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集合和映射

本章介绍集合与映射、集合上的等价关系、自然数的公理化定义、偏序集和
佐恩引理、代数运算和代数系统、同态映射等基本概念和性质.

1.1 集合和映射

本节介绍集合和映射的基本概念和性质。先介绍集合的相关概念。
具有一定属性能够辨别彼此的若干事物组成的整体称为一个集合。一般用大写字母 $A, B, C, \cdots$ 来表示一个集合，集合里的事物称为这个集合的元素，元素一般用小写字母 $a, b, c, \cdots$ 来表示．

设 $S$ 是一个集合，如果 $x$ 是 $S$ 中的一个元素，则记为 $x \in S$ ；如果 $x$ 不是 $S$的元素，则记为 $x \notin S$ 。

只有有限个元素的集合称为有限集，否则称为无限集．用 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数，并称之为 $S$ 的阶．若 $S$ 为无限集，则记 $|S|=\infty$ ．

当集合 $S$ 是有限集时，一般用列举出它的元素的方式表示．
若 $S$ 是由所有使得某一命题 $P(x)$ 成立的元素组成的集合，记 $S=\{x \mid P(x)\}$ ．
通常记 $\mathbf{N}$ 为全体自然数组成的集合， $\mathbf{Z}$ 为全体整数组成的集合， $\mathbf{Q}$ 为全体有理数组成的集合， $\mathbf{R}$ 为全体实数组成的集合， $\mathbf{C}$ 为全体复数组成的集合， $\mathbf{Z}_n$ 为整数模 $n$ 的剩余类组成的集合。

若集合 $X$ 的每个元素都在集合 $Y$ 中，则称 $X$ 为 $Y$ 的子集，记为 $X \subseteq Y$ ．
若 $X \subseteq Y$ 但 $X \neq Y$ ，称 $X$ 是 $Y$ 的真子集，记为 $X \subset Y$ ．
如果 $X \subseteq Y$ ，且 $Y \subseteq X$ ，称两个集合 $X, Y$ 相等．
不含元素的集合叫做空集，用 $\varnothing$ 表示．

$S$ 的所有子集组成的集合称为 $S$ 的幂集，记为 $P(S)=\{Y \mid Y \subseteq S\}$ ．
设 $X$ 和 $Y$ 是两个集合，所有属于 $X$ 或者属于 $Y$ 的元素组成的集合称为 $X$与 $Y$ 的并集，记为 $X \cup Y$ ．所有既属于 $X$ 又属于 $Y$ 的元素组成的集合称为 $X$ 与 $Y$ 的交集，记为 $X \cap Y$ 。

进而，集合 $X$ 中不属于集合 $Y$ 的元素所组成的集合，称为 $X$ 与 $Y$ 的差集，记为 $X-Y$ ，或者 $X \backslash Y$ ．特别，当 $Y \subseteq X$ 时，$X-Y$ 也称为 $Y$（在 $X$ 中）的余集 （或者补集），记为 $\bar{Y}$ ．

如果 $A, B, C, \cdots$ 都是集合，则 $\{A, B, C, \cdots\}$ 称为一个集簇．称 $I$ 是一个集簇的指标集，如果对 $I$ 的每一个元素 $i$ ，在这个集簇中都有一个意义明确的集合 $X_i$ 与之对应。以 $I$ 为指标集的集簇的并和交分别记为 $\bigcup_{i \in I} X_i$ 和 $\bigcap_{i \in I} X_i$ ．

若 $\left\{X_i \mid i \in I\right\}$ 是一集簇，且当 $i \neq j$ 时，$X_i \cap X_j=\varnothing$ ，则称这一集族中的集合是两两不相交的．如果 $X=\bigcup_{i \in I} X_i$ ，且集合 $X_i$ 两两不相交，则称 $\left\{X_i \mid i \in I\right\}$ 是 $X$ 的一个划分．

如果 $\left\{X_1, \cdots, X_n\right\}$ 是 $n$ 个集合的一个集簇，则它们的笛卡儿积定义为

$$
X_1 \times \cdots \times X_n=\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in X_i, i=1,2, \cdots, n\right\},
$$

简记为 $\prod_{i=1}^n X_i$ ，并规定 $\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\left(y_1, \cdots, y_n\right)$ 当且仅当 $x_i=y_i, i= 1,2, \cdots, n$ ．

笛卡儿积的定义可以推广到任一集簇上。
下面不加证明地给出集合运算的一些简单性质。
定理 1．1．1（集合运算的简单性质）
（1）幂等律 $A \cap A=A, A \cup A=A$ ；
（2）交换律 $A \cap B=B \cap A, A \cup B=B \cup A$ ；
（3）结合律 $(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C),(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$ ；
（4）吸收律 $A \cup(A \cap B)=A, A \cap(A \cup B)=A$ ；
（5）分配律 $\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C), A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$ ；
（6）包容排斥原理 对有限集，有 $|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$ ．

下面介绍映射的概念和性质．通过映射和变换来研究代数系统，是近世代数中最重要的研究方法之一。

定义1．1．1 设 $X$ 和 $Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$ ，使得对于 $X$ 中每一个元素 $x$ ，都存在 $Y$ 中唯一一个元素 $y$ 与它对应，则称法则 $f$ 为集合 $X$ 到集合 $Y$ 的一个映射（或函数）．一般我们用

$$
f: X \rightarrow Y, \text { 或 } X \xrightarrow{f} Y, \text { 或 } f:\left\{\begin{array}{l}
X \rightarrow Y, \\
x \mapsto f(x)
\end{array}\right.
$$

来表示 $f$ 是 $X$ 到 $Y$ 的映射．称 $y$ 为 $x$ 在映射 $f$ 下的象，记为 $y=f(x)$ ．称 $x$ 为 $y$ 在映射 $f$ 下的原象．称 $X$ 为映射 $f$ 的定义域，$Y$ 为映射 $f$ 的值域．

若 $f$ 是集合 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，则 $f$ 对于 $X$ 中每个元素都必须有确定的象，并且 $X$ 中相等元素的象也必须相等，即 $X$ 中每个元素的象是唯一的。例如，有理数集上的对应法则 $f: \frac{b}{a} \rightarrow a+b$ 就不是映射，因为元素 $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ，但 $f\left(\frac{1}{2}\right)=1+2 \neq f\left(\frac{2}{4}\right)$ ．

集合 $f(X)=\{f(x) \mid x \in X\}$ 叫做映射 $f$ 的象，记为 $\operatorname{Im}(f)$ ．
一般地，设 $S$ 为 $X$ 的任一子集，称集合 $f(S)=\{f(x) \mid x \in S\}$ 为 $S$ 在映射 $f$下的象．设 $T$ 为 $Y$ 的任一子集，称集合 $f^{-1}(T)=\{x \in X \mid f(x) \in T\}$ 为 $T$ 在映射 $f$ 下的原象．

定义1．1．2 设 $f$ 是集合 $X$ 到 $Y$ 的一个映射，如果 $X$ 中不同的元素在 $Y$中的象也不同（即若 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ，则有 $x_1=x_2$ ），则称 $f$ 是单射；如果 $Y$ 中的每个元素在 $X$ 中都有原象（即 $f(X)=Y$ ），则称 $f$ 是满射；若 $f$ 既是单射又是满射，则 $f$ 叫做双射。

若 $X, Y$ 都是有限集合且元素个数相等，则 $X$ 到 $Y$ 的映射 $f$ 是单射当且仅当 $f$ 是满射．

定义1．1．3 集合 $X$ 到自身的映射叫做集合 $X$ 的一个变换．
类似可以定义单射变换、满射变换和双射变换．
有限集 $X=\{1,2, \cdots, n\}$ 到自身的变换 $f$ 可以用 $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{array}\right)$表示，其中

$$
f(1)=a_1, \quad f(2)=a_2, \quad \cdots, \quad f(n)=a_n .
$$

集合 $X$ 中每个元素映到自身的变换称为集合 $X$ 的恒等变换或单位变换，简记为 1 或 $\mathbf{1}_X$ ．
设 $A$ 是集合 $X$ 的子集，并设 $f: X \rightarrow Y, g: A \rightarrow Y$ 均是映射，如果对任意 $a \in A$ ，有 $f(a)=g(a)$ ，则 $g$ 称为 $f$ 在 $A$ 上的限制，记为 $\left.f\right|_A$ ，即 $\left.f\right|_A=g$ 。此时，也称 $f$ 为 $g$ 的延拓．

设 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C$ 是两个映射，定义 $f, g$ 的乘积（或合成）为映射

$$
h:\left\{\begin{array}{l}
A \rightarrow C, \\
a \mapsto g(f(a)),
\end{array}\right.
$$

通常记 $h=g \circ f$ ，或简记为 $h=g f$ ．
可以证明映射的合成满足结合律，且有
定理1．1．2 设 $f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C, h: C \rightarrow D$ 是三个映射，则有
（1）$h \circ(g \circ f)=(h \circ g) \circ f ;($ 结合律 $)$
（2） $1_B \circ f=f, f \circ 1_A=f$ ．
设 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z, h: X \rightarrow Z$ 是三个映射，如果 $h=g f$ ，则称图 1－1可交换．

![图片](/uploads/2025-12/946021.jpg)
 
 类似地，如果 f2f1 = f4f3 也称图 1-2 可交换.
  ![图片](/uploads/2025-12/b69545.jpg)
  
  定义 1．1．4 如果 $f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow X$ 且 $g f=1_X$ ，则称 $g$ 是 $f$ 的左逆映射；如果 $f g=1_Y$ ，则称 $g$ 是 $f$ 的右逆映射．若 $g$ 既是 $f$ 的左逆映射，又是 $f$的右逆映射，则称 $g$ 是 $f$ 的逆映射，此时也称 $f$ 是一个可逆映射．

关于可逆映射，容易证明下面的结论成立．
引理1．1．1 设 $f: X \rightarrow Y$ 是映射．
（1）如果 $f$ 既有左逆映射 $g$ ，又有右逆映射 $h$ ，则 $g=h$ ．
（2）进而，如果 $f$ 是可逆映射，则其逆映射是唯一的．记 $f$ 的逆映射为 $f^{-1}$ ，则有 $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ ．

证明（1）由定义有 $g f=1_X, f h=1_Y$ ，故对任意 $y \in Y$ ，有

$$
g(y)=g((f h)(y))=(g f)(h(y))=h(y),
$$

即有 $g=h$ ．
（2）若 $f$ 是可逆映射，设 $g$ 和 $h$ 都是它的逆映射，则它们分别也是 $f$ 的左逆映射和右逆映射，故由（1）知 $g=h$ ，因此 $f$ 的逆映射是唯一的．

不妨记 $f$ 的逆映射为 $f^{-1}$ ，并设 $g=f^{-1}$ ，则有 $g f=1_X, f g=1_Y$ ，从而对 $g$来说，$f$ 是其右逆映射和左逆映射，故 $g^{-1}=f$ ，即 $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ ．\＃

定理1．1．3 设 $f: X \rightarrow Y$ 是映射，则

（1）$f$ 具有左逆映射当且仅当 $f$ 是单射；
（2）$f$ 具有右逆映射当且仅当 $f$ 是满射；
（3）$f$ 是可逆映射当且仅当 $f$ 是双射．
证明（1）必要性 设 $f$ 具有左逆映射，则存在 $g: Y \rightarrow X$ ，使 $g f=1_X$ ．若 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ ，则

$$
x_1=(g f)\left(x_1\right)=g\left(f\left(x_1\right)\right)=g\left(f\left(x_2\right)\right)=(g f)\left(x_2\right)=x_2,
$$

故 $f$ 是单射．
充分性 设 $f$ 是单射，定义 $g: Y \rightarrow X$ 为

$$
g(y)= \begin{cases}x_y, & \text { 若 } y \in f(X), \text { 这时存在唯一的 } x_y \in X \text { 使 } f\left(x_y\right)=y, \\ x_0, & \text { 若 } y \in Y-f(X), \text { 这里 } x_0 \text { 是 } X \text { 中一固定元素. }\end{cases}
$$

显然，$g f=1_X$ ，故 $g$ 是 $f$ 的左逆映射．
（2）必要性 设 $f$ 具有右逆映射，则存在 $g: Y \rightarrow X$ ，使得 $f g=1_Y$ ，于是对于任意 $y \in Y$ ，有 $f g(y)=y$ ，故 $y$ 有原象 $g(y)$ ，从而 $f$ 为满射．

充分性 设 $f$ 是满射，则对任意 $y \in Y$ ，存在 $x_y \in X$ ，使得 $f\left(x_y\right)=y$ ，定义 $g(y)=x_y$ ，则 $f g=1_X$ ，故 $g$ 是 $f$ 的右逆映射．
（3）可从（1），（2）和引理 1．1．1 直接推出．

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