最后更新: 2025-12-18 14:03 查看: 43 次纠错评论(0) 课件开VIP

环、子环、环同态

本章介绍环论的一些基本概念和性质，具体内容包括：环、子环、环同态、环的特征、各种特殊类型的环、理想与商环、环的同构定理、素理想、极大理想和环的直和等．
4.1 环、子环、环同态

前面介绍的群中只包含一种代数运算，可以是加法，也可以是乘法．此外，我们还经常用到同时含有加法和乘法两种运算的代数结构，这就是下面将要介绍的环。

定义 4．1．1 设 $R$ 是一个非空集合，在 $R$ 上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为 $a+b$ ，一个叫乘法，记为 $a b$ ．如果 $R$ 关于这两种运算还满足下列性质：
（1）$R$ 对于加法成一个交换群；
（2）乘法有结合律 对任意的 $a, b, c \in R$ ，有 $(a b) c=a(b c)$ ；
（3）乘法对加法有分配律 对任意的 $a, b, c \in R$ ，有

$$
a(b+c)=a b+a c, \quad(b+c) a=b a+c a .
$$

那么 $R$ 就称为一个环．
以下是常见的环的一些例子．
例 4．1．1 全体整数对通常的加法与乘法构成一个环，称为整数环，记为 $\mathbf{Z}$ 。
全体偶数对通常的加法与乘法构成环，$n \mathbf{Z}(n>1)$ 对通常的加法与乘法也构成环．

例 4．1．2 所有的数域都是环．
例 4．1．3 设 $P$ 为一数域，系数在 $P$ 中的全体 $n$ 阶矩阵对矩阵的加法和乘法构成环，记为 $M_n(P)$ ，称为数域 $P$ 上的 $n$ 阶全矩阵环．
全体整系数的 $n$ 阶矩阵也成一环 $M_n(\mathbf{Z})$ 。一般地，系数取自环 $R$ 的全体 $n$ 阶矩阵对矩阵的加法和乘法也构成一个环，记为 $M_n(R)$ 。

例 4．1．4 设 $P$ 为一数域，$P[x]=\left\{f(x)=\sum a_i x^i \mid a_i \in P\right\}$ 关于多项式的加法和乘法构成环，称为数域 $P$ 上的多项式环。

设 $R$ 为环，其加法群的单位元也称为环 $R$ 的零元，简记为 0 ．

利用环的定义容易得到下面的基本性质．
性质 4．1．1 设 $R$ 是一个环， 0 是 $R$ 的零元，则对于任意 $a, b, c \in R$ ，有
（1）$a 0=0 a=0$ ；
（2）$a(-b)=(-a) b=-a b$ ；
（3）$(-a)(-b)=a b$ ；
（4）$a(b-c)=a b-a c$ ；
（5）$(b-c) a=b a-c a$ ．
证明（1）任取 $b \in R$ ，则

$$
a b+a 0=a(b+0)=a b
$$

从而得到 $a 0=0$ ，同理可证 $0 a=0$ ．
（2）由于 $a b+a(-b)=a(b+(-b))=a 0=0$ ，所以 $a(-b)=-a b$ ，同理可证 $(-a) b=-a b$ ．
（3）由（2）知，$(-a)(-b)=-a(-b)=a b$ ．
（4）$a(b-c)=a b+a(-c)=a b+(-a c)=a b-a c$ ．
（5）$(b-c) a=b a+(-c) a=b a+(-(c a))=b a-c a$ ．

\＃

类似乘法群中元素方幂的定义，因为 $R$ 对加法成一交换群，故对任意正整数 $n$ ，可以定义环 $R$ 中元素 $a$ 的倍数

$$
n a=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{(n \uparrow)} .
$$

再约定 $0 a=0,(-n) a=n(-a)$ ，其中 $n$ 是正整数．
于是对于任意整数 $m, n$ ，对任意 $a, b \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
m a+n a & =(m+n) a, \\
m(n a) & =(m n) a, \\
m(a+b) & =m a+m b .
\end{aligned}
$$

此外还有

$$
(n a) b=(n a) b=a(n b), \quad(n a)(m b)=(m n)(a b) .
$$

同样，对正整数 $n$ ，对任意 $a \in R$ ，可以定义

$$
a^n=\underbrace{a \cdots a}_{(n \uparrow)},
$$

即 $n$ 个 $a$ 相乘．对于任意正整数 $m, n \in \mathbf{Z}$ ，有

$$
\begin{gathered}
a^m a^n=a^{m+n} \\
\left(a^m\right)^n=a^{m n}
\end{gathered}
$$

在环 $R$ 中如果存在元素 $e$ ，使得对任意 $a \in R$ ，都有 $e a=a e=a$ ，这样的元素 $e$ 称为环 $R$ 的单位元，通常也简记为 1 ．含有单位元的环简称么环．

在么环 $R$ 中，如果对于某个元素 $a$ ，存在元素 $b$ ，使得 $b a=a b=1$ ，则称 $b$ 为 $a$ 的逆元，此时称 $a, b$ 为可逆元（也称为单位）．么环 $R$ 的全部可逆元组成的集合对乘法构成一个群，称为 $R$ 的单位群，记为 $U(R)$ 。对于么环中的可逆元 $a$ ，可以定义 $a^0=1, a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^n$ 。

下面介绍子环的定义和性质。
定义 4．1．2 设 $S$ 为环 $R$ 的一个非空子集，若 $S$ 关于环 $R$ 的运算也成一个环，则称 $S$ 是 $R$ 的一个子环．

任意环 $R$ 都有子环 $R$ 和 $\{0\}$ ，它们称为 $R$ 的平凡子环，其余的子环称为非平凡的．

容易看出，子集合 $S$ 是 $R$ 的子环当且仅当 $S$ 关于加法运算是一子群，并且关于乘法运算是封闭的，即有

定理 4．1．1 设 $S$ 是环 $R$ 的一个非空子集，则
$S$ 是 $R$ 的子环当且仅当对于任意 $a, b \in S$ ，有 $a-b \in S$ 且 $a b \in S$ ．
利用定理 4．1．1 容易证明，任意多个子环的交还是子环．
显然，整数环 $\mathbf{Z}$ 是有理数域 $\mathbf{Q}$ 的子环，$n \mathbf{Z}(n>1)$ 是 $\mathbf{Z}$ 的子环．此外还有
例 4．1．5 设 $P$ 为一数域，在 $M_n(P)$ 中全体对角矩阵组成一子环；全体数量矩阵组成一子环；全体上（下）三角矩阵组成一子环．
需要说明的是，若环 $R$ 及其子环 $S$ 都有单位元，但 $R$ 和 $S$ 的单位元可能不一致。

例如，$S=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & a \\ 0 & 0\end{array}\right) \right\rvert\, a \in \mathbf{Z}\right\}$ 是 $M_2(\mathbf{Z})$ 的子环，$S$ 的单位元为 $\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，而 $M_2(\mathbf{Z})$ 的单位元为 $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．

例 4．1．6 设 $\mathbf{R}$ 为实数域，令 $N$ 为 $M_2(\mathbf{R})$ 中全体形如

$$
\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right), \quad a, b \in \mathbf{R}
$$

的矩阵组成的集合．这种形式的矩阵对加法成一子群是明显的．由计算知

$$
\left(\begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
c & d \\
-d & c
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a c-b d & a d+b c \\
-(a d+b c) & a c-b d
\end{array}\right),
$$

可见 $N$ 对乘法封闭．因此，$N$ 是 $M_2(\mathbf{R})$ 的一个子环．
下面介绍子集生成的子环的概念，并分析生成的子环中元素的形式．
定义 4．1．3 设 $S$ 是环 $R$ 的一个非空子集，$\left\{J_i \mid i \in I\right\}$ 是 $R$ 的所有包含 $S$的子环组成的集合．于是，$\bigcap_{i \in I} J_i$ 是 $R$ 的含有 $S$ 的最小子环，它称为 $R$ 的由 $S$ 生成的子环，记为 $[S]$ ．

下面分析 $[S]$ 由 $R$ 的哪些元素组成。
令

$$
M=\left\{\sum_{k=1}^n c_k a_1^{(k)} a_2^{(k)} \cdots a_{r_k}^{(k)} \mid a_i^{(k)} \in S, 1 \leqslant i \leqslant r_k, \quad c_k= \pm 1, n, r_k \in \mathbf{Z}^{+}\right\},
$$

可以验证 $M$ 是 $R$ 的一个子环，又因为 $S \subseteq M$ ，故 $[S] \subseteq M$ ．而由定义 4．1．3 知 $M \subseteq[S]$ ，故有

$$
[S]=M=\left\{\sum_{k=1}^n c_k a_1^{(k)} a_2^{(k)} \cdots a_{r_k}^{(k)} \mid a_i^{(k)} \in S, 1 \leqslant i \leqslant r_k, \quad c_k= \pm 1, n, r_k \in \mathbf{Z}^{+}\right\} .
$$

特别地，取 $L=\{a\}$ ，则

$$
[a]=\left\{\sum_{i=1}^m n_i a^i \mid n_i \in \mathbf{Z}, m \geqslant 1\right\} .
$$

类似于群的情形，可以如下定义两个环之间的同态．

定义 4．1．4 设 $\sigma$ 是环 $R$ 到环 $R^{\prime}$ 的一个映射．如果对于任意 $a, b \in R$ ，都有

$$
\begin{aligned}
\sigma(a+b) & =\sigma(a)+\sigma(b), \\
\sigma(a b) & =\sigma(a) \sigma(b),
\end{aligned}
$$

则称 $\sigma$ 为环 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的一个同态．
称 $\operatorname{Ker}(\sigma)=\left\{x \in R \mid \sigma(x)=0^{\prime}\right\}$ 为环同态 $\sigma$ 的同态核， $\operatorname{Im}(\sigma)=\sigma(R)$ 为 $\sigma$ 的同态象，其中 $0^{\prime}$ 为 $R^{\prime}$ 的零元。 容易验证 $\operatorname{Ker}(\sigma)$ 为 $R$ 的子环，$\sigma(R)$ 为 $R^{\prime}$ 的子环。

例 4．1．7 设 $\sigma: a \rightarrow \bar{a}$ 为环 $\mathbf{Z}$ 到 $\mathbf{Z}_n$ 的映射，则 $\sigma$ 是一个满同态，且同态核为 $n \mathbf{Z}$ ．

作为环和环同态的应用，下面介绍加法交换群的自同态环。
设 $M$ 是一个加法交换群，$M$ 的全部自同构按照映射的乘法构成一个乘法群，记为 $\operatorname{Aut}(M)$ 。再记 $\operatorname{End}(M)$ 为群 $M$ 的全部自同态构成的集合。对任意 $\eta, \xi \in \operatorname{End}(M)$ ，如下定义同态的加法和乘法：

$$
\begin{gathered}
(\eta+\xi)(x)=\eta(x)+\xi(x), \quad x \in M, \\
(\eta \xi)(x)=\eta(\xi(x)), \quad x \in M
\end{gathered}
$$

容易验证 $\eta+\xi$ 和 $\eta \xi$ 还是加法群 $M$ 的自同态，进而可以证明 $\operatorname{End}(M)$ 关于上述定义的同态的加法和乘法构成一个有单位元的环（恒等自同态为单位元），称 $\operatorname{End}(M)$ 为交换群 $M$ 的自同态环。

下面简要分析加法循环群的自同态环的结构。设 $M=\langle a\rangle$ 为加法循环群，对任意整数 $z$, 记 $\eta_z(n a)=z n a, n \in \mathbf{Z}$ ，可以验证 $\eta_z$ 是 $M$ 的自同态，并且下面的结论成立．

例 4．1．8 设 $M=\langle a\rangle$ 为一个无限循环群，则 $\operatorname{End}(M)=\left\{\eta_z \mid z \in \mathbf{Z}\right\}$ ，且有环同构

$$
\operatorname{End}(M) \cong \mathbf{Z} .
$$

证明 容易验证 $\eta_z$ 都是 $M$ 的自同态．反之，对任意 $\eta \in \operatorname{End}(M)$ ，由于 $M=\langle a\rangle$ 为循环群，故存在整数 $z$ 使得 $\eta(a)=z a$ ，而 $\eta$ 由 $a$ 的象唯一决定，从而 $\eta$ 可记作 $\eta_z$ ，故有

$$
\operatorname{End}(M)=\left\{\eta_z \mid z \in \mathbf{Z}\right\},
$$

并且由 $a$ 为无限阶元素知，$\eta_{z_1}=\eta_{z_2}$ 当且仅当 $z_1 a=z_2 a$ 当且仅当 $z_1=z_2$ ．
再证明存在环同构 $\operatorname{End}(M) \cong \mathbf{Z}$ ．构造 $\mathbf{Z}$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的映射 $\psi: z \mapsto \eta_z$ ，其中 $z \in \mathbf{Z}$ ．显然 $\psi$ 为满射．由于 $\eta_{z_1}=\eta_{z_2}$ 当且仅当 $z_1=z_2$ ，故 $\psi$ 为单射．下面证明 $\psi$ 为环同态．事实上，对任意 $a \in M$ ，有
$$
\begin{aligned}
\left(\eta_{z_1}+\eta_{z_2}\right)(a) & =\eta_{z_1}(a)+\eta_{z_2}(a)=z_1 a+z_2 a \\
& =\left(z_1+z_2\right) a=\eta_{z_1+z_2}(a)
\end{aligned}
$$

并且

$$
\left(\eta_{z_1} \cdot \eta_{z_2}\right)(a)=\eta_{z_1}\left(\eta_{z_2}(a)\right)=z_1 z_2 a=\eta_{z_1 z_2}(a)
$$

即有 $\eta_{z_1+z_2}=\eta_{z_1}+\eta_{z_2}, \eta_{z_1 z_2}=\eta_{z_1} \eta_{z_2}$ ，故 $\psi: z \mapsto \eta_z$ 是 $\mathbf{Z}$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的一个环同态。综上可得 $\psi: z \mapsto \eta_z$ 是 $\mathbf{Z}$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的一个环同构。 \＃

例 4．1．9 设 $M=\langle a\rangle$ 为一个 $n$ 阶循环群，则 $\operatorname{End}(M)=\left\{\eta_z \mid 0 \leqslant z \leqslant n-1\right\}$ ，且有环同构

$$
\operatorname{End}(M) \cong \mathbf{Z} /(n)=\mathbf{Z}_n .
$$

证明 同例 4．1．8，容易验证 $\operatorname{End}(M)=\left\{\eta_z \mid z \in \mathbf{Z}\right\}$ ．由于 $a$ 为 $n$ 阶元，故

$$
\eta_{z_1}=\eta_{z_2} \text { 当且仅当 } z_1 a=z_2 a \text { 当且仅当 } n \mid\left(z_1-z_2\right) \text {. }
$$

于是有

$$
\operatorname{End}(M)=\left\{\eta_z \mid 0 \leqslant z \leqslant n-1\right\} .
$$

构造 $\mathbf{Z}_n$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的对应关系 $\bar{\psi}: \bar{z} \mapsto \eta_z$ ，可以证明 $\bar{\psi}$ 是环同构，即有 $\operatorname{End}(M) \cong \mathbf{Z}_n$.

或者仍然构造 $\mathbf{Z}$ 到 $\operatorname{End}(M)$ 的映射 $\psi: z \mapsto \eta_z$ ，可以证明 $\psi$ 为满同态。注意到同态核 $\operatorname{Ker}(\psi)=\left\{z \in \mathbf{Z} \mid \eta_z=0\right\}=(n)$ ，由同态基本定理也可以得到

$$
\operatorname{End}(M) \cong \mathbf{Z}_n .
$$

\＃

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