最后更新: 2025-12-07 13:19 查看: 27 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

变换群和置换群

变换群和置换群是除循环群外另一类重要的群，群论的早期研究也源于变换群和置换群。本节简要介绍变换群和置换群的基本概念和性质。

设 $X$ 是一个非空集合，集合 $X$ 到自身的映射称为 $X$ 的变换。 $X$ 到自身的可逆变换（双射变换）的全体关于变换的合成构成群，称为集合 $X$ 的全变换群（也称对称群），记为 $S(X) . S(X)$ 的子群称为变换群。

当 $X$ 为有限集时，$X$ 到自身的可逆变换又称为 $X$ 上的置换。容易看出，$X$上的置换与 $X$ 中元素所表示的具体内容无关。不妨设 $|X|=n$ ，将 $X$ 中的元素用 $1,2, \cdots, n$ 编号，则 $X$ 上的置换 $f: X \rightarrow X$ 可以表示为

$$
f(1)=a_1, \quad f(2)=a_2, \quad \cdots, \quad f(n)=a_n,
$$

其中 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $1,2, \cdots, n$ 的一个无重复排列。
习惯上，我们用记号 $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{array}\right)$ 来表示 $f$ ．显然，按照这种写法，第一行元素的次序怎么设置是没有关系的．比如上面的 $f$ 也可用

$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
2 & 3 & 1 & 4 & 5 & \cdots & n \\
a_2 & a_3 & a_1 & a_4 & a_5 & \cdots & a_n
\end{array}\right)
$$

来表示，有时我们干脆把 $f$ 简记为 $\binom{i}{a_i}=\binom{i}{f(i)}$ ，显然，$f^{-1}=\binom{f(i)}{i}$ ．

当 $|X|=n$ 时，$S(X)$ 简记为 $S_n$ ，称为 $n$ 元对称群．$S_n$ 中的元素称为 $n$元置换，$S_n$ 的子群称为 $n$ 元置换群，简称置换群．不难看出，$S_n$ 的阶为 $n!$ ，即 $\left|S_n\right|=n!$ ．设 $r<n$ ，则 $S_r$ 可以看成是 $S_n$ 的一个子群．

置换群是群论中很重要的一类群，群论最早就是从置换群开始的，利用这种群，伽罗瓦（Galois）成功地解决了代数方程是否可用根式求解的问题．置换群是一类重要的非交换群，下面简要介绍置换群的基本性质。

1．置换的轮换表示
由前面的说明，$S_n$ 中任一置换 $f: X \rightarrow X$ 都可以表示为 $\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{array}\right)$ ，下面给出置换 $f$ 更简单的表示方法．先介绍置换的轮换表示．

在 $X$ 中任取一个元素 $x$ ．因为 $S_n$ 是有限群，必存在正整数 $k$ 使得 $f^k=1$ ．设 $r$ 是使得 $f^r(x)=x$ 的最小正整数．我们断言，$x, f(x), f^2(x), \cdots, f^{r-1}(x)$ 这 $r$ 个元素两两不同．否则，不妨设 $f^i(x)=f^j(x), 0 \leqslant i<j<r$ ．因为 $f$ 是双射，故有 $f^{j-i}(x)=x$ ，但 $0<j-i<r$ ，这与 $r$ 的选择矛盾．

数组（ $x \quad f(x) \quad \cdots \quad f^{r-1}(x)$ ）称为置换 $f$ 的一个 $r$－轮换，$r$ 称为这个轮换的长度．长度为 2 的轮换也称为对换．两个轮换说是相同的，如果一个可以由另一个进行循环移位而得到，例如，（12345）与（34512）是两个相同的轮换．称两个轮换 $\alpha=\left(\begin{array}{llll}a_1 & a_2 & \cdots & a_r\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{llll}b_1 & b_2 & \cdots & b_s\end{array}\right)$ 是不相交的，如果 $\alpha, \beta$ 不含有相同的元素，即对任意 $i, j(1 \leqslant i \leqslant r, 1 \leqslant j \leqslant s)$ ，都有 $a_i \neq b_j$ ．

可以证明，任意两个不相交的轮换的积满足交换律（留作习题），且有

定理 2．6．1 对任意置换 $f \in S_n$ ，除轮换出现的顺序外，$f$ 可以唯一分解成两两不相交的轮换的积．这种分解称为置换 $f$ 的轮换分解．

证明 在 $X=\{1,2, \cdots, n\}$ 中任取定一个元素 $x$ ，可以得到 $f$ 的一个 $r$－轮换

$$
\left(\begin{array}{llll}
x & f(x) & \cdots & f^{r-1}(x)
\end{array}\right) .
$$

如果 $X$ 中还有元素不在这 $r$ 个元素中，那么在集合 $X-\left\{\begin{array}{llll}x & f(x) & \cdots & f^{r-1}(x)\end{array}\right\}$中再任意取定一个元素 $y$ ，这样又可以得到 $f$ 的一个轮换．因为 $X$ 为有限集合，这样一直做下去，就可以得到 $f$ 的全部轮换．

因为 $f$ 是双射，所以按照上述方法所得到的 $f$ 的任意两个轮换要么所含的元素完全相同，要么不含相同的元素．因此，$f$ 可以分解成两两不相交的轮换的积．

由于任意两个不相交的轮换的积满足交换律，故这样的分解是唯一的．

\＃

例 2．6．1 设 $X=\{1,2, \cdots, 8\}$ ，则

$$
\left(\begin{array}{llllllll}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
2 & 3 & 1 & 5 & 4 & 6 & 8 & 7
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)(45)(78) \quad\left(\begin{array}{ll}
7 & 8
\end{array}\right) \quad(\text { 先取 } a=1)
$$

$$
\begin{aligned}
& =(45)(123)(78)(\text { 先取 } a=4) \\
& =(231)(78)(54) \quad \text { (先取 } a=2 \text

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