最后更新: 2025-12-07 13:22 查看: 62 次纠错评论(0) 课件开VIP

群的同态和同构

保持运算的同态映射是代数系统的重要研究对象之一，本节主要介绍群同态和群同构的基本概念和性质。

定义 2．7．1 设 $G, G^{\prime}$ 是两个群，$\sigma$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的映射．如果 $\sigma$ 保持运算，即对于任意 $a, b \in G$ ，有

$$
\sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b),
$$

那么称 $\sigma$ 为 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的同态，记为 $G \stackrel{\sigma}{\sim} G^{\prime}$ ．若同态 $\sigma$ 是满（单）射，则 $\sigma$ 称为满 （单）同态．若同态 $\sigma$ 是双射，则 $\sigma$ 称为同构，记为 $G \cong G^{\prime}$ ，或简记为 $G \cong G^{\prime}$ ．
$G$ 到自身的同态称为自同态，$G$ 到自身的同构称为自同构．
任何两个群之间都存在同态，比如对于任意 $a \in G$ ，令 $\sigma: a \rightarrow e^{\prime}$ ，则 $\sigma$ 是 $G$到 $G \prime$ 的同态，这个同态称为零同态．

命题 2．7．1 设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $G^{\prime}$ 的群同态，并记 $e$ 和 $e^{\prime}$ 分别是 $G$ 和 $G^{\prime}$ 的单位元，则有
（1）$\sigma(e)=e^{\prime}$ ；
（2）对任意 $a \in G$ ，有 $\sigma\left(a^{-1}\right)=\sigma(a)^{-1}$ ．
下面举一些群同态的例子．
例 2．7．1 设 $H$ 是群 $G$ 的子群，定义映射

$$
\begin{aligned}
\sigma: H & \rightarrow G, \\
x & \rightarrow x,
\end{aligned}
$$

则 $\sigma$ 是单同态，称之为嵌入同态或包含同态．特别，当 $H=G$ 时，$G$ 到 $G$ 的嵌入同态称为单位同态。

例 2．7．2 设 $P$ 为任一数域，对于任意 $A \in G L_n(P)$ ，定义

$$
\sigma(A)=|A|,
$$

则 $\sigma$ 为 $G L_n(P)$ 到 $P^*$ 的一个同态，其中 $P^*$ 为数域 $P$ 中非零元素组成的集合，它关于数域 $P$ 中的乘法构成群．

例 2．7．3 对数映射 $\sigma: x \rightarrow \ln (x)$ 是全体正实数构成的乘法群 $\left(\mathbf{R}^{+}, \cdot\right)$ 到全体实数构成的加法群 $(\mathbf{R},+)$ 的同构映射．

例 2．7．4 设 $G$ 为群，对任意 $a \in G$ ，映射 $\sigma_a: x \rightarrow a x a^{-1}$ 是群 $G$ 到自身的同构。

又如， 2.5 节证明了任意无限循环群都与整数加法群 $(\mathbf{Z},+)$ 同构，任意 $n$ 阶循环群都与 $\left(\mathbf{Z}_n,+\right)$ 同构。

利用同态映射还可以研究两个代数结构之间的关系．例如有
定理 2．7．1 设 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群同态，则
（1）若 $H$ 是 $G$ 的一个子群，则 $\sigma(H)=\{\sigma(a) \mid a \in H\}$ 是 $G^{\prime}$ 的子群；
（2）若 $H^{\prime}$ 是 $G^{\prime}$ 的一个子群，则 $\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)=\left\{a \in G \mid \sigma(a) \in H^{\prime}\right\}$ 是 $G$ 的子群；
（3）若 $\sigma$ 为满同态，则 $\sigma\left(\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)=H^{\prime}$ ；
（4）若 $\sigma$ 为单同态，则 $\sigma^{-1}(\sigma(H))=H$ ．
证明（1）设 $e, e^{\prime}$ 分别是 $G, G^{\prime}$ 的单位元．任取 $a^{\prime}, b^{\prime} \in \sigma(H)$ ，则存在 $a, b \in H$ ，使得

$$
a^{\prime}=\sigma(a), \quad a^{\prime}=\sigma(b)
$$

因为

$$
\sigma(a) \sigma(b)^{-1}=\sigma(a) \sigma\left(b^{-1}\right)=\sigma\left(a b^{-1}\right) \in \sigma(H)
$$

所以 $\sigma(H)$ 是 $G^{\prime}$ 的子群．
（2）任取 $a, b \in \sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)$ ，则有 $\sigma(a), \sigma(b) \in H^{\prime}$ ，于是

$$
\sigma\left(a b^{-1}\right)=\sigma(a) \sigma\left(b^{-1}\right)=\sigma(a) \sigma(b)^{-1} \in H^{\prime}
$$

即 $a b^{-1} \in \sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)$ ，因此 $\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)$ 是 $G$ 的子群．
（3）对于任意 $a^{\prime} \in \sigma\left(\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)$ ，存在 $a \in \sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)$ ，使得 $a^{\prime}=\sigma(a)$ ．
又由于 $a \in \sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)$ ，故 $\sigma(a) \in H^{\prime}$ ，即 $a^{\prime}=\sigma(a) \in H^{\prime}$ ，因此 $\sigma\left(\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right) \subseteq H^{\prime}$ ．
另一方面，对于任意 $a^{\prime} \in H^{\prime}$ ，因为 $\sigma$ 为满射，故存在 $a \in G$ ，使得 $a^{\prime}=\sigma(a)$ ，从而

$$
a \in \sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right), \quad a^{\prime} \in \sigma\left(\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right),
$$

于是 $H^{\prime} \subseteq \sigma\left(\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)$ ，因此当 $\sigma$ 为满同态时有 $\sigma\left(\sigma^{-1}\left(H^{\prime}\right)\right)=H^{\prime}$ ．
（4）显然 $H \subseteq \sigma^{-1}(\sigma(H))$ ．另一方面，对于任意 $a \in \sigma^{-1}(\sigma(H))$ ，有 $\sigma(a) \in \sigma(H)$ ，故存在 $h \in H$ ，使得 $\sigma(a)=\sigma(h)$ ．又因为 $\sigma$ 为单射，故 $a=h \in H$ ，于是 $\sigma^{-1}(\sigma(H)) \subseteq H$ ，因此当 $\sigma$ 为单同态时有 $\sigma^{-1}(\sigma(H))=H$ 。 \＃

定义 2．7．2 设 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群同态，则 $\operatorname{Ker}(\sigma)=\left\{x \in G \mid \sigma(x)=e^{\prime}\right\}$ 称为 $\sigma$ 的同态核， $\operatorname{Im}(\sigma)=\sigma(G)=\{\sigma(x) \mid x \in G\}$ 称为 $\sigma$ 的同态象，其中 $e^{\prime}$ 为 $G^{\prime}$ 的单位元。

定理 2．7．2 设 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是群同态，则
（1） $\operatorname{Ker}(\sigma) \leqslant G$ ；
（2） $\operatorname{Im}(\sigma) \leqslant G^{\prime}$ ；
（3）$\sigma$ 是单同态当且仅当 $\operatorname{Ker}(\sigma)=\{e\}$ ；
（4）$\sigma$ 是满同态当且仅当 $\operatorname{Im}(\sigma)=G^{\prime}$ ；
（5）$\sigma$ 是同构当且仅当 $\operatorname{Ker}(\sigma)=\{e\}$ 且 $\operatorname{Im}(\sigma)=G^{\prime}$ ．
证明 由定理 2．7．1知，结论（1）和（2）显然成立．

（3）必要性．对于任意 $x \in \operatorname{Ker}(\sigma)$ ，有 $\sigma(x)=e^{\prime}$ ，因为 $\sigma(e)=e^{\prime}$ 且 $\sigma$ 是单射，所以 $x=e$ ，从而 $\operatorname{Ker}(\sigma)=\{e\}$ ；

充分性．设 $\sigma(a)=\sigma(b)$ ，则 $\sigma\left(a b^{-1}\right)=\sigma(a) \sigma(b)^{-1}=e^{\prime}$ ，即 $a b^{-1} \in \operatorname{Ker}(\sigma)= \{e\}$ ，从而 $a b^{-1}=e$ ，即 $a=b$ ，因此 $\sigma$ 为单射．
（4）和（5）显然．

\＃

本节的最后，介绍群同构的一个应用，证明群论历史上重要的凯莱定理．从历史上看，群论是最早研究变换群的，而凯莱定理说明抽象群和特定的变换群是同构的．

定理 2．7．3（凯莱（Cayley）定理）任意一个群都同构于某一集合上的变换群．
证明 设 $G$ 是一个群．对于任意 $a \in G$ ，定义 $G$ 上的变换 $\sigma_a$ 如下：

$$
\sigma_a(x)=a x, \quad x \in G .
$$

先证明 $\sigma_a$ 为可逆变换．事实上，我们有

$$
\sigma_{a^{-1}} \sigma_a(x)=\sigma_{a^{-1}}(a x)=a^{-1} a x=x,
$$
$$
\sigma_a \sigma_{a^{-1}}(x)=\sigma_a\left(a^{-1} x\right)=a a^{-1} x=x
$$

因此 $\sigma_{a^{-1}} \sigma_a$ 和 $\sigma_a \sigma_{a^{-1}}$ 都是单位变换，从而 $\sigma_a^{-1}=\sigma_{a^{-1}}$ ，即 $\sigma_a$ 是可逆变换．
记 $G_l=\left\{\sigma_a \mid a \in G\right\}$ ，则对任意 $\sigma_a, \sigma_b \in G_l$ ，有

$$
\sigma_a \sigma_b^{-1}(x)=\sigma_a\left(b^{-1} x\right)=a b^{-1} x=\sigma_{a b^{-1}}(x)
$$

即 $\sigma_a \sigma_b^{-1}=\sigma_{a b^{-1}} \in G_l$ ，因此 $G_l$ 关于变换的乘法构成群．
又因为 $\sigma_a(e)=a$ ，故对任意 $a, b \in G$ ，有 $\sigma_a=\sigma_b$ 当且仅当 $a=b$ ，因此映射

$$
\psi: a \rightarrow \sigma_a
$$

是 $G$ 到 $G_l$ 的一个单射．显然 $\psi$ 还是满射，故 $\psi$ 为双射．
再由 $\sigma_a \sigma_b=\sigma_{a b}$ 知，上面的映射 $\psi$ 是群同态，故 $\psi$ 是群 $G$ 到 $G_l$ 的一个同构映射．

变换 $\sigma_a$ 称为由元素 $a$ 在 $G$ 上引起的左平移，而变换群 $G_l$ 称为群的左正则表示。

类似可以定义右平移

$$
\tau_a(x)=x a^{-1}, \quad x \in G,
$$

则 $G_r=\left\{\tau_a \mid a \in G\right\}$ 也是集合 $G$ 的一个变换群，也同构于 $G$ 。
当 $G$ 为有限群，$|G|=n$ 时，$G_l$ 和 $G_r$ 都是 $S_n$ 的子群，故有以下结论．
推论 2．7．1 任意 $n$ 阶有限群都同构于 $n$ 元对称群 $S_n$ 的子群。
变换群，特别是 $n$ 元对称群是一种相对具体的群．凯莱定理及其推论表明，任何一个抽象群都可以找到一个具体的群与它同构．

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