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极端 RN 黑洞

9．5．3 极端 RN 黑洞
最后，我们简单讨论一下极端 RN 黑洞的情形。此时 $Q^2=G^2 M^2$ ，两个视界重叠，只有一个事件视界，而内禀奇点仍是 $r=0$ ，是一个类时曲线．度规的形式变为

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{\mu}{r}\right)^2 \mathrm{~d} t^2+\frac{\mathrm{d} r^2}{\left(1-\frac{\mu}{r}\right)^2}+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

在 $r=\mu$ 处奇异．我们可以定义雷杰－惠勒（Regge－Wheeler）坐标

$$
r^*=r+2 \mu \ln \left|\frac{r-\mu}{\mu}\right|-\frac{(\mu)^2}{r-\mu} \Rightarrow \mathrm{d} r^*=\frac{\mathrm{d} r}{1-\frac{\mu}{r}},
$$

并和前面一样引进 AEF 坐标，则

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{\mu}{r}\right)^2 \mathrm{~d} \tilde{u}^2+2 \mathrm{~d} \tilde{u} \mathrm{~d} r+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

这个度规在零超曲面 $r=\mu$ 处不再奇异。
为了更好地描述 $r \rightarrow \mu$ 的渐近度规，我们引进新的坐标 $r=\mu(1+\lambda)$ ，并只保留 $\lambda$的领头项．由此，我们得到
$$
\begin{aligned}
F & \sim \mathrm{~d} \lambda \wedge \mathrm{~d} t, \\
\mathrm{~d} s^2 & \sim \underbrace{\left(-\lambda^2 \mathrm{~d} t^2+\mu^2 \lambda^{-2} \mathrm{~d} \lambda^2\right)}_{\mathrm{AdS}_2}+\mu^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
\end{aligned}
$$

度规中的第一部分是一个 $\mathrm{AdS}_2$ 时空，而第二部分是一个半径为 $\mu$ 的2维球．也就是说，时空实际上是 $\mathrm{AdS}_2 \times S^2$ 。这是一个罗宾森一贝尔托蒂（Robinson－Bertotti）时空，可以看作一种卡卢察－克莱因真空，其中两个方向被紧化，而等效的时空是一个2维具有常负曲率的 $\mathrm{AdS}_2$ 时空．

对于极端 RN 黑洞，质量与电荷、磁荷形成了平衡．由于质量导致吸引力，而同荷导致电磁排斥力，这种平衡可以帮助我们构造具有多个中心的极端黑洞．物理上，两个具有不同质量和荷（同号）的极端 RN 黑洞，由于引力互相吸引，而由于电磁力互相排斥，但两种效应刚好抵消．这种多中心极端 RN 黑洞的严格解取如下的形式：

$$
\mathrm{d} s^2=-H^{-2}(\boldsymbol{x}) \mathrm{d} t^2+H^2(\boldsymbol{x})\left[\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2+\mathrm{d} z^2\right]
$$

其中 $H$ 满足拉普拉斯方程

$$
\nabla^2 H=\left(\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2\right) H=0
$$
其可能的解具有如下形式：

$$
H=1+\sum_{i=1}^N \frac{\mu_i}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_i\right|}
$$

它描述了具有 $N$ 个中心的黑洞．该解称为马宗达－帕帕拜特罗（Majumdar－Papapetrou）解。

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