最后更新: 2025-12-07 13:20 查看: 41 次纠错评论(0) 课件开VIP

共轭置换的性质

3．共轭置换的性质
称置换群 $S_n$ 中两个置换 $\alpha$ 和 $\beta$ 共轭当且仅当存在 $\tau \in S_n$ 使 $\beta=\tau \alpha \tau^{-1}$ ．关于共轭置换，可以证明：

定理 2．6．4（1）对任意 $\tau \in S_n$ ，有 $\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_r\right) \tau^{-1}=\left(\tau\left(i_1\right) \tau\left(i_2\right) \cdots \tau\left(i_r\right)\right)$ ．
（2）进而，若 $\sigma=\left(i_1 \cdots i_r\right)\left(j_1 j_2 \cdots j_s\right) \cdots\left(l_1 l_2 \cdots l_t\right)$ 是两两不相交的轮换的积，则

$$
\tau \sigma \tau^{-1}=\left(\tau\left(i_1\right) \tau\left(i_2\right) \cdots \tau\left(i_r\right)\right)\left(\tau\left(j_1\right) \tau\left(j_2\right) \cdots \tau\left(j_s\right)\right) \cdots\left(\tau\left(l_1\right) \tau\left(l_2\right) \cdots \tau\left(l_t\right)\right) .
$$

证明（1）不妨设 $\tau\left(i_k\right)=j_k, 1 \leqslant k \leqslant r$ ，直接验证知

$$
\begin{gathered}
\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_r\right) \tau^{-1}\left(j_k\right)=j_{k+1}, \quad 1 \leqslant k \leqslant r-1, \\
\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_r\right) \tau^{-1}\left(j_r\right)=j_1,
\end{gathered}
$$

而 $\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_r\right) \tau^{-1}$ 保持其余的数不动，即有

$$
\tau\left(i_1 i_2 \cdots i_r\right) \tau^{-1}=\left(j_1 j_2 \cdots j_r\right)=\left(\tau\left(i_1\right) \tau\left(i_2\right) \cdots \tau\left(i_r\right)\right) .
$$

（2）不妨设 $\sigma=\sigma_1 \cdots \sigma_u=\left(i_1 \cdots i_r\right)\left(j_1 j_2 \cdots j_s\right) \cdots\left(l_1 l_2 \cdots l_t\right)$ 是两两不相交的轮换的积，由于

$$
\tau \sigma \tau^{-1}=\left(\tau \sigma_1 \tau^{-1}\right)\left(\tau \sigma_2 \tau^{-1}\right) \cdots\left(\tau \sigma_u \tau^{-1}\right),
$$

故由结论（1）知

由定理 2．6．4 容易给出 $S_n$ 中任意置换的共轭置换，进而还可以证明以下推论．
推论2．6．1 $S_n$ 中两个置换 $\alpha$ 和 $\beta$ 共轭当且仅当 $\alpha, \beta$ 具有相同的轮换结构。
证明 先证必要性．设 $\alpha$ 的轮换分解为

$$
\alpha=\left(i_1 \cdots i_r\right)\left(j_1 \cdots j_s\right) \cdots\left(l_1 \cdots l_u\right)
$$

若 $\alpha$ 与 $\beta$ 共轭，则存在 $\tau \in S_n$ 使 $\beta=\tau \alpha \tau^{-1}$ ，即
$$
\beta=\left(\tau\left(i_1\right) \cdots \tau\left(i_r\right)\right)\left(\tau\left(j_1\right) \cdots \tau\left(j_s\right)\right) \cdots\left(\tau\left(l_1\right) \cdots \tau\left(l_u\right)\right)
$$

故 $\alpha$ 与 $\beta$ 具有相同的轮换结构．
再证充分性。设 $\alpha$ 和 $\beta$ 具有相同的轮换结构，不妨设

$$
\begin{gathered}
\alpha=\left(i_1 \cdots i_r\right)\left(j_1 \cdots j_s\right) \cdots\left(l_1 \cdots l_u\right), \\
\beta=\left(a_1 \cdots a_r\right)\left(b_1 \cdots b_s\right) \cdots\left(d_1 \cdots d_u\right), \\
\text { 令 } \tau=\left(\begin{array}{cccccccccccc}
\cdots & i_1 & \cdots & i_r & j_1 & \cdots & j_s & \cdots & l_1 & \cdots & l_u & \cdots \\
\cdots & a_1 & \cdots & a_r & b_1 & \cdots & b_s & \cdots & d_1 & \cdots & d_u & \cdots
\end{array}\right) \in S_n, \text { 则 } \\
\beta=\tau \alpha \tau^{-1} .
\end{gathered}
$$

容易验证 $S_n$ 中的置换间的共轭关系是一个等价关系，每个等价类称为共轭类．假定置换 $\alpha$ 的轮换分解式中 $r \geqslant s \geqslant \cdots \geqslant u$ ，称序列 $(r, s, \cdots, u)$ 为正整数 $n$ 的一个分拆（注意 $r+s+\cdots+u=n$ ）．由推论 2．6．1知，在 $S_n$ 的所有共轭类组成的集合与 $n$ 的所有不同的分拆组成的集合之间存在一一对应。记 $p(n)$ 为 $n$ 的所有不同的分拆的个数，则 $S_n$ 共有 $p(n)$ 个共轭类．正整数函数 $p(n)$ 是一个有趣的计数函数，它的前面几个值为

$$
p(2)=2, \quad p(3)=3, \quad p(4)=5, \quad p(5)=7, \quad p(6)=11 .
$$

与此对应地， 3 元置换有 3 类： $1^3, 1^1 2^1, 3^1$ ，而 4 元置换有 5 类： $1^4, 1^2 2^1, 1^1 3^1$ ， $2^2, 4^1$ ．利用共轭置换的性质可以研究一些置换群的正规子群，参见 2.9 节．

4．图形的对称群、二面体群 $D_n$
设 $F$ 是平面上的一个图形。令 $G_F$ 为全体保持 $F$ 不变的平面正交变换所成的集合。显然，恒等变换总在 $G_F$ 中，因而 $G_F$ 是非空的．$G_F$ 中任意两个变换的乘积仍在 $G_F$ 中，因而变换的乘法可以认为是在 $G_F$ 上定义的一个运算。 $G_F$ 中任意变换的逆也在 $G_F$ 中。这就是说，$G_F$ 在变换的乘法下成一个群，称为图形 $F$ 的对称群。

例如，当 $F$ 为平面上的正 $n$ 边形时，那么 $F$ 的对称群 $G_F$ 由 $2 n$ 个元素组成．令 $T$ 为绕中心旋转 $2 \pi / n$ 的变换，$S$ 为对于某一对称轴的镜面反射，于是有

$$
G_F=\left\{I, T, T^2, \cdots, T^{n-1}, S, S T, \cdots, S T^{n-1}\right\}
$$

其中 $T^n=I, S^2=I, S T=T^{-1} S$ ．这些群通常称为二面体群，记为 $D_n$ ．
若把正 $n$ 边形的各顶点用 $1,2, \cdots, n$ 编号，则旋转变换 $T$ 和镜面反射 $S$ 可以表示为

$$
T=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 3 & \cdots & n & 1
\end{array}\right), \quad S=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1 & n & \cdots & 3 & 2
\end{array}\right),
$$
因此，二面体群Dn 可以自然视为 Sn 的子群，且是由 S， T生成的子群.

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