最后更新: 2025-12-06 15:57 查看: 54 次纠错评论(0) 课件开VIP

陪集、指数、拉格朗日定理

本节介绍子群的陪集、指数的概念和性质，给出著名的拉格朗日定理．陪集是群论中的一个重要概念，陪集的性质和等价类划分都需要重点掌握。

定义2．3．1 设 $A, B$ 是群 $G$ 的两个非空子集，定义 $A$ 与 $B$ 的乘积和 $A$ 的逆为

$$
\begin{gathered}
A B=\{a b \mid a \in A, b \in B\}, \\
A^{-1}=\left\{a^{-1} \mid a \in A\right\} .
\end{gathered}
$$

可以验证，群 $G$ 的所有非空子集在上述乘法运算下作成一个半群．设 $n$ 是任一正整数，定义 $A^{n+1}=A^n \cdot A, A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^n$ ，并规定 $A^0=\{e\}$ 。另外显然有 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ ．

在加法群中，以 $A+B$ 来代替 $A B$ ，以 $m A$ 来代替 $A^m(m \in \mathbf{Z})$ ．
设 $H, K$ 是群 $G$ 的两个子群，一般来说，$H K$ 不一定是 $G$ 的子群，但可以证明
$H K$ 是 $G$ 的子群 当且仅当 $H K=K H$ ．
定义2．3．2 设 $H$ 是 $G$ 的一个子群，对任意 $g \in G$ ，称 $g H=\{g h \mid h \in H\}$为 $H$ 的一个左陪集，称 $H g=\{h g \mid h \in H\}$ 为 $H$ 的一个右陪集，$g$ 称为陪集 $g H$或 $H g$ 的代表元 $(g=g e=e g)$ 。

以下主要讨论左陪集的性质，对于右陪集可以得到类似的结论．
定理 2．3．1 设 $G$ 是一个群，$H$ 是群 $G$ 的一个子群，对任意 $a, b \in G$ ，定义一个关系

$$
a \sim b \text { 当且仅当 } a^{-1} b \in H \text {, }
$$

则它是 $G$ 上的一个等价关系，并且 $G / \sim$ 中等价类 $\bar{a}$ 恰恰是左陪集 $a H$ ．
证明 按定义证明 $\sim$ 是 $G$ 的一个等价关系．

（1）反身性 对任意 $a \in G$ ，因为 $a^{-1} a=e \in H$ ，故有 $a \sim a$ ；
（2）对称性 设 $a \sim b$ ，即 $a^{-1} b \in H$ ，则 $b^{-1} a=\left(a^{-1} b\right)^{-1} \in H$ ，即有 $b \sim a$ ．
（3）传递性 设 $a \sim b, b \sim c$ ，即 $a^{-1} b \in H$ 且 $b^{-1} c \in H$ ，则 $a^{-1} c=a^{-1} b$ ． $b^{-1} c \in H$ ，即有 $a \sim c$ 。

综上知 $\sim$ 是 $G$ 的一个等价关系。
另一方面，对任意 $a \in G$ ，有
$b \in \bar{a}$ 当且仅当 $a^{-1} b \in H$
当且仅当存在 $h \in H$ ，使得 $a^{-1} b=h$ ，即 $b=a h$ ，
当且仅当 $b \in a H$ ，
故有 $\bar{a}=a H$ ．

\＃

根据定理 2．3．1，我们有
推论 2．3．1 设 $G$ 是一个群，$H$ 是群 $G$ 的一个子群，则有
（1）$a H$ 中任何元素 $b$ 都可以作为 $a H$ 的代表元；
（2）对任意 $a H, b H$ ，要么 $a H \cap b H=\varnothing$ ，要么 $a H=b H$ ；
（3）$a H=b H$ 当且仅当 $a^{-1} b \in H$ ；
（4）$a H=H$ 当且仅当 $a \in H$ ．

定义 2．3．3 设 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个子群，则 $H$ 在 $G$ 中不同左陪集的全体记为 $G / H$ ，称为 $G$ 关于 $H$ 的左陪集空间（左商空间）．$H$ 的不同左陪集的个数叫做 $H$ 在 $G$ 中的指数，记为 $[G: H]$ 。

由定理 2．3．1 知，$G$ 的所有不同陪集构成 $G$ 的一个划分，即

$$
G=\bigcup_{g \in G} g H,
$$

称为群 $G$ 按子群 $H$ 的陪集分解．从每个不同的左陪集中选出一个元素，所有这些元素做成的集合称 $H$ 在 $G$ 中的左代表元集（左代表元系）。

关于有限群 $G$ 的阶数与其子群 $H$ 的阶数之间的关系，下面的结论成立。
定理 2．3．2（拉格朗日（Lagrange）定理）设 $G$ 是有限群，$H$ 是 $G$ 的子群，则有

$$
|G|=[G: H]|H|
$$

特别地，$|H|$ 是 $|G|$ 的因子．
证明 不妨设 $[G: H]=n, a_1 H, \cdots, a_n H$ 恰为 $H$ 的所有不同的左陪集，其中对任意 $i \neq j$ ，有 $a_i H \cap a_j H=\varnothing$ ，于是 $G=\bigcup_{i=1}^n a_i H$ 可以表示为两两不交的 $n$
个左陪集的并集，从而有

$$
|G|=\left|\bigcup_{i=1}^n a_i H\right|=\sum_{i=1}^n\left|a_i H\right| .
$$

又因为 $\left|a_i H\right|=|H|$ ，故有

$$
|G|=n|H|=[G: H]|H| .
$$

\＃

由定理2．3．2知，有限群 $G$ 的子群都是有限群。
特别地，对于素数阶群，可以证明素数阶群都是循环群（留作习题）．
另一方面，可以证明子群 $H$ 在群 $G$ 中的指数 $[G: H]$ 具有传递性，即有
定理 2．3．3 设 $K \leqslant H \leqslant G$ ，若 $T$ 是 $H$ 在 $G$ 中的左代表元集，$S$ 是 $K$ 在 $H$ 中的左代表元集，则 $T S$ 是 $K$ 在 $G$ 中的左代表元集，并且

$$
[G: K]=[G: H][H: K] .
$$

证明 设 $G=\bigcup_{t \in T} t H, H=\bigcup_{s \in S} s K$ ，则有

$$
G=\bigcup_{t \in T} \bigcup_{s \in S} t s K=\bigcup_{t \in T, s \in S} t s K
$$

若 $t s K=t^{\prime} s^{\prime} K$ ，则 $t^{-1} t^{\prime} s^{\prime} K=s K \subseteq H$ ，于是有 $t^{-1} t^{\prime} \in H$ ，从而 $t H=t^{\prime} H$ ．又因为 $T$ 是 $H$ 在 $G$ 中的左代表元集，故 $t=t^{\prime}$ ．

同理，由于 $S$ 是 $K$ 在 $H$ 中的左代表元集，故由 $s K=s^{\prime} K$ 知 $s=s^{\prime}$ ．这就证明了
$$
[G: K]=|T| \cdot|S|=[G: H][H: K],
$$

同时还证明了 $|T S|=|T| \cdot|S|$ ．

\＃

定理2．3．4 设 $H, K$ 是群 $G$ 的有限子群，则
（1）$|H K|=\frac{|H| \cdot|K|}{|H \cap K|}$ ；
（2）$[H: H \cap K]=\frac{|H K|}{|K|}$ ；
（3）$[G: H \cap K] \leqslant[G: H][G: K]$ ，并且，若 $[G: H]$ 与 $[G: K]$ 互素，则等号成立。

证明（1）记 $D=H \cap K$ ，因为 $D$ 是 $H$ 的子群，将 $H$ 按子群 $D$ 进行左陪集分解可以得到 $H=d_1 D \cup d_2 D \cup \cdots \cup d_r D$ ，其中

$$
r=[H: D]=\frac{|H|}{|D|}, \quad d_i D \cap d_j D=\varnothing, \quad i \neq j,
$$

于是 $H K=d_1 D K \cup d_2 D K \cup \cdots \cup d_r D K$ ．
又因为 $D$ 也是 $K$ 的子群，故 $D K=K$ ，从而 $H K=d_1 K \cup d_2 K \cup \cdots \cup d_r K$ ．下面我们来证明对任意 $i \neq j$ ，有 $d_i K \cap d_j K=\varnothing$ 。
（反证）如果存在一对互不相同的 $i, j$ ，使得 $d_i K \cap d_j K \neq \varnothing$ ，不妨设 $x \in d_i K \cap d_j K$ ，于是存在 $a_1, a_2 \in K$ ，使得 $x=d_i a_1=d_j a_2$ ，从而有 $d_j^{-1} d_i=a_2 a_1^{-1} \in K \cap H=D$ ．故有

$$
d_i D=d_j D, \quad i \neq j
$$

这与 $d_i D \cap d_j D=\varnothing$ 矛盾．故当 $i \neq j$ 时，有 $d_i K \cap d_j K=\varnothing$ ，因此

$$
|H K|=r|K|=\frac{|K| \cdot|H|}{|D|}=\frac{|K| \cdot|H|}{|H \cap K|} .
$$

（2）由（1）知，$[H: H \cap K]=\frac{|H|}{|H \cap K|}=\frac{|H K|}{|K|}$ ．
（3）令

$$
\begin{aligned}
\varphi: G / H \cap K & \rightarrow G / H \times G / K, \\
x(H \cap K) & \rightarrow(x H, x K) .
\end{aligned}
$$

注意到 $(x H, x K)=\left(x^{\prime} H, x^{\prime} K\right)$ 当且仅当 $x H=x^{\prime} H$ 且 $x K=x^{\prime} K$
当且仅当 $x^{-1} x^{\prime} \in H \cap K$ ，即 $x(H \cap K)=x^{\prime}(H \cap K)$ ，
故 $\varphi$ 是单射，从而 $[G: H \cap K] \leqslant[G: H][G: K]$ ．
因为 $H \cap K \leqslant H, K \leqslant G$ ，故由定理 2．3．3 知，

$$
[G: H] \mid[G: H \cap K] \text { 且 }[G: K] \mid[G: H \cap K] .
$$

若 $[G: H]$ 与 $[G: K]$ 互素，则有

$$
[G: H][G: K] \mid[G: H \cap K]
$$

从而 $[G: H][G: K] \leqslant[G: H \cap K]$ ．综上可得

$$
[G: H \cap K]=[G: H][G: K] .
$$

\＃

由定理2．3．4知下面的结论成立．
推论 2．3．2（庞加莱（Poincaré）定理）如果有限多个子群的指数都是有限数，则它们的交的指数也是有限数．

此外，任意真子群的指数恒为无限的群一定存在．特别地，有

例 2．3．1 有理数加群 $(\mathbf{Q},+)$ 的任何真子群的指数恒为无限．
证明 设 $H$ 是 $(\mathbf{Q},+)$ 的任一真子群，则存在一有理数 $a \notin H$ ，我们分两种情况来讨论。
（1）若对任意正整数 $k$ ，均有 $k a \notin H$ ．这时因为 $a+H, 2 a+H, 3 a+H, \cdots$为 $H$ 的不同的陪集，故当然有 $[\mathbf{Q}: H]=\infty$ 。
（2）若存在一正整数 $\lambda$ ，使得 $\lambda a \in H$ ．这时必有 $\lambda>1$ ，因为 $a+H, \frac{a}{\lambda}+H$ ， $\frac{a}{\lambda^2}+H, \cdots$ 为 $H$ 的不同陪集，故也有 $[\mathbf{Q}: H]=\infty$ ．

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