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代数运算和代数系统(群环)

## 代数运算和代数系统
本节介绍代数运算、代数系统和代数系统上的同态映射．
定义1．5．1 设 $S$ 是一个非空集合，任意一个由 $S \times S$ 到 $S$ 的映射称为 $S$上的一个（二元）代数运算，记为 $\omega: S \times S \rightarrow S$ 。对任意 $x, y \in S$ ，通常把 $\omega(x, y)$简记为 $x y$ 。

例如，实数集 $\mathbf{R}$ 中两个实数的加法和乘法都是 $\mathbf{R}$ 上的代数运算．再如，整数模 $n$ 的剩余类集合 $\mathbf{Z}_n=\{\bar{k} \mid 0 \leqslant k \leqslant n-1\}$ ，考虑 $\mathbf{Z}_n$ 上剩余类之间的加法和乘法，$+: \bar{a}+\bar{b} \mapsto \overline{a+b}, \times: \bar{a} \times \bar{b} \mapsto \overline{a b}$ ，它们也是 $\mathbf{Z}_n$ 上的代数运算．

定义1．5．2 设 $S$ 是一个非空集合，$\Omega=\left\{f_1, f_2, \cdots\right\}$ 是 $S$ 上定义的一个或者若干个代数运算构成的集合，则 $S$ 关于这些代数运算构成一个代数系统，记为 $(S, \Omega)$ ．

对于定义了运算的代数系统，可以如下定义保持代数运算的映射，即同态映射。

定义1．5．3 设 $(S, *),(T, \diamond)$ 是分别定义了代数运算 $*$ 和 $\diamond$ 的两个代数系统，$\sigma$ 是 $S$ 到 $T$ 的映射．如果 $\sigma$ 保持运算，即对于任意 $a, b \in S$ ，有

$$
\sigma(a * b)=\sigma(a) \diamond \sigma(b),
$$

则称 $\sigma$ 为 $S$ 到 $T$ 的同态映射．若映射 $\sigma$ 为满（单）射，则称 $\sigma$ 为满（单）同态．若 $\sigma$ 为双射，则称 $\sigma$ 为同构。

下面考虑代数运算的性质。
以下设＂$*$＂是 $S$ 上的一个代数运算，并简记 $x * y$ 为 $x y$ ，称为 $x$ 与 $y$ 的积．
定义1．5．4 设＂＊＂是非空集合 $S$ 上的一个代数运算．若对任意元素 $a, b$ ， $c \in S$ ，有

$$
(a b) c=a(b c),
$$

则称S上的代数运算"*"满足结合律.

注1．5．1 此时也称 $S$ 关于代数运算＂$*$＂构成一个半群，简记 $(S, *)$ 为半群。

例1．5．1 $(\mathbf{Z},+),\left(\mathbf{Q}^{+}, \times\right)$是半群，但 $(\mathbf{Z},-),\left(\mathbf{Q}^{+}, \div\right)$不是半群．
若半群 $S$ 中的代数运算＂＊＂满足结合律，对任意三个元素 $a, b, c \in S$ ，只要元素次序不变，则只有两种计算方法：

$$
(a b) c=a(b c),
$$

因为 $S$ 满足结合律，所以这两种计算方法的计算结果是相同的．
一般地，可以证明，在半群 $S$ 中任取 $n$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，当元素次序不变时，它们的积不论按照哪种计算方法其结果都是一样的．这样在半群中，符号 $a_1 a_2 \cdots a_n$ 就有意义了．

定理1．5．1 在半群 $S$ 中，任取 $n(n \geqslant 3)$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，只要不改变元素的次序，则 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的积按任一种计算方法所得的结果均相同．

证明 由于 $S$ 满足结合律，所以当 $n=3$ 时结论成立．
假设对于小于 $n$ 的元素的积结论成立，下面考虑 $n$ 个元素的积。
$n$ 个元素的积的任一计算方法最后一步都要归结为计算 $u v$ ，其中

$$
u=a_1 a_2 \cdots a_m, \quad v=a_{m+1} a_{m+2} \cdots a_n, \quad 1 \leqslant m < n .
$$

假设按照一种计算方法所得的计算结果为

$$
\left(a_1 \cdots a_r\right)\left(a_{r+1} \cdots a_n\right),
$$

而按照另一种计算方法所得的计算结果为

$$
\left(a_1 \cdots a_s\right)\left(a_{s+1} \cdots a_n\right),
$$

并设 $r \leqslant s$ ．由归纳假设，每个括号内的元素个数都小于 $n$ ，所以每个括号内的积是唯一确定的．若 $r=s$ ，则无需证明．若 $r<s$ ，则

$$
\begin{aligned}
\left(a_1 \cdots a_s\right)\left(a_{s+1} \cdots a_n\right) & =\left(\left(a_1 \cdots a_r\right)\left(a_{r+1} \cdots a_s\right)\right)\left(a_{s+1} \cdots a_n\right) \\
& =\left(a_1 \cdots a_r\right)\left(\left(a_{r+1} \cdots a_s\right)\left(a_{s+1} \cdots a_n\right)\right) \\
& =\left(a_1 \cdots a_r\right)\left(a_{r+1} \cdots a_n\right)
\end{aligned}
$$

由归纳法，命题得证．

\＃

在半群 $S$ 中，符号 $a^n\left(n \in \mathbf{Z}^{+}\right)$表示 $n$ 个 $a$ 的积，称为 $a$ 的 $n$ 次幂．这样，在半群中，指数定律成立，即对于任意的 $m, n \in \mathbf{Z}^{+}, a \in S$ ，有

$$
\left(a^m\right)^n=a^{m n}, \quad a^m a^n=a^{m+n}
$$

定义1．5．5 设集合 $S$ 上有一个代数运算＊．若对于 $S$ 中的两个元素 $a, b$ ，有 $a b=b a$ ，则称 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$（关于二元运算 $*$ ）是交换的；如果对于 $S$ 中的任意两个元素 $a, b$ 都有 $a b=b a$ ，则称 $\boldsymbol{S}$ 上的二元运算 $*$ 是交换的。

对交换半群，下面的结论成立（证明留作习题）．
定理 1．5．2 在交换半群 $S$ 中，任意 $n(n \geqslant 2)$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的积可以任意改变元素的次序，所得结果均相同。

在交换半群 $(S, *)$ 中，如果 $a, b \in S, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$，那么 $(a b)^n=a^n b^n$ 。
对于加法交换半群 $(S, *)$ ，运算 $*$ 也常用 + 表示．称 $a * b=a+b$ 为 $a$ 与 $b$的和，$n a$ 表示 $n$ 个 $a$ 的和，此时指数定律有如下形式：

$$
\begin{aligned}
m a+n a & =(m+n) a \\
m(n a) & =m n a \\
n(a+b) & =n a+n b
\end{aligned}
$$

定义1．5．6 设 $(S, \Omega)$ 是一个代数系统，$*, \Delta \in \Omega$ ，对于任意的 $a, b, c \in S$ ，如果

$$
a *(b \Delta c)=(a * b) \Delta(a * c)
$$

则称运算＊对于运算 $\Delta$ 是左分配的；如果

$$
(b \Delta c) * a=(b * a) \Delta(c * a)
$$
则称运算＊对于运算 $\Delta$ 是右分配的．如果运算＊对于运算 $\Delta$ 既是左分配的又是右分配的，则称运算＊对于运算 $\Delta$ 是分配的，或称运算＊对于运算 $\Delta$ 具有分配律。

例1．5．2 整数集合 $\mathbf{Z}$ 中乘法运算对加法运算具有分配律，集合的交对并 （或者集合的并对交）运算相互具有分配律．

设非空集合 $S$ 关于代数运算 $*$ 具有结合律（即 $(S, *)$ 为半群），在 $S$ 上还可以定义单位元和逆元。为叙述方便，下面简记 $x * y$ 为 $x y$ 。

定义1．5．7 设 $S$ 是一个半群，如果存在元素 $e_L$ ，使得对于任意的 $a \in S$ ， $e_L a=a$ 成立，那么就称 $e_L$ 是 $S$ 的一个左单位元；如果存在元素 $e_R$ ，使得对于任意的 $a \in S, a e_R=a$ 成立，那么就称 $e_R$ 是 $S$ 的一个右单位元．如果 $S$ 的一个元素既是左单位元又是右单位元，那么这个元素称为 $S$ 的单位元．

一个半群可以既没有左单位元也没有右单位元，可以有左单位元而没有右单位元，或者有右单位元而没有左单位元．若左右单位元都存在，则有

定理1．5．3 如果一个半群 $S$ 既有左单位元 $e_L$ ，又有右单位元 $e_R$ ，那么 $e_L=e_R$ ，且 $S$ 的单位元唯一。

例1．5．3 设 $A$ 是一个非空集合，对于任意 $a, b \in A$ ，定义运算 $a \circ b=b$ ，那么 $(A, \circ)$ 有左单位元，并且 $A$ 中任意元素都是左单位元．当 $|A|>1$ 时，$A$ 没有右单位元．

例1．5．4 设集合 $A$ 到 $A$ 的所有映射组成的集合为 $\Omega_A$ ，用。表示映射的合成，则 $\left(\Omega_A, \circ\right)$ 有单位元 $1_A$ ．

定义1．5．8 设 $S$ 是一个含有单位元 $e$ 的半群（也称么半群），$a \in S$ ．若存在元素 $b \in S$ ，使得 $b a=e$ ，则称 $b$ 为 $a$ 的左逆元，并称 $a$ 是左可逆的；若存在元素 $c \in S$ ，使得 $a c=e$ ，则称 $c$ 为 $a$ 的右逆元，并称 $a$ 是右可逆的；如果元素 $d \in S$既是 $a$ 的左逆元又是 $a$ 的右逆元，则称 $d$ 为 $a$ 的逆元，并称 $a$ 是 $S$ 的可逆元．

注 1．5．2 若 $S$ 只有左单位元或者右单位元，也可以类似定义左逆元或者右逆元。

若一个含有单位元 $e$ 的半群 $S$ 中每个元素都是可逆元，则半群 $S$ 构成一个群。

定理1．5．4 设 $S$ 是一个含有单位元 $e$ 的半群，$a, b \in S$ ．
（1）若 $a$ 既有左逆元 $a^{\prime}$ 又有右逆元 $a^{\prime \prime}$ ，则 $a^{\prime}=a^{\prime \prime}$ ；
（2）若 $a$ 有逆元，则逆元是唯一的，记为 $a^{-1}$ ；
（3）若 $a$ 有逆元 $a^{-1}$ ，则 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$ ；
（4）若 $a, b$ 均可逆，则 $a b$ 也可逆，并且 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$ ．
证明
（1）由定义可知，$a^{\prime} a=e, a a^{\prime \prime}=e$ ，则

$$
a^{\prime}=a^{\prime} e=a^{\prime}\left(a a^{\prime \prime}\right)=\left(a^{\prime} a\right) a^{\prime \prime}=e a^{\prime \prime}=a^{\prime \prime},
$$

命题得证．

（2）假设 $a$ 有两个逆元 $b, c$ ，则 $b=b e=b(a c)=(b a) c=e c=c$ ，这就证明了唯一性。
（3）由于 $a a^{-1}=a^{-1} a=e$ ，对于元素 $a^{-1}$ ，则 $a$ 既是 $a^{-1}$ 的左逆元又是它的右逆元，由唯一性可知 $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$ ．
（4）由于

$$
\begin{aligned}
& \left(b^{-1} a^{-1}\right)(a b)=b^{-1}\left(a^{-1} a\right) b=b^{-1} e b=b^{-1} b=e \\
& (a b)\left(b^{-1} a^{-1}\right)=a\left(b b^{-1}\right) a^{-1}=a e a^{-1}=a a^{-1}=e
\end{aligned}
$$

故有 $(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$ ，命题得证．

\＃

本节的最后，给出两类重要的代数系统——群和环的概念。
定义1．5．9 设 $G$ 是一个非空集合，如果在 $G$ 上定义了一个代数运算，称为乘法，记作 $\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}$（或称为加法，记作 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ），而且它适合以下条件：

（1）对于任意元素 $a, b, c \in G$ ，有 $(a b) c=a(b c)$（结合律）；
（2）$G$ 中存在元素 $e$ ，使得对任意 $a \in G$ ，都有 $e a=a e=a$（单位元存在）；
（3）对任意元素 $a \in G$ ，存在元素 $b \in G$ ，使得 $a b=b a=e$（逆元存在）．那么 $G$ 对于这个代数运算组成一个群．

注1．5．3 若仅条件（1）成立，则称 $G$ 为半群。若条件（1）和（2）都成立，则称 $G$ 为么半群．如果群 $G$ 上的代数运算还满足交换律，则称 $G$ 为交换群，或阿贝尔（Abel）群。

定义1．5．10 设 $G, G^{\prime}$ 是两个群，$\sigma$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射．如果 $\sigma$ 保持运算，即对于任意 $a, b \in G$ ，有

$$
\sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b),
$$

那么称 $\sigma$ 为群 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态．若 $\sigma$ 是双射，则 $\sigma$ 称为群同构．
定义1．5．11 设 $R$ 是一个非空集合，在 $R$ 上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为 $a+b$ ，一个叫乘法，记为 $a b$ 。如果具有性质：
（1）$R$ 对于加法成一个交换群；
（2）乘法的结合律：对所有的 $a, b, c \in R$ ，有 $(a b) c=a(b c)$ ；
（3）乘法对加法的分配律：对所有的 $a, b, c \in R$ ，有

$$
a(b+c)=a b+a c, \quad(b+c) a=b a+c a ;
$$

那么 $L$ 就称为一个环．

定义 1．5．12 设 $\sigma$ 是环 $R$ 到环 $R^{\prime}$ 的一个映射．如果对于任意 $a, b \in R$ ，都有

$$
\begin{aligned}
\sigma(a+b) & =\sigma(a)+\sigma(b), \\
\sigma(a b) & =\sigma(a) \sigma(b),
\end{aligned}
$$

则称 $\sigma$ 为环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的一个同态．若 $\sigma$ 是双射，则 $\sigma$ 称为环同构．

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