最后更新: 2025-12-07 13:24 查看: 53 次纠错评论(0) 课件开VIP

正规子群和商群

正规子群是群论中最重要的概念之一，本节主要介绍正规子群、商群的基本
概念和性质，并介绍与正规子群密切相关的哈密顿群和单群.

一般来说，对于群 $G$ 的一个子群 $H$ ，对任意 $a \in G$ ，左陪集 $a H$ 未必一定等于右陪集 $H a$ ．然而，对于 $G$ 的某些特殊子群，有可能其左陪集都等于其右陪集，这样的子群在群论中占有重要的地位．为此，我们给出以下定义．

定义2．8．1 设 $H$ 是 $G$ 的一个子群．如果对任意 $a \in G$ ，均有 $a H=H a$ ，则 $H$ 称为 $G$ 的一个正规子群，记为 $H \triangleleft G$（或 $G \triangleright H$ ）．

若 $H$ 不是 $G$ 的正规子群，则记为 $H \not \Delta G$ ．
对于正规子群 $H$ 的陪集，我们不必区分左右，把它们简称为 $H$ 的陪集．
若 $G$ 是交换群，则 $G$ 的任一子群均是正规子群．因此，正规子群这一概念主要对非交换群才具有真正意义。

群 $G$ 的平凡子群 $\{e\}$ 和 $G$ 都是 $G$ 的正规子群，称其为群 $G$ 的平凡正规子群．群的其他正规子群（如果存在的话）称为群 $G$ 的非平凡正规子群．

下面的定理给出了判断正规子群的几个充要条件．
定理 2．8．1 设 $H$ 是 $G$ 的子群，则下面的四个条件是等价的．
（1）$H \triangleleft G$ ．
（2）对任意 $a \in G, a H a^{-1}=H$ ．
（3）对任意 $a \in G, a H a^{-1} \subseteq H$ ．
（4）对任意 $a \in G, h \in H, a h a^{-1} \in H$ ．
证明（1）⇒（2）因为 $H \triangleleft G$ ，故对任意 $a \in G$ ，有 $a H=H a$ ．于是

$$
a H a^{-1}=(H a) a^{-1}=H .
$$

（2）⇒（3）显然．
（3）⇒（4）显然．
（4）⇒（1）对任意 $a \in G, h \in H$ ，因为 $a h a^{-1} \in H$ ，故 $a h \in H a$ ，即 $a H \subseteq H a$ ．
反之，由 $a^{-1} h a=a^{-1} h\left(a^{-1}\right)^{-1} \in H$ 知，$h a \in a H$ ，故有 $H a \subseteq a H$ ．
综上可得，对任意 $a \in G$ ，有 $a H=H a$ ，即 $H \triangleleft G$ ．

\＃

下面给出一些正规子群和非正规子群的例子．
例 2．8．1 设 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群同态，并令 $K=\operatorname{Ker}(\sigma)$ ，则对任意 $g \in G$ ，有

$$
g K=K g,
$$

即群同态的核都是正规子群．
证明 对任意 $g \in G, x \in K$ ，因为

$$
\sigma\left(g x g^{-1}\right)=\sigma(g) \sigma(x) \sigma\left(g^{-1}\right)=\sigma(g) e^{\prime} \sigma\left(g^{-1}\right)=e^{\prime},
$$

故 $g x g^{-1} \in K$ ，从而 $g x \in K g$ ，于是有 $g K \subseteq K g$ ．

同理有 $\sigma\left(g^{-1} x g\right)=e^{\prime}$ ，于是有 $g^{-1} x g \in K$ ，即 $x g \in g K$ ，也即 $K g \subseteq g K$ 。
综上可得，对任意 $g \in G$ ，有 $g K=K g$ ．故 $K=\operatorname{Ker}(\sigma)$ 是 $G$ 的正规子群．\＃
例 2．8．2 设 $H=\{(1),(12)\}$ 是置换群 $S_3$ 的一个子群．因为

$$
\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right) H=\left\{\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)\right\}, \quad H\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)=\left\{\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2
\end{array}\right)\right\},
$$

所以（13）$H \neq H(13)$ ，故 $H$ 不是 $S_3$ 的正规子群．
若 $N \triangleleft G$ ，并且 $N \leqslant H \leqslant G$ ，则显然有 $N \triangleleft H$ ．但正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群，也即正规子群不具有传递性．例如，可以证明 $H= \{(1),(12)(34)\}$ 是 $K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ 的正规子群，$K$ 是 $S_4$ 的正规子群，但 $H$ 不是 $S_4$ 的正规子群。

利用定理 2．8．1 容易证明下面的结论成立．
推论 2．8．1 群 $G$ 的任意个正规子群的交还是 $G$ 的正规子群。
证明 设 $H_i(i=1,2, \cdots)$ 是 $G$ 的正规子群，显然 $\bigcap_{i=1}^{\infty} H_i$ 是 $G$ 的子群，再由定理 2．8．1 的结论（4）容易证明，$\bigcap_{i=1}^{\infty} H_i$ 还是 $G$ 的正规子群。

\＃

推论 2．8．2 群 $G$ 的任意有限个正规子群的积还是 $G$ 的正规子群．
证明 我们先证明任意两个正规子群的积还是正规子群，一般情况可以归纳证明．

设 $H, K$ 是 $G$ 的任意两个正规子群，容易证明 $H K=K H$ ，从而 $H K$ 是 $G$的子群。

对任意 $a \in G$ ，对任意 $x=h k \in H K$（其中 $h \in H, k \in K$ ），有

$$
a x a^{-1}=a(h k) a^{-1}=\left(a h a^{-1}\right)\left(a k a^{-1}\right) \in H K,
$$

故由定理 2．8．1 的条件（4）知，$H K$ 是 $G$ 的正规子群。

\＃

如果 $H$ 是群 $G$ 的任意一个子群，那么两个左陪集 $a H, b H$ 的积 $(a H) \cdot(b H)$不一定还是左陪集．但是对于正规子群，我们有如下的重要事实．

定理 2．8．2 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，则 $H$ 是群 $G$ 的正规子群当且仅当任意两个左（右）陪集之积还是左（右）陪集．

证明 先证必要性．设 $H$ 是一个正规子群，$a H, b H$ 是两个左陪集，于是

$$
(a H)(b H)=a(H b) H=a(b H) H=(a b) H .
$$

再证充分性．设 $a H, b H$ 是任意两个左陪集，由条件知，存在 $c \in G$ ，使得 $(a H)(b H)=c H$ ．

$$
a x a^{-1}=a(h k) a^{-1}=\left(a h a^{-1}\right)\left(a k a^{-1}\right) \in H K,
$$

故由定理 2．8．1 的条件（4）知，$H K$ 是 $G$ 的正规子群。

\＃

如果 $H$ 是群 $G$ 的任意一个子群，那么两个左陪集 $a H, b H$ 的积 $(a H) \cdot(b H)$不一定还是左陪集．但是对于正规子群，我们有如下的重要事实．

定理 2．8．2 设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，则 $H$ 是群 $G$ 的正规子群当且仅当任意两个左（右）陪集之积还是左（右）陪集．

证明 先证必要性．设 $H$ 是一个正规子群，$a H, b H$ 是两个左陪集，于是

$$
(a H)(b H)=a(H b) H=a(b H) H=(a b) H .
$$

再证充分性．设 $a H, b H$ 是任意两个左陪集，由条件知，存在 $c \in G$ ，使得 $(a H)(b H)=c H$ ．

因此 $(a b) H=\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) H$ ，即上面陪集乘法的定义与代表元的选择无关．
再证明 $G / H$ 按照上述定义的陪集间的乘法构成一个群。事实上，由于群中子集的乘法满足结合律，故陪集的乘法也满足结合律．由 $H^2=H$ 可知，$H$ 是 $G / H$关于陪集乘法的单位元。又因为对任意 $a \in G$ ，有

$$
\left(a^{-1} H\right)(a H)=\left(a^{-1} a\right) H=H,
$$

故 $a^{-1} H$ 是 $a H$ 的逆元，即 $(a H)^{-1}=a^{-1} H$ 。因此 $G / H$ 对于陪集的乘法组成一个群。

由定理 2．8．2 和上面的分析可以得到
定理 2．8．3 $G / H=\{a H \mid a \in G\}$ 按照陪集间的乘法构成群当且仅当 $H$ 是 $G$ 的正规子群．

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