最后更新: 2025-12-14 14:59 查看: 43 次纠错评论(0) 课件开VIP

群的直和

在群论研究中，直和占有重要地位，它使我们可能从已给的群构造出新的群来，而且使我们可能把研究较复杂的群转化为研究较简单的群。

定义 3．7．1 设 $G_1, G_2, \cdots, G_r$ 是 $r$ 个群，考虑集合

$$
G=G_1 \times G_2 \times \cdot s \times G_r=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_r\right) \mid x_i \in G_i\right\}
$$

则 $G$ 关于运算

$$
\left(x_1, x_2, \cdots, x_r\right)\left(y_1, y_2, \cdots, y_r\right)=\left(x_1 y_1, x_2 y_2, \cdots, x_r y_r\right)
$$

组成一个群，其单位元为 $\left(e_1, e_2, \cdots, e_r\right)$ ，其中 $e_i$ 是 $G_i$ 的单位元，$i=1, \cdots, r$ ，元素 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_r\right)$ 的逆元为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_r\right)^{-1}=\left(x_1^{-1}, x_2^{-1}, \cdots, x_r^{-1}\right)$ ．称 $G$ 为 $G_1, G_2, \cdots, G_r$ 的（外）直和．

外直和 $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_r$ 的结构完全被群 $G_1, G_2, \cdots, G_r$ 的结构所决定．
若 $G_1, G_2, \cdots, G_r$ 都是交换群，则外直和 $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_r$ 也是交换群。
若 $G_1, G_2, \cdots, G_r$ 都是有限群，$\left|G_i\right|=n_i$ ，则外直和 $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_r$ 也是有限群，且 $\left|G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_r\right|=n_1 n_2 \cdots n_r$ ．

在外直和 $G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_r$ 中，令

$$
\bar{G}_i=\left\{\left(e_1, \cdots, e_{i-1}, x_i, e_{i+1}, \cdots, e_r\right) \mid x_i \in G_i\right\}
$$

容易验证下面的结论成立．

定理 3．7．1 在 $G=G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_r$ 中存在 $r$ 个子群 $\overline{G_1}, \cdots, \overline{G_r}$ ，使得
（1）$\overline{G_1}, \cdots, \overline{G_r}$ 都是 $G$ 的正规子群，且 $\overline{G_i} \cong G_i$ ；
（2）$G=\overline{G_1} \cdots \overline{G_r}$ ；
（3）$\overline{G_i} \cap\left(\bar{G}_1 \cdots \bar{G}_{i-1} \bar{G}_{i+1} \cdots \bar{G}_r\right)=\{e\}$ ，对任意 $i=1,2, \cdots, r$ ．
定义 3．7．2 设 $G$ 是一个群，$N_1, \cdots, N_r$ 是 $G$ 的子群。如果 $N_1, \cdots, N_r$满足
（1）$N_1, \cdots, N_r$ 都是 $G$ 的正规子群；
（2）$G=N_1 \cdots N_r$ ；
（3）$N_i \cap\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right)=\{e\}$ ，对任意 $i=1,2, \cdots, r$ ．
则 $G$ 称为子群 $N_1, \cdots, N_r$ 的（内）直和．记为 $G=N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots \oplus N_r$ ，并称 $N_1, \cdots, N_r$ 为 $G$ 的直和项（直和因子）．

如果群 $G$ 可以分解成一些正规子群 $N_1, \cdots, N_r$ 的直和，那么群 $G$ 的研究也就可以归结为正规子群 $N_1, \cdots, N_r$ 的研究．如果一个群不能分解成两个平凡的正规子群的直和，那么这个群就称为不可分解的．显然，任意一个有限群总可以分解为一些不可分解的群的直和．群的直和分解也是群论研究中的一个重要的问题．

定理 3．7．2 设 $N_1, \cdots, N_r$ 是群 $G$ 的 $r$ 个子群，则 $G=N_1 \oplus N_2 \oplus \cdots \oplus N_r$为内直和当且仅当
（1）$G=N_1 \cdots N_r$ ；
（2）$G$ 的每个元素 $x=x_1 x_2 \cdots x_r\left(x_i \in N_i\right)$ 的表法是唯一的；
（3）对任意 $1 \leqslant i \neq j \leqslant r, N_i$ 的元素与 $N_j$ 的元素可交换．
证明 先证必要性．若 $G$ 为 $N_1, N_2, \cdots, N_r$ 的内直和，则结论（1）显然成立，下面只需证明结论（2）和（3）成立。

先证结论（3）成立．事实上，由于 $N_i, N_j$ 是 $G$ 的正规子群，故对任意 $x_i \in N_i$ ， $x_j \in N_j$ ，有

$$
x_i x_j x_i^{-1} x_j^{-1} \in N_i \cap N_j=\{e\}
$$

于是有 $x_i x_j=x_j x_i$ ，即 $N_i$ 的元素与 $N_j$ 的元素可交换．
再证结论（2）成立．对任意 $x \in G$ ，若存在 $x_i, y_i \in N_i$ ，使得 $x=x_1 x_2 \cdots x_r= y_1 y_2 \cdots y_r$ ，那么

$$
y_1^{-1} x_1=y_2 \cdots y_r\left(x_2 \cdots x_r\right)^{-1} \in N_1 \cap\left(N_2 \cdots N_r\right)=\{e\},
$$

于是 $y_1^{-1} x_1=e=y_2 \cdots y_r\left(x_2 \cdots x_r\right)^{-1}$ ，即有

$$
x_1=y_1 \text {, 且 } x_2 \cdots x_r=y_2 \cdots y_r \text {. }
$$

同上可以逐步证明 $x_2=y_2, \cdots, x_r=y_r$ ．
再证充分性．要证明 $G$ 为 $N_1, N_2, \cdots, N_r$ 的内直和，只需要证明 $N_1, \cdots, N_r$都是 $G$ 的正规子群，并且对任意 $i=1,2, \cdots, r$ ，有

$$
N_i \cap\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right)=\{e\} .
$$

先证明 $N_1, \cdots, N_r$ 都是 $G$ 的正规子群．对任意 $x \in G$ ，存在 $x_i \in N_i$ ，使得 $x=x_1 x_2 \cdots x_r$ ，对任意 $n_i \in N_i$ ，有

$$
x n_i x^{-1}=\left(x_1 \cdots x_r\right) n_i\left(x_1 \cdots x_r\right)^{-1},
$$

由于对任意 $1 \leqslant i, j \leqslant r, i \neq j, N_i$ 的元素与 $N_j$ 的元素可交换，故上式可以写成

$$
x n_i x^{-1}=\left(x_1 x_1^{-1}\right) \cdots\left(x_i n_i x_i\right)^{-1} \cdots\left(x_r x_r^{-1}\right)=x_i n_i x_i^{-1} \in N_i,
$$

证明 由内直和的性质知

$$
G=N_i \cdot\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right) \text {, 且 } N_i \cap\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right)=\{e\} \text {, }
$$

再由群的第二同构定理知

$$
\begin{aligned}
G / N_i= & N_i \cdot\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right) / N_i \\
& \cong\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right) /\left(N_i \cap\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right)\right) \\
& \cong N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r \\
& \\
& G /\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right) \\
= & N_i \cdot\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right) /\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right) \\
& \cong N_i /\left(N_i \cap\left(N_1 \cdots N_{i-1} N_{i+1} \cdots N_r\right)\right) \cong N_i .
\end{aligned}
$$

例 3．7．1 设 $K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ ，令

$$
N_1=\left\{(1),\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)(34)\right\}, \quad N_2=\left\{(1),\left(\begin{array}{lll}
1 & 3
\end{array}\right)(24)\right\}
$$

则 $K=N_1 \oplus N_2$ ．
例 3．7．2 $\left(\mathbf{R}^*, \cdot\right)=\mathbf{R}^{+} \oplus\{1,-1\}$ ．
例 3．7．3 在同构意义下， 15 阶群只有一个，即 15 阶循环群。
证明 设 $|G|=15=3 \cdot 5$ ，则由西罗定理有

$$
n_3 \equiv 1(\bmod 3) \text { 且 } n_5 \mid 5, \quad n_5 \equiv 1(\bmod 5) \text { 且 } n_5 \mid 3,
$$

故 $n_3=1, n_5=1$ ，从而 $G$ 有唯一一个西罗3－子群和西罗5－子群，不妨分别记为 $C_3, C_5$ ．则有 $C_3, \triangleleft G, C_5 \triangleleft G$ ．但 $C_3 \cap C_5=\{e\}$ 且 $C_3 C_5 \leqslant G$ ，故 $C_3, C_5$ 可以构成内直和 $C_3 \oplus C_5$ ．

设 $C_3=\langle a\rangle, C_5=\langle b\rangle$ ．因为 $C_3, C_5$ 中元素可以交换，故 $a b=b a$ ．因为 $o(a)=3, o(b)=5$ ，且 $\operatorname{gcd}(3,5)=1$ ，故 $o(a b)=15$ ，从而 $G=\langle a b\rangle=C_3 \oplus C_5$ 是一个循环群。

下面利用西罗定理，分析有限交换群的结构。
设 $G$ 是一个有限交换群，$|G|=n, n$ 的标准分解式为 $n=p_1^{r_1} \cdots p_s^{r_s}$ ，其中 $p_1, \cdots, p_s$ 为不同的素数，$r_i \geqslant 1, i=1,2, \cdots, s$ ．再设 $G_i$ 是 $G$ 的西罗 $p_i$－子群．由于 $G$ 是交换群，$G_i$ 也是 $G$ 的唯一的西罗 $p_i$－子群。不难看出，$G_i$ 恰由 $G$ 中全部阶为 $p_i$ 的方幂的元素所组成。

令 $H=G_1 \cdots G_s$ ，因为 $G_i$ 中的元素的阶为 $p_i$ 的方幂，而子群

$$
G_1 \cdots G_{i-1} G_{i+1} \cdots G_s
$$

中元素的阶为 $p_1^{r_1} \cdots p_{i-1}^{r_{i-1}} p_{i+1}^{r_{i+1}} \cdots p_s^{r_s}$ 的因子，故对任意 $i=1,2, \cdots, s$ ，有
$$
G_i \cap\left(G_1 \cdots G_{i-1} G_{i+1} \cdots G_s\right)=\{e\},
$$

从而

$$
H=G_1 \oplus \cdots \oplus G_s .
$$

另一方面，由于对任意 $i=1,2, \cdots, s$ ，有

$$
G_i \cap\left(G_1 \cdots G_{i-1} G_{i+1} \cdots G_s\right)=\{e\},
$$

可以证明

$$
|H|=\left|G_1 \cdots G_s\right|=\left|G_1\right| \cdots\left|G_s\right|=p_1^{r_1} \cdots p_s^{r_s}=|G|
$$

于是有

$$
H=G \text { 且 } G \cong G_1 \oplus \cdots \oplus G_s \text {. }
$$
这就证明了任意有限交换群都可以分解成一些交换p群的直和.以后我们还将证明，交换p群还可以进一步分解为一些循环p群的直和.

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