最后更新: 2025-12-18 14:06 查看: 3 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

各种特殊类型的环

由环的定义知道，环 $R$ 中元素关于加法构成交换群，关于乘法只构成半群，适当加强其乘法性质，可以得到各种特殊类型的环。比如，如果环 $R$ 的乘法满足交换律，那么 $R$ 称为交换环．如果环 $R$ 的乘法含有单位元，那么 $R$ 称为么环．交换的么环称为交换么环。

为给出其他特殊的环，再介绍环中零因子的概念。
定义 4．2．1 设 $R$ 是一个环，任取 $a, b \in R$ ，其中 $a \neq 0, b \neq 0$ ，若 $a b=0$ ，则称 $a(b)$ 为 $R$ 的一个左（右）零因子．$R$ 的左零因子、右零因子统称为 $R$ 的零因子．

例如，矩阵环 $M_2(\mathbf{Z})$ 中，非零元 $\left(\begin{array}{cc}a & 0 \\ b & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ c & d\end{array}\right)$ 都是零因子。
如果环 $R$ 没有零因子，那么在环 $R$ 中消去律成立，即由 $a b=a c, a \neq 0$ 可以推出 $b=c$ ．事实上，由 $a b=a c$ 得

$$
a b-a c=0,
$$

即 $a(b-c)=0$ ，因为 $a \neq 0$ ，且 $R$ 没有零因子，所以

$$
b-c=0,
$$

即 $b=c$ ．
定义4．2．2 如果环 $R$ 是交换么环，$R$ 中至少含有两个元素（ $1 \neq 0$ ），且 $R$没有零因子，那么环 $R$ 称为整环。

定义4．2．3 如果环 $R$ 是交换么环，$R$ 中至少含有两个元素，且 $R$ 中全体非零元素 $R^*=R-\{0\}$ 对乘法成一群，那么环 $R$ 称为域。在域的定义中去掉乘法交换的条件，就得到体（或除环）．

显然，域一定是整环．
反之，可以证明
定理4．2．1 有限整环一定是域．
证明 设 $R$ 是一个含有 $n$ 个元素的整环，并记 $R=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ ，其中 $a_1=1$ ．

在 $R$ 中任取一个非零元素 $c$ ，作 $c R=\left\{c a_1, c a_2, \cdots, c a_n\right\}$ ．由消去律知道，这 $n$ 个元素必两两不同，它们就是 $R$ 的全部元素，即 $c R=R$ ．因此必然存在元素 $a_k$ ，使得

$$
c a_k=1 .
$$

这就证明了，$R$ 中每个非零元素 $c$ 都有逆元素，因而 $R$ 是域．

\＃

下面举一些特殊类型的环的例子。
例 4．2．1
（1）整数集合 $\mathbf{Z}$ 关于通常的加法和乘法构成一个整环。
（2） $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in \mathbf{Z}, \mathrm{i}=\sqrt{-1}\}$ 关于复数的加法和乘法组成一个整环，通常称之为高斯整环．
（3）Q，R，C 关于通常的数的加法和乘法构成域．
（4）数域 $P$ 上的一元多项式环 $P[x]$ 是一整环．
例 4．2．2 设 $n$ 是一给定的正整数，对任意 $a, b \in \mathbf{Z}$ ，定义 $a \sim b$ 当且仅当 $n \mid(a-b)$ ，则 $\sim$ 为 $\mathbf{Z}$ 上的一个等价关系，商集 $\mathbf{Z} / \sim=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}\}$ ．将 $\mathbf{Z} / \sim$ 简记为 $\mathbf{Z}_n$ 或 $\mathbf{Z} /(n), \mathbf{Z}_n$ 中的元素称为模 $n$ 的同余类．在 $\mathbf{Z}_n$ 中定义同余类的加法＂＋＂和乘法＂．＂如下：

$$
\bar{a}+\bar{b}=\overli

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