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理想与商环

设 $J$ 是环 $R$ 的一个子环，考虑加法群，$J$ 是 $(R,+)$ 的正规子群，所以商集 $R / J$ 关于陪集的加法 $(a+J)+(b+J)=(a+b)+J$ 构成商群．进而，若将子环的条件加强（子环改为理想），则还可以定义陪集间的乘法，并且商集 $R / J$ 关于上述陪集的加法和乘法构成环，这个环称为商环。

定义 4．3．1 设 $R$ 是一个环，$J$ 是 $R$ 的一个子环．如果对任意 $r \in R$ ， $a \in J$ ，都有 $r a, ~ a r \in J$ ，则称 $J$ 为 $R$ 的一个理想（或双边理想）．若对任意 $r \in R, a \in J$ ，只满足 $r a \in J$（或者 $a r \in J$ ），则称 $J$ 为 $R$ 的一个左（右）理想。

显然，$\{0\}$ 和 $R$ 都是 $R$ 的理想，它们是环 $R$ 的平凡的理想．如果环 $R$ 只有平凡的理想，则 $R$ 称为单环．

定理 4．3．1 设 $R$ 是一个环，$J$ 是 $R$ 的一个非空子集合，则 $J$ 是 $R$ 的一个理想当且仅当

对任意 $a, b \in J$ 和 $r \in R$ ，都有 $a-b \in J, r a \in J, a r \in J$ ．

可以证明，环同态的核是理想（自证）．关于子环和理想，还有下面的例子．
例 4．3．1 设 $n>1$ ，则 $n \mathbf{Z}$ 是 $\mathbf{Z}$ 的子环也是理想。
例 4．3．2 $\mathbf{Z}$ 是 $\mathbf{Q}$ 的子环但不是理想．
例 4．3．3 设 $R$ 是一个交换环，$a \in R$ ，令 $J=\{r a \mid r \in R\}$ ，则 $J$ 是 $R$ 的一个理想。

设 $H, N$ 是 $R$ 的子环，如群论一样，可以定义子环 $H, N$ 的和为

$$
H+N=\{x+y \mid x \in H, y \in N\} .
$$

一般来说，子环的和 $H+N$ 不一定是子环，例如
例 4．3．4 设 $R$ 是一个数域 $F$ 上的 2 阶全矩阵环。令

$$
H=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
a & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, a \in F\right\}, \quad N=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
0 & b \\
0 & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, b \in F\right\},
$$

则 $H, N$ 都是 $R$ 的子环，但 $H+N$ 不是 $R$ 的子环。
特别地，可以证明子环和理想的和还是子环，而理想和理想的和还是理想，即有

命题 4．3．1 设 $H$ 是 $R$ 的子环，$N$ 是 $R$ 的理想，则 $H+N=\{x+y \mid x \in H$ ， $y \in N\}$ 是 $R$ 的子环．

命题 4．3．2 设 $H, N$ 是环 $R$ 的一个理想，则 $H \cap N, H+N$ 都是 $R$ 的理想。

更一般地，环 $R$ 的任意有限个理想的交与和仍然是 $R$ 的理想．
此外，还可以如下定义环 $R$ 的两个理想 $H$ 和 $N$ 的积，记作 $H \cdot N$ ，其中

$$
H \cdot N=\left\{\sum_{i=1}^m h_i n_i \mid h_i \in H, n_i \in N, m \geqslant 1\right\},
$$

可以证明，$H \cdot N$ 还是一个理想，并且理想的乘法对加法满足分配律，即有

$$
\begin{aligned}
& H \cdot(N+K)=H \cdot N+H \cdot K, \\
& (N+K) \cdot H=N \cdot H+K \cdot H,
\end{aligned}
$$

其中 $H, N, K$ 为环 $R$ 的理想．
设 $J$ 是环 $R$ 的一个理想，因为 $J$ 是 $(R,+)$ 的正规子群，所以可考虑商群 $R / J$ 。在 $R / J$ 中定义加法和乘法为

$$
\begin{gathered}
\quad(a+J)+(b+J)=(a+b)+J, \quad \text { (商群 } R / J \text { 中的运算) } \\
(a+J)(b+J)=a b+J, \quad \text { (验证乘法定义与代表元的选择无关) }
\end{gathered}
$$

则 $R / J$ 组成一个环，称之为 $R$ 关于理想 $J$ 的商环（或模 $J$ 的同余类环），$R / J$ 的元素称为同余类， $\bar{a}=a+J$ 称为 $a$ 所在的同余类．

例如，整数模 $n$ 的剩余类环 $\mathbf{Z}_n=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}\}$ 关于同余类之间的加法和乘法

$$
\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \quad \bar{a} \cdot \bar{b}=\overline{a b} \text {, 对于任意 } \bar{a}, \bar{b} \in \mathbf{Z}_n
$$
构成环，该环也是整数环 $\mathbf{Z}$ 关于其理想 $(n)$ 的商环 $\mathbf{Z} /(n)$ ，其中 $\bar{k}=\{k+n t \mid t \in \mathbf{Z}\}$为元素 $k$ 所在的剩余类（同余类）。

整数环上的同余概念也可以推广到任意环上。
定义4．3．2 设 $R$ 是一个环，$J$ 为 $R$ 的一个理想．对于任意元素 $a, b \in J$ ，若 $a-b \in J$ ，则称 $a, b$ 模理想 $J$ 同余，记作

$$
a \equiv b(\bmod J) .
$$

否则，称 $a, b$ 模理想 $J$ 不同余，记作 $a \not \equiv b(\bmod N)$ 。
在此意义下，商环 $R / J$ 的每个陪集 $a+J$ 也称为模 $J$ 的一个同余类，简记为 $\bar{a}=a+J$ ．商环 $R / J$ 也称为模 $J$ 的同余类环．

关于模理想的同余，下面的结论成立．
（1）$a \equiv b(\bmod J)$ 当且仅当 $a-b \in J$ 。
（2）若 $a_1 \equiv b_1(\bmod J), a_2 \equiv b_2(\bmod J)$ ，则

$$
\begin{aligned}
a_1+a_2 & \equiv b_1+b_2(\bmod J), \\
a_1-a_2 & \equiv b_1-b_2(\bmod J), \\
a_1 a_2 & \equiv b_1 b_2(\bmod J)
\end{aligned}
$$

（3）特别，若 $a \equiv b(\bmod J)$ ，则对任意 $r \in R, n \in \mathbf{Z}$ ，有

$$
\begin{gathered}
r a \equiv r b(\bmod J), a r \equiv b r(\bmod J) \\
n a \equiv n b(\bmod J)
\end{gathered}
$$

在模理想同余的意义下，整数环 $\mathbf{Z}$ 上的中国剩余定理可以推广到一般么环上，参见 4.6 节的定理 4．6．3．

设 $J$ 是环 $R$ 的任一理想，则存在环 $R$ 到商环 $R / J$ 的自然映射

$$
\begin{aligned}
\varphi: R & \rightarrow R / J, \\
a & \rightarrow \bar{a}=a+J .
\end{aligned}
$$

容易验证，$\varphi$ 是环 $R$ 到其商环 $R / J$ 的同态映射，且是满同态，同态核

$$
\operatorname{Ker}(\varphi)=J .
$$

利用此同态关系，可以由环 $R$ 的性质研究商环 $R / J$ 的性质，反之也成立．
利用商环，我们还可以由已知环构造新的环．
下面分析子集 $S$ 生成的理想．

设 $S$ 是环 $R$ 的一个子集，$R$ 的包含 $S$ 的所有理想的交称为由 $S$ 生成的理想，记为 $(S)$ ．不难看出，
$(S)=\{$ 形如 $n a, x a, a y, x a y$ 的一切元素的有限和 $\mid n \in \mathbf{N}, x, y \in R, a \in S\}$ ．
若 $S$ 是有限集，则称 $(S)$ 是有限生成的．若 $S=\left\{a_1, \cdots, a_n\right\}$ ，则把 $(S)$ 简记为 $\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，并称（ $S$ ）由 $a_1, \cdots, a_n$ 生成。

定义4．3．3 由单个元素 $a \in R$ 生成的理想（ $a$ ）称为主理想．若环 $R$ 的每个理想都是主理想，则 $R$ 称为主理想环．若 $R$ 是整环且 $R$ 是主理想环，则 $R$ 称为主理想整环。

例如，整数环 $\mathbf{Z}$ 是一个主理想整环。
关于主理想（ $a$ ），可以证明下面的结论成立：
性质 4．3．1 设 $R$ 为环，$a \in R$ ，则
（1）$(a)=\left\{\left(\sum_{i=1}^n x_i a y_i\right)+x a+a y+m a \mid x_i, y_i, x, y \in R, n \in \mathbf{N}, m \in \mathbf{Z}\right\}$ ；

（2）如果 $R$ 是么环，则 $(a)=\left\{\sum_{i=1}^n x_i a y_i \mid x_i, y_i, x, y \in R, n \in \mathbf{N}\right\}$ ；
（3）如果 $R$ 是交换环，则 $(a)=\{x a+m a \mid x \in R, m \in \mathbf{Z}\}$ ；
（4）如果 $R$ 是交换么环，则 $(a)=R a=\{r a \mid r \in R\}$ ．
性质 4．3．2 若 $a$ 是 $R$ 的一个可逆元，则 $(a)=R$ ．
性质 4．3．3 设 $R$ 是交换么环，则 $R$ 是域当且仅当 $R$ 是单环。（留作习题）
本节的最后，介绍一下理想升链条件和诺特环．
定义 4．3．4 设 $\left\{A_i \mid i=1,2, \cdots\right\}$ 是环 $R$ 的理想组成的集合，如果

$$
A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots
$$

则称其为 $R$ 的一个理想升链．如果 $R$ 的每个理想升链

$$
A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \ldots
$$

都只包含有限个不同的理想，即存在正整数 $n$ ，使得对一切 $i \geqslant n$ ，有 $A_i=A_n$ ，则称环 $R$ 满足理想升链条件．

类似地，我们可以给出环 $R$ 满足理想降链条件的定义。
定理 4．3．2 环 $R$ 满足理想升链条件当且仅当 $R$ 的每个理想都是有限生成的．

证明 必要性．设 $A$ 是 $R$ 的一个理想，并设 $A$ 不是有限生成的．取 $a_1 \in A$ ，则 $\left(a_1\right) \neq A$ ．又取 $a_2 \in A-\left(a_1\right)$ ，因为 $\left(a_1, a_2\right) \neq A$ ，所以可取 $a_3 \in A-\left(a_1, a_2\right)$ ．按此方法继续下去，我们得到一个包含无限个不同理想的升链

$$
\left(a_1\right) \subseteq\left(a_1, a_2\right) \subseteq\left(a_1, a_2, a_3\right) \subseteq \cdots,
$$

这与 $R$ 满足理想升链条件矛盾．故 $R$ 的每个理想都是有限生成的．

充分性．设 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots$ 是 $R$ 的任意一个理想升链，令 $A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i$ ，易知 $A$ 是 $R$ 的一个理想（自证）．因为 $R$ 的每个理想都是有限生成的，故可设 $A=\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ．

设 $a_i \in A_{k_i}, i=1, \cdots, n$ ，并设 $k=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{k_i\right\}$ ．因为对每个 $i, A_{k_i} \subseteq A_k$ ，所以 $A \subseteq \bigcup_{i=1}^n A_{k_i} \subseteq A_k$ ，于是我们有 $A=A_k=A_{k+1}=\cdots$ 。这说明，升链 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \ldots$ 中只有有限个不同的理想，故 $R$ 满足理想升链条件．\＃满足理想升链条件的交换么环称为诺特（Noether）环．

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