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测地偏离和引潮力

第七章 爱因斯坦方程

我们在前面几章中已经简要介绍了广义相对论中需要的微分几何知识，在这一章中将介绍如何得到爱因斯坦方程．物理上，这可以通过对牛顿引潮力的讨论来获得启示。我们将看到广义相对论中测地偏离方程实际上告诉了我们引潮力的起源，由此我们可以得到真空爱因斯坦方程。对爱因斯坦方程的一般推导，最好的途径是利用作用量原理．在本章中我们还将讨论在弯曲时空中的物质场，以及对能动张量的约束条件．
7.1 测地偏离和引潮力

欧氏几何的第五公设告诉我们：给定一条直线，穿过直线外一点有且仅有一条直线与原来的直线平行．这个公设在非欧几何中不再成立，比如说在二维球面上，所有的测地线都会相交．所以，平行性在非欧几何中不再能够很好地定义．我们可以关注刚开始平行的两条测地线相互之间的偏离矢量（deviation vectors）随测地线的变化情况。为此，我们构造一个单参数族的测地线 $\gamma_s(t)$ ：对每一个实数 $s \in R, \gamma_s$ 是一个被仿射参数 $t$ 所参数化的测地线。这些曲线的集合构成了一个二维的光滑曲面，可以嵌入任意维度的流形 $M$ 中．整个曲面就是点集 $x^\mu(s, t) \in M$ ，我们可以称之为测地线汇．测地线的切矢量为
$$
T^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial t}
$$

而两条相邻测地线间可以定义偏离矢量

$$
S^\mu=\frac{\partial x^\mu}{\partial s}
$$

即 $S^\mu$ 从一条测地线指向另一条相邻的测地线，如图 7.1 所示。
我们希望了解偏离矢量是如何沿着测地线变化的，为此我们计算＂测地相对速度矢量＂

$$
V^\mu=\left(\nabla_{\widehat{T}} \widehat{S}\right)^\mu=T^\rho \nabla_\rho S^\mu
$$

以及＂测地相对加速度＂

$$
a^\mu=\left(\nabla_{\widehat{T}} \widehat{V}\right)^\mu=T^\rho \nabla_\rho V^\mu
$$

![图片](/uploads/2025-12/fb9e33.jpg)
 由于 $\widehat{S}$ 和 $\widehat{T}$ 是相对于坐标系的基矢，它们的对易子

$$
[\widehat{S}, \widehat{T}]=0 .
$$

如果我们考虑无挠情形，由于 $\nabla_{\widehat{X}} \widehat{Y}-\nabla_{\widehat{Y}} \widehat{X}-[\widehat{X}, \widehat{Y}]=0$ ，所以 $\nabla_{\widehat{S}} \widehat{T}=\nabla_{\widehat{T}} \widehat{S}$ ，也就是说

$$
S^\rho \nabla_\rho T^\mu=T^\rho \nabla_\rho S^\mu,
$$

而测地相对 4－加速度为

$$
\begin{aligned}
a^\mu & =T^\rho \nabla_\rho\left(T^\sigma \nabla_\sigma S^\mu\right) \\
& =T^\rho \nabla_\rho\left(S^\sigma \nabla_\sigma T^\mu\right) \\
& =\left(T^\rho \nabla_\rho S^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma T^\mu\right)+T^\rho S^\sigma \nabla_\rho \nabla_\sigma T^\mu \\
& =\left(S^\rho \nabla_\rho T^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma T^\mu\right)+T^\rho S^\sigma\left(\nabla_\sigma \nabla_\rho T^\mu+R_{\nu \rho \sigma}^\mu T^\nu\right) \\
& =\left(S^\rho \nabla_\rho T^\sigma\right)\left(\nabla_\sigma T^\mu\right)+S^\sigma \nabla_\sigma\left(T^\rho \

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