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循环群的性质

循环群是群论中最基本最重要的一类群，它是由单个元素生成的群．本节继续研究循环群的代数结构、生成元及循环群子群的性质。

显然，每一个循环群都是交换的，且循环群的阶与其生成元的阶相同．可以证明：素数阶的群都是循环群（留作习题），且同构意义下只有如下两类．

定理2．5．1 在同构意义下，无限循环群只有唯一一个，$n$ 阶循环群也只有唯一一个．具体而言，任意无限循环群都与 $(\mathbf{Z},+)$ 同构，任意 $n$ 阶有限循环群都与 $\left(\mathbf{Z}_n,+\right)$ 同构。

证明（1）设 $G=\langle a\rangle$ 是任一无限循环群．构造

$$
\begin{aligned}
f: \mathbf{Z} & \rightarrow G, \\
k & \rightarrow a^k
\end{aligned}
$$

则 $f$ 显然是满射．另一方面，若 $a^{k_1}=a^{k_2}$ ，则有 $k_1=k_2$ ，故 $f$ 是双射．
又因为 $f\left(k_1+k_2\right)=a^{k_1+k_2}=a^{k_1} a^{k_2}=f\left(k_1\right) f\left(k_2\right)$ ，故 $f$ 是 $\mathbf{Z}$ 到 $G$ 的同构．
（2）设 $G=\langle a\rangle$ 是任一 $n$ 阶循环群．令

$$
\begin{aligned}
g: \mathbf{Z}_n & \rightarrow G, \\
\bar{k} & \rightarrow a^k .
\end{aligned}
$$

注意到

$$
\overline{k_1}=\overline{k_2} \text { 当且仅当 } \overline{k_1-k_2}=\overline{0} \text {, }
$$

当且仅当 存在正整数 $q$ 使得 $k_1-k_2=n q$ ，当且仅当 $a^{k_1-k_2}=1$ ，即 $a^{k_1}=a^{k_2}$ ，

故 $g$ 是映射且是单射．显然 $g$ 是满射，故 $g$ 是双射．又因为

$$
g\left(\overline{k_1}+\overline{k_2}\right)=g\left(\overline{k_1+k_2}\right)=a^{k_1+k_2}=a^{k_1} a^{k_2}=g\left(\overline{k_1}\right) g\left(\overline{k_2}\right),
$$

故 $g$ 是 $\mathbf{Z}_n$ 到 $G$ 的同构．

关于循环群的生成元，下面的结论成立．

定理 2．5．2（1）无限循环群 $G=\langle a\rangle$ 的生成元有且只有两个 $a, a^{-1}$ ，
（2）$n$ 阶循环群 $G=\langle a\rangle$ 的生成元有 $\varphi(n)$ 个，均形如 $a^r$ ，其中 $r$ 与 $n$ 互素，这里 $\varphi(n)$ 是欧拉函数．

证明 注意到
$a^r$ 为 $G=\langle a\rangle$ 的生成元 当且仅当 $a \in\left\langle a^r\right\rangle$
当且仅当 存在 $k \in \mathbf{Z}$ ，使得 $a=\left(a^r\right)^k=a^{r k}$ 。
若 $G=\langle a\rangle$ 为无限的，则 $a=a^{r k}$ 当且仅当 $r k=1$ ，于是 $r= \pm 1$ ．另一方面， $a, a^{-1}$ 又确为 $G$ 的生成元．这说明，$a^r$ 为 $G$ 的生成元当且仅当 $r= \pm 1$ ．

若 $G=\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群，则

$$
a=a^{r k} \text { 当且仅当 } n \mid(r k-1) \text { 当且仅当 } r k \equiv 1(\bmod n) \text {. }
$$

而 $r k \equiv 1(\bmod n)$ 有解当且仅当 $\operatorname{gcd

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