最后更新: 2025-12-19 14:23 查看: 4 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

理想与商环

设 $J$ 是环 $R$ 的一个子环，考虑加法群，$J$ 是 $(R,+)$ 的正规子群，所以商集 $R / J$ 关于陪集的加法 $(a+J)+(b+J)=(a+b)+J$ 构成商群．进而，若将子环的条件加强（子环改为理想），则还可以定义陪集间的乘法，并且商集 $R / J$ 关于上述陪集的加法和乘法构成环，这个环称为商环。

定义 4．3．1 设 $R$ 是一个环，$J$ 是 $R$ 的一个子环．如果对任意 $r \in R$ ， $a \in J$ ，都有 $r a, ~ a r \in J$ ，则称 $J$ 为 $R$ 的一个理想（或双边理想）．若对任意 $r \in R, a \in J$ ，只满足 $r a \in J$（或者 $a r \in J$ ），则称 $J$ 为 $R$ 的一个左（右）理想。

显然，$\{0\}$ 和 $R$ 都是 $R$ 的理想，它们是环 $R$ 的平凡的理想．如果环 $R$ 只有平凡的理想，则 $R$ 称为单环．

定理 4．3．1 设 $R$ 是一个环，$J$ 是 $R$ 的一个非空子集合，则 $J$ 是 $R$ 的一个理想当且仅当

对任意 $a, b \in J$ 和 $r \in R$ ，都有 $a-b \in J, r a \in J, a r \in J$ ．

可以证明，环同态的核是理想（自证）．关于子环和理想，还有下面的例子．
例 4．3．1 设 $n>1$ ，则 $n \mathbf{Z}$ 是 $\mathbf{Z}$ 的子环也是理想。
例 4．3．2 $\mathbf{Z}$ 是 $\mathbf{Q}$ 的子环但不是理想．
例 4．3．3 设 $R$ 是一个交换环，$a \in R$ ，令 $J=\{r a \mid r \in R\}$ ，则 $J$ 是 $R$ 的一个理想。

设 $H, N$ 是 $R$ 的子环，如群论一样，可以定义子环 $H, N$ 的和为

$$
H+N=\{x+y \mid x \in H, y \in N\} .
$$

一般来说，子环的和 $H+N$ 不一定是子环，例如
例 4．3．4 设 $R$ 是一个数域 $F$ 上的 2 阶全矩阵环。令

$$
H=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
a & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, a \in F\right\}, \quad N=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}
0 & b \\
0 & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, b \in F\right\},
$$

则 $H, N$ 都是 $R$ 的子环，但 $H+N$ 不是 $R$ 的子环。
特别地，可以证明子环和理想的和还是子环，而理想和理想的和还是理想，即有

命题 4．3．1 设 $H$ 是 $R$ 的子环，$N$ 是 $R$ 的理想，则 $H+N=\{x+y \mid x \in H$ ， $y \in N\}$ 是 $R$ 的子环．

命题 4．3．2 设 $H, N$ 是环 $R$ 的一个理想，则 $H \cap N, H+N$ 都是 $R$ 的理想。

更一般地，环 $R$ 的任意有限个理想的交与和仍然是 $R$ 的理想．
此外，还可以如下定义环 $R$ 的两个理想 $H$ 和 $N$ 的积，记作 $H \cdot N$ ，其中

$$
H \cdot N=\left\{\sum_{i=1}^m h_i n_i \mid h_i \in H, n_i \in N, m \geqslant 1\right\},
$$

可以证明，$H \cdot N$ 还是一个理想，并且理想的乘法对加法满足分配律，即有

$$
\begin{aligned}
& H \cdot(N+K)=H \cdot N+H \cdot K, \\
& (N+K) \cdot H=N \cdot H+K \cdot H,
\end{aligned}
$$

其中 $H, N, K$ 为环 $R$ 的

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