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自然数的公理化定义

1.3 自然数的公理化定义

在人类历史的漫长岁月中，人类通过生产和生活实践，逐步产生了数的概念．人们对数的认识是从自然数开始的，然后才逐渐认识整数、有理数、实数和复数．通常我们用 $0,1,2, \cdots$ 来表示自然数，用 $\mathbf{N}$ 表示自然数集．自然数集是可数无限集合的一个原型，自然数的整除性和素数的研究又促进了数论的发展。1889年，意大利数学家佩亚诺（Peano）在《用一种新方法陈述的算术原理》一书中阐述了如下关于自然数的公理化定义，刻画了自然数的本质，也给出了数学归纳法原理的依据。

定义1．3．1（自然数的佩亚诺公理）任何一个非空集合 $\mathbf{N}$ 称为自然数集合，如果在这个集合中对于某些元素 $a$ 和 $b$ 存在着关系＂$b$ 是 $a$ 的后继＂$(a$ 的后继用 $a^{\prime}$ 来表示），且满足下面的五条公理：
（1） 0 是自然数，即 $0 \in \mathbf{N}$ ；
（2）每一个确定的自然数 $a \in \mathbf{N}$ ，都具有确定的后继 $a^{\prime} \in \mathbf{N}$ ；
（3） 0 不是任何自然数的后继，即对于 $\mathbf{N}$ 中的任意元素 $a$ ，都有 $a^{\prime} \neq 0$ ；
（4）不同的自然数有不同的后继，即对任意 $a, b \in \mathbf{N}$ ，若 $a^{\prime}=b^{\prime}$ ，则 $a=b$ ；
（5）设 $S$ 为 $\mathbf{N}$ 的子集合，如果 $S$ 满足：（i） $0 \in S$ ，（ii）若 $a \in S$ ，则 $a^{\prime} \in S$ ，那么 $S$ 是包含所有自然数的集合，即 $S=\mathbf{N}$（归纳公理）．

满足上面公理的 $\mathbf{N}$ 中的元素通常称为自然数．若 $b$ 为 $a$ 的后继，也称 $b$ 在 $a$ 的后面，或者 $a$ 在 $b$ 的前面．

由自然数的公理化定义（2）和（4）可知 $\mathbf{N}$ 是无限集合，并且由（5）归纳公理可以得到下面的第一数学归纳法原理成立，它是归纳法证明方法的基础．

第一数学归纳法 设 $P(n)$ 是关于自然数 $n$ 的某种性质，如果我们能够证明：
（1）$P(0)$ 是真的；
（2）若对任一自然数 $n, P(n)$ 是真的，则 $P\left(n^{\prime}\right)$ 也是真的．那么可以断言 $P(n)$ 对所有自然数都是真的．

利用第一数学归纳法可以证明：
命题1．3．1 自然数集 $\mathbf{N}$ 中任一非 0 元素均在一个元素的前面．
证明 若记 $S$ 为自然数集 $\mathbf{N}$ 中在某个元素后面的元素构成的集合，需要证 $S \cup\{0\}=\mathbf{N}$.

显然 $0 \in S \cup\{0\}$ ．此外，若 $n \in S$ ，则由集合 $S$ 的定义，显然有 $n^{\prime} \in S$ ，故由第一数学归纳法知，$S \cup\{0\}=\mathbf{N}$ ，即自然数集 $\mathbf{N}$ 中任一非 0 元素均在一个元素的前面．

\＃

此外，在自然数上还可以归纳地定义一个概念或者归纳地构造一个函数．自然数的加法和乘法的定义就是典型的例子。

在自然数集 $\mathbf{N}$ 上可以定义加法：对任意 $m, n \in \mathbf{N}$ ，规定

$$
\begin{gathered}
m+0=m \\
m+n^{\prime}=(m+n)^{\prime}
\end{gathered}
$$

可以证明加法满足结合律、交换律和加法消去律．下面以加法结合律为例加以说明．

命题1．3．2 证明：对任意 $m, n, k \in \mathbf{N}$ ，有

$$
(m+n)+k=m+(n+k) .
$$

证明 对自然数 $k$ 归纳．
（1）当 $k=0$ 时，有

$$
\begin{aligned}
& \text { 左边 }=(m+n)+0=m+n \text {, } \\
& \text { 右边 }=m+(n+0)=m+n \text {, }
\end{aligned}
$$

故当 $k=0$ 时结论成立．

（2）假设结论对自然数 $k$ 成立，下面证明结论对自然数 $k^{\prime}$ 也成立．事实上，由自然数加法的定义和归纳假设有

$$
(m+n)+k^{\prime}=((m+n)+k)^{\prime}=(m+(n+k))^{\prime}=m+(n+k)^{\prime}=m+\left(n+k^{\prime}\right),
$$

故结论对自然数 $k^{\prime}$ 也成立．
综上，由第一数学归纳法知，结论对任意自然数 $k$ 都成立．

\＃

在自然数集 $\mathbf{N}$ 上还可以定义乘法：对任意 $m, n \in \mathbf{N}$ ，规定

$$
\begin{gathered}
m \cdot 0=0, \\
m \cdot n^{\prime}=m \cdot n+m,
\end{gathered}
$$

可以证明乘法具有结合律、交换律和乘法消去律，并且乘法对加法具有分配律．
如果规定 $0^{\prime}=1$ ，则 $m \cdot 1=m$ 。
在自然数集 $\mathbf{N}$ 上可以定义 $\leqslant$ 关系（序），规定 $a \leqslant b$ 当且仅当 $a+x=b$ 在 N 中有解。

可以证明 $\leqslant$ 关系具有下列性质：
（1）反身性 对任意 $m \in \mathbf{N}$ ，有 $m \leqslant m$ ；
（2）传递性 对任意 $m, n, k \in \mathbf{N}$ ，若 $m \leqslant n, n \leqslant k$ ，则 $m \leqslant k$ ；
（3）反对称性 对任意 $m, n \in \mathbf{N}$ ，若 $m \leqslant n$ ，且 $n \leqslant m$ ，则 $m=n$ ．
满足这些性质的二元关系称为偏序（参见 1.4 节）。
类似可以定义自然数集 $\mathbf{N}$ 上的＜关系，规定 $m<n$ 当且仅当 $m \leqslant n$ 且 $m \neq n$ ．

显然对任意 $n \in \mathbf{N}$ ，有 $n<n^{\prime}$ ，且 $n$ 和 $n^{\prime}$ 之间不存在其他的自然数．
自然数集的最小数原理（良序性质）自然数集 $\mathbf{N}$ 的任意一个非空子集 $S$ 必含有一个最小数，也就是说存在一个数 $a \in S$ ，对于任意的 $b \in S$ ，都有 $a \leqslant b$ ．

证明 设 $S$ 为自然数集 $\mathbf{N}$ 的任意一个非空子集，要证明 $S$ 必含有一个最小数．下面用归纳法证明一个更强的命题：对任意自然数 $n$ ，若 $n \in S$ ，则 $S$ 必含有一个最小数．
（1）当 $n=0$ 时，若 $0 \in S$ ，则 0 为 $S$ 中的最小数．
（2）假设当 $n=k$ 时结论成立，即当 $k \in S$ 时 $S$ 必含有一个最小数，下面证明当 $n=k^{\prime}$ 时结论也成立，即当 $k^{\prime} \in S$ 时 $S$ 必含有一个最小数．

令 $S_1=S \cup\{k\}$ ，显然 $k \in S_1$ ，故由归纳假设知，$S_1$ 有最小数，不妨设为 $a$ 。
若 $a \in S$ ，则 $a$ 也为 $S$ 的最小数；
若 $a \notin S$ ，则 $a=k$ ，且对任意 $b \in S$ ，有 $k<b$ ，从而 $k^{\prime} \leqslant b$ ，故 $k^{\prime}$ 为 $S$ 的最小数．

综上可知，对任意自然数 $n$ ，若 $n \in S$ ，则 $S$ 必含有一个最小数．

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以最小数原理为基础，我们可以证明第二数学归纳法原理成立．
第二数学归纳法 设 $P(n)$ 是关于自然数 $n$ 的某种性质，如果我们能够证明：
（1）$P(0)$ 是真的；
（2）若对于所有小于 $n$ 的自然数 $x, P(x)$ 都是真的，则 $P(n)$ 也是真的．那么可以断言 $P(n)$ 对所有自然数都是真的．

证明 用反证法．假设 $P(n)$ 不是对于所有自然数 $n$ 都成立，令 $S$ 为使得 $P(n)$ 不成立的所有自然数 $n$ 构成的集合，即

$$
S=\{n \in \mathbf{N} \mid P(n) \text { 不成立 }\} \text {, }
$$

则有 $S \neq \varnothing$ ，于是由最小数原理，$S$ 中有最小数 $h$ ．
又因为 $h$ 是 $S$ 中的最小数，所以 $n<h$ 时 $P(n)$ 都成立，于是由第二数学归纳法的条件知，$P(h)$ 也成立，这与 $h \in S$ 矛盾．故命题 $P(n)$ 对于所有自然数 $n$都成立。

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以上是最常见的数学归纳法的形式，数学归纳法还有多种复杂的变形，我们可以在实际问题中逐步学习领会．实际上，最小数原理、第一数学归纳法和第二数学归纳法这三者是等价的，读者可以自行证明．

在自然数加法和乘法的基础上，我们可以定义减法和整除，还可以定义整数，以及整数上的加法、减法、乘法与整除．本节的最后，我们介绍如何利用等价关系将自然数集合扩充到整数集合和有理数集合．

作自然数集的笛卡儿积 $\mathbf{N} \times \mathbf{N}=\{(a, b) \mid a, b \in \mathbf{N}\}$ ，其中 $(a, b)$ 表示自然数 $a, b$ 的差．由于有不同的 $(a, b)$ 表示同一个差，我们可以在 $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ 中引入一个关系 $\sim$ ：

$$
(a, b) \sim(c, d) \text { 当且仅当 } a+d=b+c \text {, }
$$

可以证明 $\sim$ 是 $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ 上的一个等价关系．包含 $(a, b)$ 的等价类记作 $\overline{(a, b)}$ ．商集 $\mathbf{N} \times \mathbf{N} / \sim$ 记作 $\mathbf{Z}$ ，这就是整数集合．在 $\mathbf{Z}$ 中可以定义加法和乘法如下：

$$
\begin{aligned}
\overline{(a, b)} \oplus \overline{(c, d)} & =\overline{(a+c, b+d)} \\
\overline{(a, b)} \odot \overline{(c, d)} & =\overline{(a c+b d, a d+b c)}
\end{aligned}
$$

不难验证，上述定义与代表元的选择无关。由于自然数的加法和乘法运算满足交换律、结合律和分配律，容易验证整数集 $\mathbf{Z}$ 中的运算也满足同样的运算律．在这种定义下，我们可以用 $\overline{(n, 0)}$ 表示自然数 $n$ ，而用 $\overline{(0, n)}$ 表示负整数 $-n$ ．进而，若简记 $n=\overline{(n, 0)},-n=\overline{(0, n)}$ ，则 $\mathbf{Z}$ 就是我们常用的整数集合．

类似地，作整数集的笛卡儿积 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}=\{(a, b) \mid a, b \in \mathbf{Z}\}$ ，其中 $(a, b)$ 表示整数 $a, b$ 的商．由于有不同的 $(a, b)$ 表示同一个商，我们可以在 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ 中引入一个关系 $\sim$ ：

$$
(a, b) \sim(c, d) \text { 当且仅当 } a d=b c \text {, }
$$

可以证明 $\sim$ 是 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ 上的一个等价关系。包含 $(a, b)$ 的等价类记作 $\overline{(a, b)}$ ．商集 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z} / \sim$ 记作 $\mathbf{Q}$ ，这就是有理数集合．在 $\mathbf{Q}$ 中可以定义加法和乘法如下：

$$
\begin{gathered}
\overline{(a, b)} \oplus \overline{(c, d)}=\overline{(a d+b c, b d)}, \\
\overline{(a, b)} \odot \overline{(c, d)}=\overline{(a c, b d)}
\end{gathered}
$$

不难验证，上述定义与代表元的选择无关． $\mathbf{Q}$ 中的运算也满足相应的运算律．
在这种定义下，我们可以用 $\overline{(n, 1)}$ 表示整数 $n$ ，而用 $\overline{(1, m)}$ 表示非零整数 $m$的倒数．若简记 $n / m=\overline{(n, m)}$ ，则 $\mathbf{Q}$ 就是我们常用的有理数集合．

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