最后更新: 2025-12-07 13:19 查看: 66 次纠错评论(0) 课件开VIP

变换群和置换群

变换群和置换群是除循环群外另一类重要的群，群论的早期研究也源于变换群和置换群。本节简要介绍变换群和置换群的基本概念和性质。

设 $X$ 是一个非空集合，集合 $X$ 到自身的映射称为 $X$ 的变换。 $X$ 到自身的可逆变换（双射变换）的全体关于变换的合成构成群，称为集合 $X$ 的全变换群（也称对称群），记为 $S(X) . S(X)$ 的子群称为变换群。

当 $X$ 为有限集时，$X$ 到自身的可逆变换又称为 $X$ 上的置换。容易看出，$X$上的置换与 $X$ 中元素所表示的具体内容无关。不妨设 $|X|=n$ ，将 $X$ 中的元素用 $1,2, \cdots, n$ 编号，则 $X$ 上的置换 $f: X \rightarrow X$ 可以表示为

$$
f(1)=a_1, \quad f(2)=a_2, \quad \cdots, \quad f(n)=a_n,
$$

其中 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的一个无重复排列。
习惯上，我们用记号 $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{array}\right)$ 来表示 $f$ ．显然，按照这种写法，第一行元素的次序怎么设置是没有关系的．比如上面的 $f$ 也可用

$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 3 & 1 & 4 & 5 & \cdots & n \\
a_2 & a_3 & a_1 & a_4 & a_5 & \cdots & a_n
\end{array}\right)
$$

来表示，有时我们干脆把 $f$ 简记为 $\binom{i}{a_i}=\binom{i}{f(i)}$ ，显然，$f^{-1}=\binom{f(i)}{i}$ ．

当 $|X|=n$ 时，$S(X)$ 简记为 $S_n$ ，称为 $n$ 元对称群．$S_n$ 中的元素称为 $n$元置换，$S_n$ 的子群称为 $n$ 元置换群，简称置换群．不难看出，$S_n$ 的阶为 $n!$ ，即 $\left|S_n\right|=n!$ ．设 $r<n$ ，则 $S_r$ 可以看成是 $S_n$ 的一个子群．

置换群是群论中很重要的一类群，群论最早就是从置换群开始的，利用这种群，伽罗瓦（Galois）成功地解决了代数方程是否可用根式求解的问题．置换群是一类重要的非交换群，下面简要介绍置换群的基本性质。

1．置换的轮换表示
由前面的说明，$S_n$ 中任一置换 $f: X \rightarrow X$ 都可以表示为 $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{array}\right)$ ，下面给出置换 $f$ 更简单的表示方法．先介绍置换的轮换表示．

在 $X$ 中任取一个元素 $x$ ．因为 $S_n$ 是有限群，必存在正整数 $k$ 使得 $f^k=1$ ．设 $r$ 是使得 $f^r(x)=x$ 的最小正整数．我们断言，$x, f(x), f^2(x), \cdots, f^{r-1}(x)$ 这 $r$ 个元素两两不同．否则，不妨设 $f^i(x)=f^j(x), 0 \leqslant i<j<r$ ．因为 $f$ 是双射，故有 $f^{j-i}(x)=x$ ，但 $0<j-i<r$ ，这与 $r$ 的选择矛盾．

数组（ $x \quad f(x) \quad \cdots \quad f^{r-1}(x)$ ）称为置换 $f$ 的一个 $r$－轮换，$r$ 称为这个轮换的长度．长度为 2 的轮换也称为对换．两个轮换说是相同的，如果一个可以由另一个进行循环移位而得到，例如，（12345）与（34512）是两个相同的轮换．称两个轮换 $\alpha=\left(\begin{array}{llll}a_1 & a_2 & \cdots & a_r\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{llll}b_1 & b_2 & \cdots & b_s\end{array}\right)$ 是不相交的，如果 $\alpha, \beta$ 不含有相同的元素，即对任意 $i, j(1 \leqslant i \leqslant r, 1 \leqslant j \leqslant s)$ ，都有 $a_i \neq b_j$ ．

可以证明，任意两个不相交的轮换的积满足交换律（留作习题），且有

定理 2．6．1 对任意置换 $f \in S_n$ ，除轮换出现的顺序外，$f$ 可以唯一分解成两两不相交的轮换的积．这种分解称为置换 $f$ 的轮换分解．

证明 在 $X=\{1,2, \cdots, n\}$ 中任取定一个元素 $x$ ，可以得到 $f$ 的一个 $r$－轮换

$$
\left(\begin{array}{llll}
x & f(x) & \cdots & f^{r-1}(x)
\end{array}\right) .
$$

如果 $X$ 中还有元素不在这 $r$ 个元素中，那么在集合 $X-\left\{\begin{array}{llll}x & f(x) & \cdots & f^{r-1}(x)\end{array}\right\}$中再任意取定一个元素 $y$ ，这样又可以得到 $f$ 的一个轮换．因为 $X$ 为有限集合，这样一直做下去，就可以得到 $f$ 的全部轮换．

因为 $f$ 是双射，所以按照上述方法所得到的 $f$ 的任意两个轮换要么所含的元素完全相同，要么不含相同的元素．因此，$f$ 可以分解成两两不相交的轮换的积．

由于任意两个不相交的轮换的积满足交换律，故这样的分解是唯一的．

\＃

例 2．6．1 设 $X=\{1,2, \cdots, 8\}$ ，则

$$
\left(\begin{array}{llllllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
2 & 3 & 1 & 5 & 4 & 6 & 8 & 7
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)(45)(78) \quad\left(\begin{array}{ll}
7 & 8
\end{array}\right) \quad(\text { 先取 } a=1)
$$

$$
\begin{aligned}
& =(45)(123)(78)(\text { 先取 } a=4) \\
& =(231)(78)(54) \quad \text { (先取 } a=2 \text { ) }
\end{aligned}
$$

其中 1－轮换（6）省掉了。
从例2．6．1可以看出，置换的轮换表示与各子轮换的顺序无关。
设置换 $f$ 的轮换分解为（要求 $X$ 中的元素在 $f$ 的轮换分解中出现且只出现一次，保留各个 1－轮换）：

$$
\begin{aligned}
f & =\underbrace{(*) \cdots(*) \cdots(*)}_{\lambda_1 \text { 个长度为 } 1 \text { 的轮换 } \lambda_2 \text { 个长度为 } 2 \text { 的轮换 }} \cdots \underbrace{(* * \cdots)}_{\lambda_n \text { 个长度为 } n \text { 的轮换 }}, 1 \lambda_1+2 \lambda_2+\cdots+n \lambda_n \\
& =n, \quad \lambda_i \geqslant 0 .
\end{aligned}
$$

这时我们称 $f$ 具有轮换结构 $\left[1^{\lambda_1}, 2^{\lambda_2}, \cdots, n^{\lambda_n}\right]$ ．具有相同的轮换结构的置换称为同型的。
$S_n$ 中恒等置换简记为（1）或者1．设 $\sigma=\left(\begin{array}{llll}a_1 & a_2 & \cdots & a_r\end{array}\right)$ 为某个 $r$－轮换 $(r>1)$ ，容易证明

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1 a_2 \cdots a_r\right)=\left(a_2 \cdots a_r a_1\right)=\cdots=\left(\begin{array}{lllll}
a_r & a_1 & a_2 & \cdots & a_{r-1}
\end{array}\right), \\
& \left(a_1 a_2 \cdots a_r\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lllll}
a_r & a_{r-1} & \cdots & a_2 & a_1
\end{array}\right), \\
& \sigma^r=(1),
\end{aligned}
$$

且对任意 $0<k<r$ ，有 $\sigma^k \neq(1)$ ，即 $r$－轮换 $\sigma=\left(a_1 a_2 \cdots a_r\right)$ 的阶为 $r$ 。
进而，如果 $f=\left(a_{11} \cdots a_{1 r_1}\right)\left(a_{21} \cdots a_{2 r_2}\right) \cdots\left(a_{k 1} \cdots a_{k r_k}\right)$ 是两两不相交的轮换的积，还可以证明 $f$ 的阶为 $\operatorname{lcm}\left(r_1, r_2, \cdots, r_k\right)$ ．

2．置换的对换表示
容易看出，任意 $r$－轮换都可以如下表示为一些对换的乘积：

$$
\left(\begin{array}{llll}
a_1 & a_2 & \cdots & a_r
\end{array}\right)=\left(a_1 a_r\right)\left(a_1 a_{r-1}\right) \cdots\left(a_1 a_3\right)\left(a_1 a_2\right),
$$

因此，如果 $f=\left(a_{11} \cdots a_{1 r_1}\right)\left(a_{21} \cdots a_{2 r_2}\right) \cdots\left(a_{k 1} \cdots a_{k r_k}\right)$ 是两两不相交的轮换的积，则 $f$ 可以分解成 $\sum_{i=1}^k\left(r_i-1\right)$ 个对换的积，以后我们用 $N(f)$ 来记 $\sum_{i=1}^k\left(r_i-1\right)$ ．显然，$N(f)$ 是由 $f$ 所唯一决定的，且 $N(1)=0 . N(f)$ 称为 Cauchy 指数。

任一置换都可写成对换的积，然而一个置换分解成对换的乘积不是唯一的。例如

$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
2 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
2 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right),
$$

但我们有
定理 2．6．2 在一个置换的对换分解式中，出现对换个数的奇偶性不变．
证明 同前记 $X=\{1,2, \cdots, n\}$ ，则对于任意 $h+k+2$ 个两两不同的元素 $a, b, c_1, \cdots, c_h, d_1, \cdots, d_k \in X$（这里 $h, k$ 可以取 0 ），可以证明下式成立：

$$
(a b)\left(a c_1 \cdots c_h b d_1 \cdots d_k\right)=\left(b d_1 \cdots d_k\right)\left(a c_1 \cdots c_h\right),
$$

即 $(a b)\left(b d_1 \cdots d_k\right)\left(a c_1 \cdots c_h\right)=\left(a c_1 \cdots c_h b d_1 \cdots d_k\right)$ ．由 $N(f)$ 的定义，我们有

$$
\begin{aligned}
& N\left(\left(a c_1 \cdots c_h b d_1 \cdots d_k\right)\right)=h+k+1, \\
& N\left(\left(b d_1 \cdots d_k\right)\left(a c_1 \cdots c_h\right)\right)=h+k
\end{aligned}
$$

令 $\alpha \in S_n$ ，我们来计算 $N((a b) \alpha)$ 。分两种情形。
（1）若 $a, b$ 出现在 $\alpha$ 的轮换分解式的同一个轮换中，不妨设

$$
\alpha=\left(a_{11} \cdots a_{1 r_1}\right) \cdots\left(a_{i 1} \cdots a_{i r_i}\right) \cdots\left(a_{s 1} \cdots a_{s r_s}\right),
$$

其中 $a, b$ 均出现在 $\left(a_{i 1} \cdots a_{i r_i}\right)$ 中．因为

$$
\begin{aligned}
(a b) \alpha= & (a b)\left(a_{i 1} \cdots a_{i r_i}\right)\left(a_{11} \cdots a_{1 r_1}\right) \cdots\left(a_{i-1,1} \cdots a_{i-1, r_{i-1}}\right) \\
& \cdot\left(a_{i+1,1} \cdots a_{i+1, r_{i+1}}\right) \cdots\left(a_{s 1} \cdots a_{s r_s}\right),
\end{aligned}
$$

所以
$$
\begin{aligned}
N((a b) \alpha)= & N\left((a b)\left(a_{i 1} \cdots a_{i r_i}\right)\right)+\left(r_1-1\right)+\cdots+\left(r_{i-1}-1\right) \\
& +\left(r_{i+1}-1\right)+\cdots+\left(r_s-1\right),
\end{aligned}
$$

而 $N\left((a b)\left(a_{i 1} \cdots a_{i r_i}\right)\right)=r_i-2$（由（2．6．1）式），故 $N((a b) \alpha)=N(\alpha)-1$ ．
（2）若 $a, b$ 出现在 $\alpha$ 的不同的轮换中，不妨设 $a, b$ 分别出现在轮换 $\left(a c_1 \cdots\right. \left.c_h\right)$ 和 $\left(b d_1 \cdots d_k\right)$ 中，则

$$
(a b)\left(b d_1 \cdots d_k\right)\left(a c_1 \cdots c_h\right)=\left(a c_1 \cdots c_h b d_1 \cdots d_k\right),
$$

从而

$$
\begin{aligned}
N\left((a b)\left(a c_1 \cdots c_h\right)\left(b d_1 \cdots d_k\right)\right) & =h+k+1 \\
& =N\left(\left(a c_1 \cdots c_h\right)\left(b d_1 \cdots d_k\right)\right)+1,
\end{aligned}
$$

故有

$$
N((a b) \alpha)=N(\alpha)+1 .
$$

由此可见，无论哪一种情形，用一个对换乘 $\alpha$ 均改变 $N(\alpha)$ 的奇偶性，即有

$$
N((a b) \alpha) \equiv N(\alpha)+1(\bmod 2) .
$$

现设 $\alpha=()_1()_2 \cdots()_m$ 是任一对换分解（对换个数为 $m$ ），则由 ()$_m \cdots()_2()_1 \alpha=$ （1），知

$$
N\left(()_m \cdots()_2()_1 \alpha\right)=N(1)=0 .
$$

另一方面，由（2．6．2）式知，$N\left(()_m \cdots()_2()_1 \alpha\right) \equiv N(\alpha)+m(\bmod 2)$ ，故 $m \equiv N(\alpha)(\bmod 2)$ ，即 $N(\alpha)$ 与 $m$ 有相同的奇偶性．

\＃

设置换 $\alpha \in S_n$ ，如果 $\alpha$ 可以表示为偶数个对换的乘积，则称 $\alpha$ 为偶置换。如果 $\alpha$ 可以表示为奇数个对换的乘积，则称 $\alpha$ 为奇置换。令 $A_n$ 表示所有偶置换构成的集合，它关于置换的乘法也构成群，称为 $n$ 元交错群，$A_n$ 是 $S_n$ 的子群。

容易看出，$S_n$ 中奇置换和偶置换各占一半，故有 $\left|A_n\right|=n!/ 2$ ．
下面简单介绍轮换和对换的性质，并给出 $S_n$ 和 $A_n$ 的生成元组。
定理 2．6．3 设 $i, j, k, l$ 是不超过 $n$ 的四个不同的正整数，则有
（1）$(i j)=(k i)(k j)(k i)$ ；
（2）$(i j)(i k)=(i k j)$ ；
（3）$(i j)(k l)=(j k i)(k l j)$ ．
证明 直接验证知结论（1）和（2）成立，结论（3）由 $(i j)(k l)=(i j)(j k) (j k)(k l)=(j k i)(k l j)$ 可得．

\＃

下面分析 $n$ 元对称群 $S_n$ 和 $n$ 元交错群 $A_n$ 的生成元组．
因为任一置换都可写成对换的积，而当 $i, j$ 都不为 1 时，$(i j)=(1 i)(1 j)(1 i)$ ，故有

$$
S_n=\left\langle\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
1 & 3
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{ll}
1 & n
\end{array}\right)\right\rangle .
$$

一般的，若 $i_1, i_2, i_3, \cdots, i_n$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的一个无重复排列，则有

$$
S_n=\left\langle\left(i_1 i_2\right),\left(i_1 i_3\right), \cdots,\left(i_1 i_n\right)\right\rangle .
$$

此外，还可以证明

$$
S_n=\langle(12),(23), \cdots,(n-1 n)\rangle .
$$

由于 $S_n=\left\langle\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{ll}1 & n\end{array}\right)\right\rangle$ ，故对任意 $\alpha \in A_n, \alpha$ 恒可以从（12）， $(13), \cdots,(1 n)$ 中选取适当的偶数个相乘而得．因为当 $i \neq j$ 时，（1 $j$ ）（1 $i)= (1 i j)$ ，并且当 $i, j$ 都不为 2 时，又有

$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & i & j
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & j
\end{array}\right)^2\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & i
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & j
\end{array}\right) .
$$
而 $(1 i 2)=(12 i)^2$ ，故有

$$
A_n=\left\langle\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 4
\end{array}\right), \cdots,\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & n
\end{array}\right)\right\rangle .
$$

一般的，若 $i_1, i_2, i_3, \cdots, i_n$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的一个无重复排列，则有

$$
A_n=\left\langle\left(i_1 i_2 i_3\right),\left(i_1 i_2 i_4\right), \cdots,\left(i_1 i_2 i_n\right)\right\rangle .
$$

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