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自然数的公理化定义

1.3 自然数的公理化定义

在人类历史的漫长岁月中，人类通过生产和生活实践，逐步产生了数的概念．人们对数的认识是从自然数开始的，然后才逐渐认识整数、有理数、实数和复数．通常我们用 $0,1,2, \cdots$ 来表示自然数，用 $\mathbf{N}$ 表示自然数集．自然数集是可数无限集合的一个原型，自然数的整除性和素数的研究又促进了数论的发展。1889年，意大利数学家佩亚诺（Peano）在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中阐述了如下关于自然数的公理化定义，刻画了自然数的本质，也给出了数学归纳法原理的依据。

定义1．3．1（自然数的佩亚诺公理）任何一个非空集合 $\mathbf{N}$ 称为自然数集合，如果在这个集合中对于某些元素 $a$ 和 $b$ 存在着关系＂$b$ 是 $a$ 的后继＂$(a$ 的后继用 $a^{\prime}$ 来表示），且满足下面的五条公理：
（1） 0 是自然数，即 $0 \in \mathbf{N}$ ；
（2）每一个确定的自然数 $a \in \mathbf{N}$ ，都具有确定的后继 $a^{\prime} \in \mathbf{N}$ ；
（3） 0 不是任何自然数的后继，即对于 $\mathbf{N}$ 中的任意元素 $a$ ，都有 $a^{\prime} \neq 0$ ；
（4）不同的自然数有不同的后继，即对任意 $a, b \in \mathbf{N}$ ，若 $a^{\prime}=b^{\prime}$ ，则 $a=b$ ；
（5）设 $S$ 为 $\mathbf{N}$ 的子集合，如果 $S$ 满足：（i） $0 \in S$ ，（ii）若 $a \in S$ ，则 $a^{\prime} \in S$ ，那么 $S$ 是包含所有自然数的集合，即 $S=\mathbf{N}$（归纳公理）．

满足上面公理的 $\mathbf{N}$ 中的元素通常称为自然数．若 $b$ 为 $a$ 的后继，也称 $b$ 在 $a$ 的后面，或者 $a$ 在 $b$ 的前面．

由自然数的公理化定义（2）和（4）可知 $\mathbf{N}$ 是无限集合，并且由（5）归纳公理可以得到下面的第一数学归纳法原理成立，它是归纳法证明方法的基础．

第一数学归纳法 设 $P(n)$ 是关于自然数 $n$ 的某种性质，如果我们能够证明：
（1）$P(0)$ 是真的；
（2）若对任一自然数 $n, P(n)$ 是真的，则 $P\left(n^{\prime}\right)$ 也是真的．那么可以断言 $P(n)$ 对所有自然数都是真的．

利用第一数学归纳法可以证明：
命题1．3．1 自然数集 $\mathbf{N}$ 中任一非 0 元素均在一个元素的前面．
证明 若记 $S$ 为自然数集 $\mathbf{N}$ 中在某个元素后面的元素构成的集合，需要证 $S \cup\{0\}=\mathbf{N}$.

显然 $0 \in S \cup\{0\}$ ．此外，若 $n \in S$ ，则由集合 $S$ 的定义，显然有 $n^{\prime} \in S$ ，故由第一数学归纳法知，$S \cup\{0\}=\mathbf{N}$ ，即自然数集 $\mathbf{N}$ 中任一非 0 元素均在一个元素的前面．

\＃

此外，在自然数上还可以归纳地定义一个概念或者归纳地构造一个函数．自然数的加法和乘法的定义就是典型的例子。

在自然数集 $\mathbf{N}$ 上可以定义加法：对任意 $m, n \in \mathbf{N}$ ，规定

$$
\begin{gathered}
m+0=m \\
m+n^{\prime}=(m+n)^{\prime}
\end{gathered}
$$

可以证明加法满足结合律、交换律和加法消去律．下面以加法结合律为例加以说明．

命题1．3．2 证明：对任意 $m, n, k \in \mathbf{N}$ ，有

$$
(m+n)+k=m+(n+k) .
$$

证明 对自然数 $k$ 归纳．
（1）当 $k=0$ 时，有

$$
\begin{ali

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