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第一章 预备知识
等价关系
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更新:
2025-12-06 15:28
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等价关系
1.2 等价关系 集合中的两个元素之间常常存在某种关系.例如,两个实数的大小,两个矩阵的相似或不相似,空间两直线平行或者不平行,两个整数模 $n$ 同余或者不同余都是特定集合上的重要关系。 定义1.2.1 设 $S$ 是一个非空集合,$R$ 是 $S \times S$ 的一个子集,则 $R$ 叫做 $S$上的一个二元关系(简称关系).若 $(a, b) \in R$ ,则说 $a, b$ 有关系 $R$ ,记作 $a R b$ 。 上面列举的"大小""相似""平行""同余"等都是它们相应的集合上的二元关系.又如,整数集合上整数的整除关系也是该集合上的二元关系. 按照矩阵的相似关系可以将 $n$ 阶复矩阵分成若干类,使之每一类都有一个标准形作为代表,按照整数模 $n$ 同余的关系也可以将整数分成若干类,这些都是下面介绍的等价关系。 定义1.2.2 如果一个非空集合 $S$ 上的二元关系 $R$ 满足下列条件: (1)反身性 对任意 $a \in S$ ,均有 $a R a$ ; (2)对称性 若 $a R b$ ,则 $b R a$ ; (3)传递性 若 $a R b$ 且 $b R c$ ,则 $a R c$ . 则称 $R$ 是 $S$ 上的一个等价关系,等价关系通常记成"$\sim$"。 例如,空间两条直线的平行关系,两个 $n$ 阶复矩阵的相似关系都是等价关系.但实数集合上的大小关系,整数集合上整数的整除关系,都不是等价关系。下面的一个例子是我们经常用到的一个等价关系。 例1.2.1 设 $n$ 是一给定的正整数,对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$ ,规定 $$ a \sim b \text { 当且仅当 } n \mid(a-b) \text {, } $$ 则 $\sim$ 是整数集 $\mathbf{Z}$ 上的一个等价关
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