最后更新: 2025-12-14 15:04 查看: 39 次纠错评论(0) 课件开VIP

换位子群与可解群*

设 $G$ 是一个群，$a, b \in G$ ．为了了解 $a$ 与 $b$ 是否可交换，只需作乘积 $a b(b a)^{-1}= a b a^{-1} b^{-1}$ ．若它等于单位元素，则 $a$ 与 $b$ 是可交换的；若它不等于单位元素，则 $a$与 $b$ 就不可交换。即

$$
a b=b a \text { 当且仅当 } a b a^{-1} b^{-1}=e \text {. }
$$

称 $a b a^{-1} b^{-1}$ 为元素 $a$ 与 $b$ 的换位子，有时也将其记为 $[a, b]$ ．
由 $G$ 中所有的换位子生成的子群称为 $G$ 的换位子群，记作 $G^{(1)}$ 。即

$$
G^{(1)}=\left\langle\left\{x=a b a^{-1} b^{-1} \mid a, b \in G\right\}\right\rangle .
$$

由于 $\left(a b a^{-1} b^{-1}\right)^{-1}=b a b^{-1} a^{-1}$ ，即换位子的逆仍是换位子，所以

$$
G^{(1)}=\left\{q_1 q_2 \cdots q_r \mid q_i \text { 是 } G \text { 中某两个元素的换位子, } 1 \leqslant i \leqslant r, r \in \mathbf{N}\right\} \text {. }
$$
即：$G^{(1)}$ 恰由 $G$ 中所有有限个换位子的积组成．显然，$G$ 是交换群当且仅当 $G^{(1)} =\{e\}$ ．

关于换位子群，下面的结论成立。
定理 3．8．1 设 $G$ 是一个群，则
（1）$G^{(1)} \triangleleft G$ ；
（2）$G / G^{(1)}$ 是交换群；
（3）若 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 是同态，并且 $G^{\prime}$ 是交换群，则 $G^{(1)} \leqslant \operatorname{Ker}(\sigma)$ ；
（4）若 $K \triangleleft G$ 且 $G / K$ 是交换群，则 $G^{(1)} \leqslant K$ ．这就是说，$G^{(1)}$ 是 $G$ 的能使商群为交换群的最小的正规子群。

证明（1）对任意 $g \in G, \prod_{t=1}^n a_t b_t a_t^{-1} b_t^{-1} \in G^{(1)}$ ，我们有

$$
g\left(\prod_{t=1}^n a_t b_t a_t^{-1} b_t^{-1}\right) g^{-1}=\prod_{t=1}^n\left(\left(g a_t g^{-1}\right)\left(g b_t g^{-1}\right)\left(g a_t g^{-1}\right)^{-1}\left(g b_t g^{-1}\right)^{-1}\right) \in G^{(1)},
$$

故 $G^{(1)} \triangleleft G$ ．
（2）对任意 $a, b \in G$ ，因为 $a b(b a)^{-1}=a b a^{-1} b^{-1} \in G^{(1)}$ ，故 $a b G^{(1)}=b a G^{(1)}$ ，且由 $G^{(1)} \triangleleft G$ 知

$$
a G^{(1)} b G^{(1)}=a b G^{(1)}=b a G^{(1)}=b G^{(1)} a G^{(1)},
$$

故 $G / G^{(1)}$ 是交换群．
（3）因为 $G^{\prime}$ 是交换的，故有
$$
\sigma(a) \sigma(b) \sigma\left(a^{-1}\right) \sigma\left(b^{-1}\right)=\sigma(a) \sigma\left(a^{-1}\right) \sigma(b) \sigma\left(b^{-1}\right)=\sigma\left(a a^{-1} b b^{-1}\right)=\sigma(e)=e^{\prime},
$$

故对任意 $\prod_{t=1}^n a_t b_t a_t^{-1} b_t^{-1} \in G^{(1)}$ ，我们有

$$
\sigma\left(\prod_{t=1}^n a_t b_t a_t^{-1} b_t^{-1}\right)=e^{\prime}
$$

即 $\prod_{t=1}^n a_t b_t a_t^{-1} b_t^{-1} \in \operatorname{Ker}(\sigma)$ ，因此 $G^{(1)} \leqslant \operatorname{Ker}(\sigma)$ ．
（4）设 $\varphi: G \rightarrow G / K$ 是自然同态．因为 $G / K$ 交换且 $\operatorname{Ker}(\varphi)=K$ ，故由（3）知，$G^{(1)} \leqslant K$ ．

\＃

例 3．8．1 包含换位子群的子群是正规子群．
证明 设 $G^{(1)}$ 是群 $G$ 的换位子群，$H$ 是 $G$ 的包含 $G^{(1)}$ 的任一子群，要证 $H \triangleleft G$ ．

由定理 3．8．1知，$G^{(1)} \triangleleft G$ ，而 $G^{(1)} \subseteq H$ ，故 $G^{(1)} \triangleleft H$ ．

又 $G / G^{(1)}$ 交换群，故 $H / G^{(1)} \triangleleft G / G^{(1)}$ ，从而有 $H \triangleleft G$ ．

\＃

例 3．8．2 设 $N \triangleleft G$ ，则 $N^{(1)} \triangleleft G$ ．
证明 对任意 $g \in G, \prod_{i=1}^s a_i b_i a_i^{-1} b_i^1 \in N^{(1)}$ ，其中 $a_i, b_i \in N, i=1,2, \cdots, s$ ．
因为 $N \triangleleft G$ ，故 $g a_i g^{-1}, g b_i g^{-1} \in N$ ，从而

$$
g\left(\prod_{i=1}^s a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\right) g^{-1}=\prod_{i=1}^s\left(\left(g a_i g^{-1}\right)\left(g b_i g^{-1}\right)\left(g a_i g^{-1}\right)^{-1}\left(g b_i g^{-1}\right)^{-1}\right) \in N^{(1)},
$$

故 $N^{(1)} \triangleleft G$ ．

\＃

下面介绍可解群的概念和性质．
由定理 3．8．1 知，$G^{(1)} \triangleleft G$ ．若 $G$ 为单群，则有 $G^{(1)}=\{1\}$ ，或者 $G^{(1)}=G$ ．而 $G^{(1)}=\{e\}$ 当且仅当 $G$ 是交换群，故对于非交换的单群 $G$ 必有 $G^{(1)}=G$ ．

一般地，对于任意一个群 $G$ ，它的换位子群 $G^{(1)}$ 是 $G$ 的一个非平凡的正规子群，即有

$$
G^{(1)} \triangleleft G,
$$

再作换位子群 $G^{(1)}$ 的换位子群 $\left(G^{(1)}\right)^{(1)}$ ，记为 $G^{(2)}$ 。这样继续下去，令

$$
G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)} .
$$

我们得到一个递降的群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

$$
G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)}
$$

我们得到一个递降的群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

其中每一项 $G^{(k)}$ 都是前一项 $G^{(k-1)}$ 的换位子群，因而是正规子群．如果 $G$ 是有限群，那么这样的群列只有两种可能：要么从某个正整数 $k$ 开始有

$$
G^{(k)}=G^{(k+1)}=\cdots \neq\{e\}
$$

要么存在正整数 $k$ 使 $G^{(k)}=\{1\}$ ．
定义 3．8．1 设 $G$ 是一个群．如果存在正整数 $k$ 使 $G^{(k)}=\{e\}$ ，那么 $G$ 称为可解群。

由于交换群 $G$ 的换位子群 $G^{(1)}=\{e\}$ ，显然，交换群都是可解群．
下面简要分析 $S_n$ 的可解性．
$S_2$ 是交换群，因而是可解群．若 $G=S_3$ ，不难验证

$$
G^{(1)}=\left\{(1),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2
\end{array}\right)\right\}=A_3, \quad G^{(2)}=A_3^{(1)}=\{(1)\}
$$

因而 $S_3$ 是可解群．

$$
G^{(k)}=\left(G^{(k-1)}\right)^{(1)}
$$

我们得到一个递降的群列

$$
G \triangleright G^{(1)} \triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k-1)} \triangleright G^{(k)} \triangleright \cdots,
$$

$$
G^{(k)}=G^{(k+1)}=\cdots \neq\{e\}
$$

要么存在正整数 $k$ 使 $G^{(k)}=\{1\}$ ．
定义 3．8．1 设 $G$ 是一个群．如果存在正整数 $k$ 使 $G^{(k)}=\{e\}$ ，那么 $G$ 称为可解群。

$$
G^{(1)}=\left\{(1),\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2
\end{array}\right)\right\}=A_3, \quad G^{(2)}=A_3^{(1)}=\{(1)\}
$$

因而 $S_3$ 是可解群．

定理 3．8．3 有限群 $G$ 是可解的当且仅当存在一个递降的正规子群列

$$
G=H_0 \geqslant H_1 \geqslant \cdots \geqslant H_t=\{e\},
$$

其中商群 $H_{i-1} / H_i, i=1,2, \cdots, t$ ，都是素数阶的循环群。
需要说明的是，对于可解群 $G$ ，定理 3．8．3 中的子群列 $H_1, \cdots, H_t$ 并不是唯一的。然而，若令 $\left|H_{i-1} / H_i\right|=p_i, i=1,2, \cdots, t$ ，则 $|G|=p_1 \cdots p_t$ ，因此子群列的个数 $t$ 就等于 $|G|$ 的素因子个数（重复的重复计算）是唯一确定的，同时素数组 $p_1, \cdots, p_t$ 也是唯一确定的。

由于当 $n>4$ 时，$S_n$ 不可解．由此伽罗瓦证明了 5 次以上一般方程没有根式解。

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