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群的定义及性质

第 1 章介绍过代数运算和代数系统的概念，本章介绍一类重要的代数系统一群的基本概念和性质，具体内容包括群、子群、陪集、指数、群元素的阶、循环群、置换群、群的同态和同构、正规子群、商群等．
2.1 群的定义及性质

本节介绍群的定义和简单性质，群是只含有一种运算的代数系统，其定义如下：

定义 2．1．1 设 $G$ 是一个非空集合，如果在 $G$ 上定义了一个代数运算，称为乘法，记作 $a b$（或称为加法，记作 $a+b$ ），而且它适合以下条件：
（1）对于任意元素 $a, b, c \in G$ ，有 $(a b) c=a(b c)$（结合律）；
（2）$G$ 中存在元素 $e$ ，使得对于任意的 $a \in G$ ，都有 $e a=a e=a$（单位元存在）；
（3）对任意元素 $a \in G$ ，存在元素 $b \in G$ ，使得 $a b=b a=e$（逆元存在）．那么 $G$ 对于这个代数运算组成一个群．

注 2．1．1 若条件（1）成立，称 $G$ 为半群．若条件（1）和（2）都成立，称 $G$为么半群。

上述群的定义中，我们没有要求代数运算还满足交换律．如果群 $G$ 上的代数运算还满足交换律，则称 $G$ 为交换群，或阿贝尔群。

下面介绍群的一些例子．
例 2．1．1（1） $\mathbf{Z}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}$ 关于通常的数的加法组成交换群．
（2） $\mathbf{Q}^*, \mathbf{R}^*, \mathbf{C}^*$ 关于通常的数的乘法组成交换群，其中 $\mathbf{Q}^*, \mathbf{R}^*, \mathbf{C}^*$ 分别表示所有非零有理数、实数、复数组成的集合．

例2．1．2 数域 $F$ 上所有 $n$ 维向量组成的集合

$$
F^n=\left\{\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) \mid a_i \in F, i=1,2, \cdots, n\right\}
$$

关于向量的加法组成一个交换群．
例2．1．3 数域 $F$ 上所有 $n$ 阶矩阵组成的集合

$$
M_n(F)=\left\{\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \mid a_{i j} \in F, i, j=1,2, \cdots, n\right\}
$$

关于矩阵的加法组成一个交换群．
例 2．1．4 数域 $F$ 上所有 $n$ 阶可逆矩阵组成的集合 $G L_n(F)$ 关于矩阵的乘法组成一个群．$F$ 上所有行列式值为 1 的 $n$ 阶矩阵组成的集合 $S L_n(F)$ 关于矩阵的乘法组成一个群。 $G L_n(F)$ 和 $S L_n(F)$ 分别称为数域 $F$ 上的 $n$ 阶一般线性群和特殊线性群。

例2．1．5 设 $n$ 是一个正整数， $\mathbf{C}$ 中所有 $n$ 次单位根关于复数的乘法构成交换群，称为 $n$ 次单位根群，记为 $U_n=\left\{\alpha \in \mathbf{C} \mid \alpha^n=1, n\right.$ 为自然数 $\}$ ．
2.6 节中我们还将证明集合 $X$ 到自身的双射变换的全体关于映射的合成构成一个群，称为 $X$ 的变换群，记作 $S(X)$ ．从这些例子可以看出，群定义中的代数运算可以表示各种不同的运算．在不致混淆的情况下，我们通常称其为乘法，简记为 $a b$ ．

关于群的定义，将后两个条件减弱，还有如下两种等价形式．
定理 2．1．1 设 $G$ 是一个非空集合，如果在 $G$ 上定义了一个代数运算 $a b$ ，而且它适合以下条件：
（1）对于任意元素 $a, b, c \in G$ ，有 $a(b c)=(a b) c$（结合律）；
（2）$G$ 中存在元素 $e$ ，使得对于任意的 $a \in G$ ，都有 $e a=a$（左单位元存在）；
（3）对任意元素 $a \in G$ ，存在元素 $b \in G$ ，使得 $b a=e$（左逆元存在）．
那么 $G$ 对于这个代数运算组成一个群．
证明 我们先证明 $G$ 的左单位元也是右单位元，$G$ 中任一元素 $a$ 的左逆元也是右逆元。
（i）先证明：对于任意的 $a \in G$ ，若存在元素 $b \in G$ ，使得 $b a=e$ ，则 $a b=e$ ．
由定理的条件（2）知，对于元素 $b \in G$ ，也存在 $c \in G$ ，使得 $c b=e$ ．于是有

$$
a=e a=c b a=c(b a)=c e
$$

两边右乘 $b$ ，得到

$$
a b=(c e) b=c(e b)=c b=e .
$$

（ii）再证明：对于任意的 $a \in G$ ，都有 $a e=a$ ．
由定理的条件（2）知，对于元素 $a \in G$ ，存在 $b \in G$ 使得 $b a=e$ ．再由（1）知，此时也有 $a b=e$ ．由于 $e$ 为左单位元，于是有

$$
a e=a(b a)=(a b) a=e a=a .
$$

由（ii）知，$e$ 既是 $G$ 的左单位元，也是 $G$ 的右单位元，因而是 $G$ 的唯一的单位元．而由（i）知，对于任意 $a \in G$ ，若 $b$ 是 $a$ 的左逆元，则 $b$ 也是 $a$ 的右逆元，因而是 $a$ 唯一的逆元．故由群的定义知，$G$ 是一个群．

类似地，也可以证明（证明留作习题）
定理 2．1．2 设 $G$ 是一个非空集合，如果在 $G$ 上定义了一个代数运算 $a b$ ，而且它适合以下条件：
（1）对于任意元素 $a, b, c \in G$ ，有 $a(b c)=(a b) c$（结合律）；
（2）$G$ 中存在元素 $e$ ，使得对于任意的 $a \in G$ ，都有 $a e=a$（右单位元存在）；
（3）对任意元素 $a \in G$ ，存在元素 $b \in G$ ，使得 $a b=e$（右逆元存在）．
那么 $G$ 对于这个代数运算组成一个群．
由于群中每个元素都有逆元，容易看出群中消去律成立，即对任意 $a, b, c \in G$ ，有

若 $a b=a c$ 或者 $b a=c a$ ，则 $b=c$ ．
反之，如果某非空集合 $G$ 关于定义的代数运算 $a b$ 满足结合律和消去律，则 $G$ 构成一个群。

下面分析群中的运算性质．
由于群 $G$ 中的乘法运算满足结合律，故群 $G$ 中任意 $n$ 个元素 $a_1, a_2, \cdots, a_n$的乘积与运算的顺序无关，因而可以简单地写成 $a_1 a_2 \cdots a_n$ ．由此可以定义群 $G$中元素 $a$ 的方幂．对任意正整数 $n$ ，定义

$$
a^n=a \cdot a \cdots a(n \text { 个), }
$$
即 $n$ 个 $a$ 相乘。我们再约定 $a^0=e, a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^n$ ，其中 $n$ 是正整数．不难证明，对于任意整数 $m, n$ ，有

$$
\begin{gathered}
a^m a^n=a^{m+m} \\
\left(a^m\right)^n=a^{m n}
\end{gathered}
$$

特别地，当 $G$ 是交换群时，对于任意 $a, b \in G, n \in \mathbf{Z}$ ，有 $(a b)^n=a^n b^n$ ．
对于加法群 $G$ ，用＂＋＂表示群中的运算．对于任意 $a, b \in G, a+b$ 称为 $a$ 与 $b$ 的和，$G$ 的单位元记为 0 ，并称为 $G$ 的零元，元素 $a$ 的逆元记为 $-a$ ，并称为 $a$的负元，$a-b$ 指的是 $a$ 与 $b$ 的负元之和。

若 $G$ 是加法交换群，则对于任意 $a, b \in G, r, s \in \mathbf{Z}$ ，下列等式成立：

$$
\begin{aligned}
r a+s a & =(r+s) a \\
s(r a) & =(s r) a \\
r(a+b) & =r a+r b
\end{aligned}
$$

特别地， $0 a=0,(-n) a=n(-a)=-n a,-(a+b)=-a-b$ ．

定义 2．1．2 若群 $G$ 的元素个数 $|G|$ 有限，则称群 $G$ 为有限群，记作 $|G|< \infty$ ．否则，称 $G$ 为无限群，记作 $|G|=\infty .|G|$ 称为群 $G$ 的阶．

设有限乘法群 $G=\left\{1=a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}, a_1=1$ 是其单位元，则 $G$ 的运算表为

![图片](/uploads/2025-12/e7d584.jpg)

上表中 $G$ 中元素按照相同的次序排列在表的最上一行和最左一列，表中 $a_i a_j$ 则为 $G$ 中元素 $a_i$ 与 $a_j$ 的乘积．这种群的运算表也称为群表．

由于群中消去律成立，上述群表中每一行和每一列的所有元素都不相同。也就是说，若 $b$ 是 $G$ 中任意一个给定的元素，$b a_1, b a_2, \cdots, b a_n$ 以及 $a_1 b, a_2 b, \cdots, a_n b$均为 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的无重复排列．此外，容易看出，群 $G$ 是交换的当且仅当其群表关于主对角线是对称的．

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