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偏序集合和佐恩引理

1.4 偏序集合和佐恩引理

本节介绍偏序、偏序集及相关概念和性质．
定义1．4．1 如果一个非空集合 $X$ 的二元关系 $R$ 满足下列条件：
（1）反身性 对任意 $a \in X$ ，均有 $a R a$ ；
（2）反对称性 若 $a R b$ ，且 $b R a$ ，则 $a=b$ ；
（3）传递性 若 $a R b$ 且 $b R c$ ，则 $a R c$ ．
则称 $R$ 是集合 $X$ 的一个偏序关系．
通常用符号 $\leqslant$ 来表示偏序 $R$ ，且把 $\left(x_1, x_2\right) \in R$ 记作 $x_1 \leqslant x_2$ ．同样，如果 $x_1 \leqslant x_2$ 且 $x_1 \neq x_2$ ，则记为 $x_1<x_2$ ．一个具有偏序 $\leqslant$ 的集合 $X$ 称为偏序集，记 $(\boldsymbol{X}, \leqslant)$ ．

如果对 $X$ 中的任意两个元素 $x_1, x_2$ ，都有 $\left(x_1, x_2\right) \in R$ 或者 $\left(x_2, x_1\right) \in R$（即有 $x_1 \leqslant x_2$ 或者 $x_2 \leqslant x_1$ ，此时也称 $x_1, x_2$ 是可比较的），则偏序 $R$ 叫全序或线性序．若 $A \subseteq X$ ，且 $A$ 关于 $X$ 上的一个偏序 $R$ 是线性序集，则 $A$ 称为 $X$ 上的链．

例1．4．1 自然数集 $\mathbf{N}$ 按照数的小于等于关系成为一个线性序集．
例1．4．2 自然数集 N 按照数的整除关系成为一个偏序集．
例1．4．3 设 $S$ 是一个非空集合，$P(S)$ 为其幂集，则集合的包含关系 $\subseteq$ 是 $P(S)$ 上的一个偏序，但不是线性序．$P(S)$ 为一个链当且仅当 $S$ 为空集或者只含一个元素。

定义 1．4．2 设 $X$ 是一个偏序集合，如果对于元素 $a \in X$ ，不存在 $x \in X$ 使得 $x<a$ ，则 $a$ 称为 $X$ 的一个极小元．如果对于元素 $a \in X$ ，不存在 $x \in X$ ，使 $a<x$ ，则 $a$ 称为 $Y$ 的一个极大元．

例1．4．4 令 $N_1=\mathbf{N}-\{0,1\}$ ，集合 $N_1$ 按数的整除关系构成偏序集，每个素数都是 $N_1$ 的极小元，$N_1$ 无极大元。

定义1．4．3 设 $X$ 是一个偏序集合，$Y$ 为 $X$ 的非空子集．对于元素 $a \in X$ ，如果对所有 $y \in Y$ ，都有 $a \leqslant y$ ，则 $a$ 称为 $Y$ 的一个下界．对于元素 $b \in X$ ，如果对所有 $y \in Y$ ，都有 $y \leqslant b$ ，则 $b$ 称为 $Y$ 的一个上界．

进而，若 $a \in Y$ ，且 $a$ 为 $Y$ 的一个下界（即对所有 $y \in Y$ ，都有 $a \leqslant y$ ），则 $a$称为 $Y$ 的一个最小元．若 $b \in Y$ ，且 $b$ 为 $Y$ 的一个上界（即对所有 $y \in Y$ ，都有 $y \leqslant b)$ ，则 $b$ 称为 $Y$ 的一个最大元．

偏序集 $X$ 的子集 $Y$ 的上界、下界、最大元、最小元不一定存在，其上下界可以有无穷多个，但最小（大）元至多只能有一个（由偏序关系的反对称性知）．

例1．4．1中，令子集 $A=\{2 k \mid k \in \mathbf{N}\}$ ，按自然数的小于等于关系，$A$ 没有上界但有下界 0 ，且 $0 \in A$ ，从而 0 是 $A$ 的最小元，但 $A$ 没有最大元．

例 1．4．2 中，按自然数的整除关系， 1 是 $\mathbf{N}$ 的最小元素， 0 是 $\mathbf{N}$ 的最大元．再令子集 $B=\{2 k+1 \mid k \in \mathbf{N}\}$ ，则 $B$ 有下界 1 和上界 0 ，其中 $1 \in B$ ，但 $0 \notin B$ 。

例 1．4．3 中，按照集合的包含关系，空集是 $P(X)$ 的最小元，$X$ 是 $P(X)$ 的最大元。

偏序集 $S$ 的每个非空集合都有最小元，这个偏序称为良序，具有良序的集合称为良序集合．良序显然是全序．

由最小数原理知自然数集合按数的小于等于组成的偏序集合是良序集合，而自然数上的数学归纳法可以推广到良序集合上（与第二数学归纳法的证明类似）．

超限归纳法原理 设 $M$ 为一个良序集合，$P$ 是一个性质。如果下列命题成立：＂如果 $x<a$ 时，$x$ 具有性质 $P$ ，则 $a$ 也具有性质 $P$＂，那么 $M$ 中的所有元素都具有性质 $P$ 。

为了证明某些代数对象的存在性问题，往往需要用到选择公理、良序定理或者佐恩（Zorn）引理．选择公理由策梅洛（Zermelo）于1904年提出．

选择公理 设 $T=\left\{A_\alpha \mid \alpha \in I\right\}$ 为一簇非空集合 $A_\alpha(\alpha \in I, I$ 为指标集）组成的非空集，则存在一个 $T$ 上的函数 $f$ ，使得对于所有 $\alpha \in I$ ，恒有 $f\left(A_\alpha\right) \in A_\alpha$ ．
$f$ 称为 $T$ 上的一个选择函数．选择公理意味着存在某种规律使得可以从每个 $A_\alpha(\alpha \in I)$ 中同时挑出一个元素．策梅洛利用选择公理证明了著名的良序定理．

良序定理 每个集合都存在一个良序。
良序定理说明了良序集合的存在性，而上面介绍的超限归纳法原理表明自然数上的数学归纳法可以推广到良序集合上．反之，由良序定理容易推出选择公理．

与选择公理等价的还有一个非常重要的极大原理，也就是佐恩引理。它与良序定理比较，应用起来方便得多，因而得到广泛的应用．限于篇幅，这些定理的等价性从略。

佐恩引理 若一个偏序集 $S$ 的每个链都有上界，则 $S$ 有一个极大元．
下面我们应用佐恩引理来证明数域上线性空间 $V$ 的基的存在性。 $V$ 的一个非空向量组 $S$（包含向量的个数有限或者无限）叫做线性无关的，如果 $S$ 的每个非空有限子集都是线性无关的。

证明 $V$ 中一切线性无关的向量组作元素构成的集合 $\Omega$ 按照包含关系成一偏序集．
设 $\Sigma=\left\{S_\alpha \mid \alpha \in I\right\}$ 为 $\Omega$ 的一个链，可以证明并集 $S=\bigcup_{\alpha \in I} S_\alpha$ 也是一个线性无关的向量组，从而 $S$ 为链 $\Sigma$ 的一个上界。于是根据佐恩引理，$\Omega$ 有一个极大元 $M$ ．再由 $M$ 的极大性，可证向量组 $M$ 就是 $V$ 的基。

下面先证明并集 $S=\bigcup_{\alpha \in I} S_\alpha$ 是一个线性无关的向量组，也是 $\Sigma$ 的一个上界．事实上，设 $A=\left\{\gamma_1, \cdots, \gamma_n\right\}$ 是 $S$ 的任意一个有限子集，于是每个 $\gamma_i$ 必包含在某一个 $S_{\alpha_i}\left(\alpha_i \in I\right)$ 内，由于 $\Sigma$ 是一个链，故 $S_{\alpha_1}, \cdots, S_{\alpha_n}$ 又包含在某个共同的 $S_\beta(\beta \in I)$ 内，于是有 $A \subseteq S_\beta$ ，从而 $A$ 也是一个线性无关的向量组．因此 $S$ 也是一个线性无关的向量组，从而 $S \in \Omega$ ，故 $S$ 是 $\Sigma$ 的一个上界．

再证明向量组 $M$ 就是 $V$ 的一组基．由于 $M$ 是 $\Omega$ 的极大元，它为一组线性无关的向量组。如果 $M$ 不是 $V$ 的一组基，则存在 $V$ 中向量 $b, b$ 不能表成 $M$ 中任何有限个向量的线性组合，于是 $M \cup\{b\}$ 是 $\Omega$ 的更大的线性无关的向量组，这与 $M$ 的极大性矛盾，故向量组 $M$ 就是 $V$ 的一组基。

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利用佐恩引理，我们今后还将证明任意交换么环必有极大理想。

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