最后更新: 2025-12-06 15:54 查看: 55 次纠错评论(0) 课件开VIP

子群、子集生成的子群

本节介绍子群的定义和性质，并介绍子集生成的子群的结构．
定义 2．2．1 设 $H$ 为群 $G$ 的一个非空子集，若 $H$ 关于 $G$ 的运算也成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记为 $H \leqslant G$ ．若 $H \leqslant G$ 且 $H \neq G$ ，则称 $H$ 为 $G$ 的真子群．记为 $H<G$ ．

任意群 $G$ 都有子群 $G$ 和 $\{e\}$ ，这两个子群称为 $G$ 的两个平凡子群，其余的子群称为非平凡的．

例 2．2．1 作为加法群，$(\mathbf{Z},+) \leqslant(\mathbf{Q},+) \leqslant(\mathbf{R},+) \leqslant(\mathbf{C},+)$ ．
例 2．2．2 设 $n$ 为一正整数，$(\mathbf{Z},+)$ 中所有 $n$ 的倍数对加法显然成一个群，因而是 $\mathbf{Z}$ 的子群，记为 $n \mathbf{Z}$ ．

例2．2．3 特殊线性群 $S L_n(F)$ 是一般线性群 $G L_n(F)$ 的子群。
关于子群，容易证明
性质 2．2．1 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，则
（1）$H$ 的单位元 $e^{\prime}$ 就是 $G$ 的单位元；
（2）设 $a \in H, a$ 在 $G$ 中的逆元就是 $a$ 在 $H$ 中的逆元．
证明（1）设 $e^{\prime}$ 是 $H$ 的单位元，$e$ 是 $G$ 的单位元，则 $e e^{\prime}=e^{\prime}=e^{\prime} e^{\prime}$ ，故由消去律可得 $e=e^{\prime}$ ．
（2）设 $a$ 在 $G$ 中的逆元为 $a^{-1}, a$ 在 $H$ 中的逆元为 $a^{\prime}$ ，则有

$$
a a^{-1}=e^{\prime}=a a^{\prime},
$$

故由消去律得

$$
a^{-1}=a^{\prime} .
$$

由性质 2．2．1 知，若 $H$ 是 $G$ 的子群，则对任意 $a, b \in H$ ，有 $a b \in H, e \in H$ ，且 $a^{-1} \in H$ ．进而我们还可以证明

定理 2．2．1 设 $H$ 是群 $G$ 的一个非空子集，则 $H$ 是 $G$ 的一个子群当且仅当对任意 $a, b \in H$ ，有 $a b \in H$ ，且 $a^{-1} \in H$ ．

当且仅当对任意 $a, b \in H$ ，有 $a b^{-1} \in H$ ．
证明 先证必要性．若 $H$ 是 $G$ 的子群，则对任意 $a, b \in H$ ，有 $a b \in H$ ， $e \in H$ ，且 $a^{-1} \in H$ ，从而 $a b^{-1} \in H$ ，于是必要性成立．

下面证明充分性．因为 $H$ 非空，所以 $H$ 至少含有一个元素 $a$ ，于是 $a a^{-1}= e \in H$ ．

若 $a, b \in H$ ，则 $b^{-1}=e b^{-1} \in H$ ，且 $a b=a\left(b^{-1}\right)^{-1} \in H$ ，这就证明了 $H$ 是一个子群。

\＃

利用定理 2．2．1，容易证明任意多个子群的交还是子群（留作习题），即有
定理 2．2．2 设 $H_1, H_2$ 是 $G$ 的两个子群，令 $H=H_1 \cap H_2$ ，则 $H$ 是 $G$ 的子群．更一般地，设 $\left\{H_i \mid i \in I\right\}$ 是 $G$ 的子群的集合，则 $\bigcap_{i \in I} H_i$ 是 $G$ 的一个子群．

反之，群 $G$ 的两个子群 $H_1, H_2$ 之并不一定是 $G$ 的子群，参见下面的例子．
例 2．2．4 $H_1=\{2 k \mid k \in \mathbf{Z}\}, H_2=\{3 k \mid k \in \mathbf{Z}\}$ 是 $(\mathbf{Z},+)$ 的两个子群，但

$$
2+3=5 \notin H_1 \cup H_2
$$

故 $H_1 \cup H_2$ 不构成 $(\mathbf{Z},+)$ 的子群．
但是适合某种条件的子群的并可以是子群。例如有
例 2．2．5 设 $H_i(i=1,2, \cdots)$ 是 $G$ 的子群，并且 $H_1 \leqslant H_2 \leqslant \cdots \leqslant H_n \leqslant \cdots$ （这时称 $H_i(i=1,2, \cdots)$ 为子群的一个升链），则 $H=\bigcup_{i=1}^{\infty} H_i$ 是 $G$ 的一个子群． （自证）

定义 2．2．2 设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集，并设 $\left\{H_i \mid i \in I\right\}$ 是 $G$ 的所有包含 $S$（即 $H_i \supseteq S$ ）的子群组成的集合．$\bigcap_{i \in I} H_i$ 称为 $G$ 的由 $S$ 生成的子群，记为 $\langle S\rangle$ ．容易看出，$\langle S\rangle$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的最小子群．集合 $S$ 称为 $\langle S\rangle$ 的生成元集，$S$的元素称为 $\langle S\rangle$ 的生成元．如果 $S$ 是有限集，则 $\langle S\rangle$ 称为是有限生成的．特别地，若 $G=\langle S\rangle$ ，则称群 $G$ 由子集 $S$ 生成．
若 $S=A \cup B$ ，则通常把 $\langle A \cup B\rangle$ 记为 $\langle A, B\rangle$ ．
若 $S=\left\{s_1, s_2, \cdots, s_r\right\}$ ，则将 $\left\langle\left\{s_1, s_2, \cdots, s_r\right\}\right\rangle$ 简记为 $\left\langle s_1, s_2, \cdots, s_r\right\rangle$ ，并称 $\left\langle s_1, s_2, \cdots, s_r\right\rangle$ 是由 $s_1, s_2, \cdots, s_r$ 生成的子群。

特别地，由 $G$ 的一个元素生成的子群 $\langle a\rangle$ 称为 $G$ 的循环子群。
若 $\langle a\rangle=G$ ，则称 $G$ 是以 $a$ 为生成元的循环群。
例2．2．6（ $\mathbf{Z},+$ ）是一个无限循环群， 1 为其生成元。 $\left(\mathbf{Z}_n,+\right)$ 是一个 $n$ 阶循环群，$\overline{1}$ 为其生成元．

若 $H, K$ 均为 $G$ 的子群，则 $H \cap K$ 为 $H, K$ 的子群，而 $H, K$ 又都是 $\langle H, K\rangle$的子群，于是有下面子群间的关系图（图2－1）．

下面分析子集 $S$ 生成的子群 $\langle S\rangle$ 中的元素形式．
例 2．2．7 设 $S$ 是群 $G$ 的一个非空子集，则有

$$
\langle S\rangle=\left\{a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_n^{k_n} \mid a_i \in S, k_i \in\{0,1,-1\}, 1 \leqslant i \leqslant n, n \in \mathbf{Z}^{+}\right\} .
$$

![图片](/uploads/2025-12/890cfd.jpg)
 
 证明 记 $T=\left\{a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_n^{k_n} \mid a_i \in S, k_i \in\{0,1,-1\}, 1 \leqslant i \leqslant n, n \in \mathbf{Z}^{+}\right\}$．
因为 $a_i \in S$ ，所以 $a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_n^{k_n} \in\langle S\rangle$ ，从而 $T \subseteq\langle S\rangle$ ．下面再证明 $\langle S\rangle \subseteq T$ ．
由于 $S \neq \varnothing$ ，所以 $T \neq \varnothing$ 。任取 $x, y \in T$ ，易验证 $x y \in T, x^{-1} \in T$ ，从而 $T$是 $G$ 的一个子群．于是 $T$ 是 $G$ 的包含 $S$ 的一个子群，又因为 $\langle S\rangle$ 是包含 $S$ 的最小子群，故有 $\langle S\rangle \subseteq T$ ．

综上可得 $\langle S\rangle=T=\left\{a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_n^{k_n} \mid a_i \in S, k_i \in\{0,1,-1\}, 1 \leqslant i \leqslant n, n \in\right. \left.\mathbf{Z}^{+}\right\}$.

\＃

进而，若 $G$ 是交换群，$S$ 是 $G$ 的一个非空子集，则有

$$
\langle S\rangle=\left\{a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_r^{k_r} \mid k_i \in \mathbf{Z}, a_i \in S \text { 且对任意 } i \neq j, a_i \neq a_j, 1 \leqslant i, j \leqslant r, r \in \mathbf{Z}^{+}\right\} \text {. }
$$

特别地，$G$ 中由单个元素 $a$ 生成的子群为 $\langle a\rangle=\left\{a^k \mid k \in \mathbf{Z}\right\}$ ．
若存在整数 $i<j$ ，使得 $a^i=a^j$ ，则有 $a^{j-i}=e$ ．不妨设 $n$ 是使得 $a^n=e$ 成立的最小正整数（这样的 $n$ 称为元素 $a$ 的阶，参见 2.4 节），则 $\langle a\rangle=\left\{e, a, a^2, \cdots\right.$ ， $\left.a^{n-1}\right\}$ 为有限循环群．若对任意整数 $i \neq j$ ，都有 $a^i \neq a^j$ ，则 $\langle a\rangle=\left\{e, a, a^2, \cdots\right\}$为无限循环群．

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