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商群

定义2．8．2 如果 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，则 $G / H=\{a H \mid a \in G\}$ 关于陪集的乘法构成群，这个群称为 $G$ 关于 $H$ 的商群。
设 $H$ 是群 $G$ 的任一正规子群，我们可以定义群 $G$ 到商群 $G / H$ 的映射

$$
\varphi(a)=a H
$$

显然，

$$
\varphi(a b)=a b H=a H \cdot b H=\varphi(a) \varphi(b),
$$

故 $\varphi$ 是群 $G$ 到 $G / H$ 的同态映射，且是满同态．
这个同态称为群 $G$ 到它的商群的自然同态．自然同态的核就是正规子群 $H$ ．这就说明，不但同态的核是正规子群，而且每个正规子群也都是某个同态的核．

关于正规子群，我们还可以证明下面的结论。
命题 2．8．1 设 $H$ 是 $G$ 的子群．如果 $[G: H]=2$ ，则 $H \triangleleft G$ ．
证明 对任意 $a \in G$ ，若 $a \in H$ ，则 $a H=H=H a$ ．
若 $a \notin H$ ，则 $a H, H$ 是两个不同的左陪集．但由题设知 $[G: H]=2$ ，故 $G=H \cup a H$ ．同理可得 $G=H \cup H a$ ．即 $H \cup a H=H \cup H a$ ．

又因为 $H \cap a H=\varnothing=H \cap H a$ ，故 $a H=G-H=H a$ ．
综上可得 $H \triangleleft G$ ．

\＃

特别地，对于 $n$ 元对称群 $S_n$ 和 $n$ 元交错群 $A_n$ ，因为 $\left[S_n: A_n\right]=2$ ，故 $A_n$是 $S_n$ 的正规子群。

事实上，命题 2．8．1 还可以进一步推广为
命题 2．8．2 如果有限群 $G$ 的子群 $H$ 在 $G$ 中的指数 $[G: H]$ 等于 $|G|$ 的最小素因子，则
$H \triangleleft G$ ．
证明 若存在 $x \in G$ ，使得 $x H x^{-1} \nsubseteq H$ ，则存在 $a=x h x^{-1} \notin H$ ，其中 $h \in H$ ．

设 $r$ 是使得 $a^r \in H$ 的最小正整数，显然 $1<r \leqslant o(a)$ ．我们断言 $H, a H, \cdots$ ， $a^{r-1} H$ 两两不同，从而 $[G: H] \geqslant r$ ．否则，若存在 $i, j, 0 \leqslant i<j$ ，使得 $a^i H=a^j H$ ，则 $a^{j-i} \in H$ ，但 $0<j-i<r$ ，这与 $r$ 的取法矛盾．

另一方面，设 $o(a)=r q+s, 0 \leqslant s<r$ ，则 $a^s=a^{o(a)-r q}=\left(a^{-r}\right)^q \in H$ ．由 $r$的取法即知 $s=0$ ，故 $r \mid o(a)$ ，从而 $r||G|$ ．又因为 $[G: H]$ 是 $| G \mid$ 的最小素因子且 $r>1$ ，故 $[G: H] \leqslant r$ 。

综上可得 $[G: H]=r$ ，且 $G=H \cup a H \cup \cdots \cup a^{r-1} H$ ．
又因为 $a^i=x h^i x^{-1} \in x H x^{-1}$ ，故由 $G=H \cup a H \cup \cdots \cup a^{r-1} H$ 知，$G= x H x^{-1} \cdot H$ ．于是存在 $h_1, h_2 \in H$ ，使得 $x=x h_1 x^{-1} h_2$ ，故有 $x=h_2 h_1 \in H$ ，从而 $x H x^{-1}=H$ ，这与 $x H x^{-1} \neq H$ 的假设矛盾．故对任意 $x \in G$ ，均有 $x H x^{-1}=H$ ．即 $H \triangleleft G$ ．

\＃
本节的最后再介绍单群的概念．
定义 2．8．3 如果群 $G$ 没有非平凡的正规子群，则群 $G$ 称为单群．
关于交换单群，下面的结论成立。
定理 2．8．4 设 $G \neq\{e\}$ 为交换群，则 $G$ 为单群当且仅当 $G$ 为素数阶的循环群。

证明 充分性显然，下面证明必要性．
若 $G$ 为交换单群，由于交换群中所有的子群都正规，故群 $G$ 没有非平凡的子群．在 $G$ 中任取一个非单位元的元素 $g$ ，既然群 $G$ 没有非平凡的子群，故有 $G=\langle g\rangle$ ，即 $G$ 为循环群。

另一方面，由循环群的性质知，没有非平凡子群的循环群只能是素数阶循环群，结论得证。

非交换的单群要复杂得多。从某种意义上说，单群是构成各种群的基础．根据群扩张理论，群 $G$ 的结构可由正规子群 $N$ 和商群 $G / N$ 作原则的刻画．因此，在相当长的时期内，决定有限单群的结构一直是有限群研究中一个重要的课题．经过世界上众多数学家的不懈努力，关于有限单群的完全分类（同构类），终于在1981年得到解决．这是 20 世纪世界数学史上一个非凡的成就．

对于特殊单群，法国数学家伽罗瓦（Galois）证明了当 $n \geqslant 5$ 时，交错群 $A_n$ 是单群（参见 2.9 节），根据伽罗瓦理论，由这个结果可以推出五次以上一般代数方程不可能有根式解的重要结论．

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