最后更新: 2025-12-06 15:48 查看: 8 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

代数运算和代数系统(群环)

## 代数运算和代数系统
本节介绍代数运算、代数系统和代数系统上的同态映射．
定义1．5．1 设 $S$ 是一个非空集合，任意一个由 $S \times S$ 到 $S$ 的映射称为 $S$上的一个（二元）代数运算，记为 $\omega: S \times S \rightarrow S$ 。对任意 $x, y \in S$ ，通常把 $\omega(x, y)$简记为 $x y$ 。

例如，实数集 $\mathbf{R}$ 中两个实数的加法和乘法都是 $\mathbf{R}$ 上的代数运算．再如，整数模 $n$ 的剩余类集合 $\mathbf{Z}_n=\{\bar{k} \mid 0 \leqslant k \leqslant n-1\}$ ，考虑 $\mathbf{Z}_n$ 上剩余类之间的加法和乘法，$+: \bar{a}+\bar{b} \mapsto \overline{a+b}, \times: \bar{a} \times \bar{b} \mapsto \overline{a b}$ ，它们也是 $\mathbf{Z}_n$ 上的代数运算．

定义1．5．2 设 $S$ 是一个非空集合，$\Omega=\left\{f_1, f_2, \cdots\right\}$ 是 $S$ 上定义的一个或者若干个代数运算构成的集合，则 $S$ 关于这些代数运算构成一个代数系统，记为 $(S, \Omega)$ ．

对于定义了运算的代数系统，可以如下定义保持代数运算的映射，即同态映射。

定义1．5．3 设 $(S, *),(T, \diamond)$ 是分别定义了代数运算 $*$ 和 $\diamond$ 的两个代数系统，$\sigma$ 是 $S$ 到 $T$ 的映射．如果 $\sigma$ 保持运算，即对于任意 $a, b \in S$ ，有

$$
\sigma(a * b)=\sigma(a) \diamond \sigma(b),
$$

则称 $\sigma$ 为 $S$ 到 $T$ 的同态映射．若映射 $\sigma$ 为满（单）射，则称 $\sigma$ 为满（单）同态．若 $\sigma$ 为双射，则称 $\sigma$ 为同构。

下面考虑代数运算的性质。
以下设＂$*$＂是 $S$ 上的一个代数运算，并简记 $x * y$ 为 $x y$ ，称为 $x$ 与 $y$ 的积．
定义1．5．4 设＂＊＂是非空集合 $S$ 上的一个代数运算．若对任意元素 $a, b$ ， $c \in S$ ，有

$$
(a b) c=a(b c),
$$

则称S上的代数运算"*"满足结合律.

注1．5．1 此时也称 $S$ 关于代数运算＂$*$＂构成一个半群，简记 $(S, *)$ 为半群。

例1．5．1 $(\mathbf{Z},+),\left(\mathbf{Q}^{+}, \times\right)$是半群，但 $(\mathbf{Z},-),\left(\mathbf{Q}^{+}, \div\right)$不是半群．
若半群 $S$ 中的代数运算＂＊＂满足结合律，对任意三个元素 $a, b, c \in S$ ，只要元素次序不变，则只有两种计算方法：

$$
(a b) c=a(b c),
$$

因为 $S$ 满足结合律，所以这两种计算方法的计算结果是相同的．
一般地，可以证明，在半群 $S$ 中任取 $n$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，当元素次序不变时，它们的积不论按照哪种计算方法其结果都是一样的．这样在半群中，符号 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 就有意义了．

定理1．5．1 在半群 $S$ 中，任取 $n(n \geqslant 3)$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，只要不改变元素的次序，则 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的积按任一种计算方法所得的结果均相同．

证明 由于 $S$ 满足结合律，所以当 $n=3$ 时结论成立．
假设对于小于 $n$ 的元素的积结论成立，下面考虑 $n$ 个元素的积。
$n$ 个元素的积的任一计算方法最后一步都要归结为计算 $u v$ ，其中

$$
u=a_1 a_2 \cdots a_m, \quad v=a_{m+1} a_{m+2} \cdots a_n, \quad 1 \leqslant m < n .
$$

假设按照一种计算方法所得的计算结果为

$$
\left(a_1 \cdots a_r\right)\left(a_{r+1} \cdots a_n\right),
$$

而按照另一种计算方法所得的计算结果为

$$
\left(a_1 \cdots a_s\right)\left(a_{s+1} \cdots a_n\right),
$$

并设 $r \leqslant s$ ．由归纳假

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