最后更新: 2025-12-18 14:06 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

各种特殊类型的环

由环的定义知道，环 $R$ 中元素关于加法构成交换群，关于乘法只构成半群，适当加强其乘法性质，可以得到各种特殊类型的环。比如，如果环 $R$ 的乘法满足交换律，那么 $R$ 称为交换环．如果环 $R$ 的乘法含有单位元，那么 $R$ 称为么环．交换的么环称为交换么环。

为给出其他特殊的环，再介绍环中零因子的概念。
定义 4．2．1 设 $R$ 是一个环，任取 $a, b \in R$ ，其中 $a \neq 0, b \neq 0$ ，若 $a b=0$ ，则称 $a(b)$ 为 $R$ 的一个左（右）零因子．$R$ 的左零因子、右零因子统称为 $R$ 的零因子．

例如，矩阵环 $M_2(\mathbf{Z})$ 中，非零元 $\left(\begin{array}{cc}a & 0 \\ b & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ c & d\end{array}\right)$ 都是零因子。
如果环 $R$ 没有零因子，那么在环 $R$ 中消去律成立，即由 $a b=a c, a \neq 0$ 可以推出 $b=c$ ．事实上，由 $a b=a c$ 得

$$
a b-a c=0,
$$

即 $a(b-c)=0$ ，因为 $a \neq 0$ ，且 $R$ 没有零因子，所以

$$
b-c=0,
$$

即 $b=c$ ．
定义4．2．2 如果环 $R$ 是交换么环，$R$ 中至少含有两个元素（ $1 \neq 0$ ），且 $R$没有零因子，那么环 $R$ 称为整环。

定义4．2．3 如果环 $R$ 是交换么环，$R$ 中至少含有两个元素，且 $R$ 中全体非零元素 $R^*=R-\{0\}$ 对乘法成一群，那么环 $R$ 称为域。在域的定义中去掉乘法交换的条件，就得到体（或除环）．

显然，域一定是整环．
反之，可以证明
定理4．2．1 有限整环一定是域．
证明 设 $R$ 是一个含有 $n$ 个元素的整环，并记 $R=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ ，其中 $a_1=1$ ．

在 $R$ 中任取一个非零元素 $c$ ，作 $c R=\left\{c a_1, c a_2, \cdots, c a_n\right\}$ ．由消去律知道，这 $n$ 个元素必两两不同，它们就是 $R$ 的全部元素，即 $c R=R$ ．因此必然存在元素 $a_k$ ，使得

$$
c a_k=1 .
$$

这就证明了，$R$ 中每个非零元素 $c$ 都有逆元素，因而 $R$ 是域．

\＃

下面举一些特殊类型的环的例子。
例 4．2．1
（1）整数集合 $\mathbf{Z}$ 关于通常的加法和乘法构成一个整环。
（2） $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in \mathbf{Z}, \mathrm{i}=\sqrt{-1}\}$ 关于复数的加法和乘法组成一个整环，通常称之为高斯整环．
（3）Q，R，C 关于通常的数的加法和乘法构成域．
（4）数域 $P$ 上的一元多项式环 $P[x]$ 是一整环．
例 4．2．2 设 $n$ 是一给定的正整数，对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，定义 $a \sim b$ 当且仅当 $n \mid(a-b)$ ，则 $\sim$ 为 $\mathbf{Z}$ 上的一个等价关系，商集 $\mathbf{Z} / \sim=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}\}$ ．将 $\mathbf{Z} / \sim$ 简记为 $\mathbf{Z}_n$ 或 $\mathbf{Z} /(n), \mathbf{Z}_n$ 中的元素称为模 $n$ 的同余类．在 $\mathbf{Z}_n$ 中定义同余类的加法＂＋＂和乘法＂．＂如下：

$$
\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \quad \bar{a} \cdot \bar{b}=\overline{a b} \text {, 对于任意 } \bar{a}, \bar{b} \in \mathbf{Z}_n \text {, }
$$

可以证明 $\left(\mathbf{Z}_n,+, \cdot\right)$ 构成环，称为模 $n$ 的剩余类环。
若令 $\mathbf{Z}_n^*=\left\{\bar{a} \in \mathbf{Z}_n \mid(a, n)=1\right\}$ ，则 $\mathbf{Z}_n^*$ 关于同余类的乘法组成一个交换群， $\left|\mathbf{Z}_n^*\right|=\varphi(n)$ ，其中 $\varphi$ 是欧拉函数．特别地，当 $n$ 是素数 $p$ 时， $\mathbf{Z}_p$ 关于同余类加法和乘法组成一个域，并且 $\left|\mathbf{Z}_p^*\right|=p-1$ ；当 $n$ 是合数时， $\mathbf{Z}_n$ 关于同余类加法和乘法组成一个有单位元且有零因子的交换环。比如，剩余类环 $\mathbf{Z}_6$ 中 $\overline{1}$ 是单位元，$\overline{2}, \overline{3}, \overline{4}$都是零因子．

下面再举一个哈密顿四元数体的例子．

例 4．2．3 设 $\mathbf{C}$ 为复数域，考虑矩阵环 $M_2(\mathbf{C})$ 的子集

$$
H=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\bar{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right) \right\rvert\, \alpha, \beta \in \mathbf{C}\right\},
$$

容易验证这种形式的矩阵对加法成一子群．由计算知

$$
\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\bar{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\gamma & \delta \\
-\bar{\delta} & \bar{\gamma}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\alpha \gamma-\beta \bar{\delta} & \frac{\alpha \delta+\beta \bar{\gamma}}{-(\alpha \delta+\beta \bar{\gamma})}
\end{array} \frac{\alpha \gamma-\beta \bar{\delta}}{\alpha \gamma},\right.
$$

可见 $H$ 对乘法封闭．因此，$H$ 是 $M_2(\mathbf{C})$ 的一个子环．进而还可以证明 $H$ 是一个除环。

显然单位矩阵是 $H$ 的单位元．另一方面，由于

$$
\left|\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\bar{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right|=\alpha \bar{\alpha}+\beta \bar{\beta}=|\alpha|^2+|\beta|^2,
$$

故只要 $\alpha, \beta$ 不全为 0 ，则矩阵 $X=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha}\end{array}\right) \neq 0$ 均可逆，并且可以验证其逆
矩阵

$$
X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\bar{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{|\alpha|^2+|\beta|^2}\left(\begin{array}{cc}
\bar{\alpha} & -\beta \\
\bar{\beta} & \alpha
\end{array}\right)
$$

仍然属于 $H$ 。因此，$H$ 中全体非零元素对矩阵的乘法构成一个群，于是 $H$ 构成一个除环。

令 $\alpha=a+b \mathrm{i}, \beta=c+d \mathrm{i}$ ，于是 $H$ 中元素为

$$
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\bar{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc}
a+b \mathrm{i} & c+d \mathrm{i} \\
-c+d \mathrm{i} & a-b \mathrm{i}
\end{array}\right) \\
& =a\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{cc}
0 & \mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

用 $I, J, K$ 分别表示矩阵

$$
\left(\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{cc}
0 & \mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right),
$$

单位矩阵记为 1 ，则 $H$ 中元素就可以表示为

$$
a+b I+c J+d K
$$

其中 $a, b, c, d$ 为实数．直接计算即得

$$
\begin{gathered}
I^2=J^2=K^2=-1, \\
I J=K=-J I, \quad J K=I=-K J, \quad K I=J=-I K,
\end{gathered}
$$

根据上面的分析，$H$ 中非零元均可逆，但 $H$ 不满足乘法交换律，故 $H$ 构成体，通常称为哈密顿四元数体．
$H$ 的子集合 $\{ \pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$ 关于矩阵的乘法构成一个群，称为哈密顿四元数群．这是一类重要的八元非交换群，它是子群都是正规子群的最小的非交换群。

本节的最后介绍环的特征的概念．
对于么环 $R$ 中的单位元 $e$ ，考虑其中的加法群，也可能存在正整数 $m$ ，使得 $m e=0$ ．比如，环 $\mathbf{Z}_n$ 中 $n \cdot \overline{1}=\overline{0}$ ．使得 $m e=0$ 的最小正整数就是下面将要介绍的环的特征．

定义4．2．4 设 $R$ 是一个有单位元 $e$ 的环．若 $n$ 是使得 $n e=0$ 的最小正整数，则称 $n$ 为环 $R$ 的特征，记为 $\operatorname{char}(R)=n$ ，若 $R$ 是域，则称 $n$ 是域 $R$ 的特征；若不存在这样的 $n$ ，则称 $R$ 的特征为 0 ，记为 $\operatorname{char}(R)=0$ ．

例如，环 $\mathbf{Z}_n$ 的特征为 $n$ ，环 $\mathbf{Z}$ 的特征为 0 ．
定理 4．2．2 若 $\operatorname{char}(R)=n$ ，且 $k e=0$ ，则 $n \mid k$ ．
证明 注意到环 $R$ 的特征就是单位元 $e$ 的阶，由元素阶的性质，结论显然成立。

\＃

定理 4．2．3 若 $\operatorname{char}(R)=n$ ，则对任意 $x \in R$ ，有 $n x=0$ ．
证明 由于环 $R$ 有单位元 $e$ ，故对任意 $x \in R$ ，有 $n x=(n e) x=0 x=0$ ．\＃
定理 4．2．4 设 $R$ 是一个有单位元 $e$ 且无零因子的环，则 $\operatorname{char}(R)=0$ 或者某个素数．

证明（反证）假设 $\operatorname{char}(R)=n$ 为合数，不妨设 $n=s t$ ，其中 $s, t>1$ ，于是有

$$
(s e)(t e)=(s t) e=n e=0 .
$$

由于 $R$ 无零因子，故有 $s e=0$ ，或者 $t e=0$ ．这与 $n$ 的最小性矛盾．

\＃

由定理 4．2．4 知，任何域的特征不是 0 就是某个素数．特别地，数域的特征为 0 ，有限域的特征为素数．

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