最后更新: 2025-12-06 15:28 查看: 41 次纠错评论(0) 课件开VIP

等价关系

1.2 等价关系

集合中的两个元素之间常常存在某种关系．例如，两个实数的大小，两个矩阵的相似或不相似，空间两直线平行或者不平行，两个整数模 $n$ 同余或者不同余都是特定集合上的重要关系。

定义1．2．1 设 $S$ 是一个非空集合，$R$ 是 $S \times S$ 的一个子集，则 $R$ 叫做 $S$上的一个二元关系（简称关系）．若 $(a, b) \in R$ ，则说 $a, b$ 有关系 $R$ ，记作 $a R b$ 。

上面列举的＂大小＂＂相似＂＂平行＂＂同余＂等都是它们相应的集合上的二元关系．又如，整数集合上整数的整除关系也是该集合上的二元关系．

按照矩阵的相似关系可以将 $n$ 阶复矩阵分成若干类，使之每一类都有一个标准形作为代表，按照整数模 $n$ 同余的关系也可以将整数分成若干类，这些都是下面介绍的等价关系。

定义1．2．2 如果一个非空集合 $S$ 上的二元关系 $R$ 满足下列条件：
（1）反身性 对任意 $a \in S$ ，均有 $a R a$ ；
（2）对称性 若 $a R b$ ，则 $b R a$ ；
（3）传递性 若 $a R b$ 且 $b R c$ ，则 $a R c$ ．
则称 $R$ 是 $S$ 上的一个等价关系，等价关系通常记成＂$\sim$＂。
例如，空间两条直线的平行关系，两个 $n$ 阶复矩阵的相似关系都是等价关系．但实数集合上的大小关系，整数集合上整数的整除关系，都不是等价关系。下面的一个例子是我们经常用到的一个等价关系。

例1．2．1 设 $n$ 是一给定的正整数，对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，规定
$$
a \sim b \text { 当且仅当 } n \mid(a-b) \text {, }
$$

则 $\sim$ 是整数集 $\mathbf{Z}$ 上的一个等价关系。
设 $S$ 是一非空集合，＂$\sim$＂是 $S$ 上的一个等价关系，对任意 $a \in S$ ，令

$$
\bar{a}=\{x \in S \mid x \sim a\}
$$

称 $\bar{a}$ 为 $a$ 所在的等价类，称 $a$ 为该等价类的一个代表元．容易证明
（1）对任意 $a, b \in S, a \sim b$ 当且仅当 $b \in \bar{a}$ 当且仅当 $\bar{a}=\bar{b}$ ；
（2）对任意 $a, b \in S$ ，要么 $\bar{a}=\bar{b}$ ，要么 $\bar{a} \cap \bar{b}=\varnothing$ ；
（3）集合 $S$ 中的元素可以分成不交的一些等价类的并，即有 $S=\bigcup_{a \in S} \bar{a}$ ．
定义1．2．3 如果非空子集 $S$ 的一组子集 $\left\{S_\lambda \mid \lambda \in I\right\}$ ，其中 $I$ 为指标集，满足下列条件：

（1）$S=\bigcup_{\lambda \in I} S_\lambda$ ；
（2）$S_\lambda \cap S_\mu=\varnothing, \lambda \neq \mu, \lambda, \mu \in I$ ．
则 $\left\{S_\lambda\right\}$ 叫做 $S$ 的一个划分．
设 $\sim$ 是集合 $S$ 上的一个等价关系，$S$ 的全体等价类构成的集合 $\{\bar{a} \mid a \in S\}$ （去掉重复的等价类）就是 $S$ 的一个划分．$S$ 的这些非重复的不同的等价类构成一个新的集合，称为 $S$ 关于等价关系 $\sim$ 的商集，记为 $S / \sim$ 。

反之，如果 $\left\{S_\lambda \mid \lambda \in I\right\}$ 是集合 $S$ 的一个划分，对任意 $a, b \in S$ ，规定

$$
a \sim b \text { 当且仅当 } a, b \text { 属于同一个 } S_\lambda \text {. }
$$

可以证明这样定义的二元关系＂$\sim$＂是 $S$ 上的一个等价关系。
整数集合 $\mathbf{Z}$ 在例1．2．1 中定义的等价关系下的商集为 $\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}\}$ ，其中 $\bar{i}=\{i+k n, \mid k \in \mathbf{Z}\}$ ，称为模 $n$ 的同余类．$\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}\}$ 为整数集 $\mathbf{Z}$的一个划分．

设 $\sim$ 是集合 $S$ 上的一个等价关系，则可以构造 $S$ 到商集 $S / \sim$ 上的自然映射

$$
\varphi: a \rightarrow \bar{a}, a \in S,
$$

它是一个满射，而且 $\varphi(a)=\varphi(b)$ 当且仅当 $a \sim b$ ．
反之，设 $\psi$ 为集合 $S$ 到 $T$ 的一个映射，在 $S$ 上可以如下定义一个关系 $\sim$ ：

$$
a \sim b \text { 当且仅当 } \psi(a)=\psi(b), a, b \in S \text {, }
$$

可以证明 $\sim$ 是 $S$ 上的一个等价关系，于是存在 $S$ 到 $S / \sim$ 的自然映射 $\varphi$ ．再构造 $S / \sim$ 到 $T$ 的如下对应关系 $\bar{\psi}$ ：
$$
\bar{\psi}(\bar{a})=\psi(a), \quad a \in S .
$$

可以证明 $\bar{\psi}$ 是映射，且是单射，并且有 $\psi=\bar{\psi} \cdot \varphi$ ，用图表示就是图 1－3．

![图片](/uploads/2025-12/45511c.jpg)

进而，如果 $\psi$ 是满射，则 $\bar{\psi}$ 也是满射．

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