说，引潮力把海洋沿 $z$ 方向拉开．相反地，引潮力在横向方向上是挤压海洋的．

在广义相对论中爱因斯坦的等效原理告诉我们，一个航天员在自由下落的航天器中感觉不到任何引力．那么是不是引力都被自由下落所抵消呢？局域地说，假设航天员是一个质点，确实如此．对一滴液体，如果没有任何外力而只存在表面张力，它会保持严格的球形．但是由于引潮力的存在，实际上航天器中的水滴并非严格的球形，而是有微小的形变．在广义相对论中，形变来自测地偏离．换句话说，引潮力可以理解成测地偏离．比较广义相对论和牛顿力学中的测地偏离方程，我们发现

$$
\partial^i \partial_j \Phi=K_j^i=-R_{\nu \rho \sigma}^\mu e_\mu^i T^\nu T^\rho e_j^\sigma
$$

黎曼张量表示了一个物体（如一滴水）沿测地线运动时感觉到的引潮力．一个黎曼张量可以分解成外尔张量、里奇张量和里奇标量．里奇张量包含了存在引潮力时物体体积变化的精确信息，而外尔张量包含了物体的形状如何被引潮力改变的信息．

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