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粒子的运动

9．5．2 粒子的运动
下面我们简单地讨论一下中性有质量粒子在 RN 时空中的运动．由于粒子不带电荷，我们不需考虑它们与电磁场的耦合．为简单计，我们只考虑有质量粒子的径向运动．这种粒子的 4 －速度为 $u^\mu=\left(u^0, u^1, 0,0\right)=(\dot{t}, \dot{r}, 0,0)$ ，其测地线方程为

$$
\dot{u}_\sigma=\frac{1}{2}\left(\partial_\sigma g_{\mu \nu}\right) u^\mu u^\nu .
$$

![图片](/uploads/2025-12/b4f69a.jpg)
 
 由于 $\partial_t$ 是基灵矢量，我们可以得到 $u_0=g_{00} \dot{t}=$ 常数．而由归一化条件

$$
g_{\mu \nu} u^\mu u^\nu=-1 \Rightarrow g_{00}\left(u^0\right)^2+g_{11}\left(u^1\right)^2=-1,
$$

我们得到径向方程

$$
\dot{r}^2+c^2 \Delta=u_0^2 / c^2
$$

易见，问题约化为一个一维问题，$\Delta$ 可以当作一维等效势，其形式如图 9.15 所示．

![图片](/uploads/2025-12/560f60.jpg)
 对于这样一个一维问题，运动轨迹依赖于运动常数 $u_0$ ．如果 $u_0=c^2$ ，这对应着粒 
子从无穷远处自由释放。当 $u_0>c^2$ 时，粒子运动是不受束缚的，从无穷远处进来又回到无穷远处。而当 $u_0<c^2$ 时，粒子的运动是受束缚的，只能在一个确定的径向区域中运动．但无论是何情况，粒子在径向上都有一个极限点，无法沿径向到达 $r=0$ 的奇点，而是在到达这个极限点后被反向推开．上面的图像听起来有些奇怪，因为沿着径向运动的粒子穿过外视界以后就应该无法从该视界出来．问题的答案在于此时应考虑最大延拓的 RN 完整时空流形，沿径向内向运动的粒子穿过 $r_{+}$和 $r_{-}$后，并不是从同一个时空穿出来，而是穿过另一个黑洞（更准确地说应该是白洞）的 $r_{-}$和 $r_{+}$回到渐近平直时空区域（详见拙著《广义相对论》）．

考虑一个球壳，其中每一个粒子的荷质比都是

$$
\gamma=\frac{Q}{G M}, \quad|\gamma|<1,
$$
其中 $Q$ 是总电荷，$M$ 是总质量．在球壳上每一个粒子的运动都是径向向内的，这样一个粒子的世界线满足（参见本章习题 15）

$$
\left(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} \tau}\right)^2=E^2-V_{\mathrm{eff}} \quad(E<1),
$$

其中的有效势为

$$
V_{\mathrm{eff}}=1-\left(1-E \gamma^2\right) \frac{2 \mu}{r}+\left(1-\gamma^2\right) \frac{Q^2}{r^2}
$$

这个有效势的最小值点在

$$
r_0=\frac{\left(1-\gamma^2\right) Q^2}{\left(1-E \gamma^2\right) \mu}=\frac{\gamma^2\left(1-\gamma^2\right)}{1-E \gamma^2} \mu,
$$

因此，塌缩将被静电排斥力所阻止．也就是说，即使对于带电粒子，它们也无法到达奇点，而是穿过两个视界以后被推出来，形成白洞。

为了把上述图像看得更清楚，我们需要引进不同的坐标来描述粒子的运动．对于径向下落的粒子，我们可以利用 AEF 坐标 $(\widetilde{u}, r)$ ．此时，度规可以写作

$$
\mathrm{d} s^2=-\Delta \mathrm{d} \widetilde{u}^2+2 \mathrm{~d} \tilde{u} \mathrm{~d} r+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

我们由此得到粒子的 4 －速度分量为（取 $c=1$ ）

$$
\begin{aligned}
& \dot{r}_{\mathrm{in}}=-\left(u_0^2-\Delta\right)^{1 / 2}, \\
& \dot{\tilde{u}}_{\mathrm{in}}=\frac{u_0-\left(u_0^2-\Delta\right)^{1 / 2}}{\Delta} .
\end{aligned}
$$

在此坐标下，粒子如果进人内视界 $r_{-}$然后转向沿着半径增加的方向运动，其 4 －速度的分量为

$$
\begin{aligned}
& \dot{r}_{\text {out }}=\left(u_0^2-\Delta\right)^{1 / 2}, \\
& \dot{\tilde{u}}_{\text {out }}=\frac{u_0+\left(u_0^2-\Delta\right)^{1 / 2}}{\Delta} .
\end{aligned}
$$

当粒子经过视界时，$\Delta \rightarrow 0$ ，内向运动的 4 －速度分量

$$
\dot{\tilde{u}}_{\text {in }} \approx\left(2 u_0\right)^{-1},
$$

是一个有限的值，因此穿过两个视界都没有问题．但外向运动的4－速度分量在经过视界时

$$
\dot{\tilde{u}}_{\text {out }} \approx \frac{2 u_0}{\Delta} \rightarrow \infty .
$$

也就是说在外向运动时， AEF 坐标在视界处奇异，我们需要引进新的坐标．
对于外向运动的粒子，我们应该使用 REF 坐标来描述．此时，度规变为

$$
\mathrm{d} s^2=-\Delta \mathrm{d} \tilde{v}^2-2 \mathrm{~d} \widetilde{v} \mathrm{~d} r+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

在此坐标下，粒子外向运动的 4 －速度为

$$
\begin{aligned}
& \dot{r}_{\text {out }}=\left(u_0^2-\Delta\right)^{1 / 2} \\
& \dot{\widetilde{v}}_{\text {out }}=\frac{u_0-\left(u_0^2-\Delta\right)^{1 / 2}}{\Delta}
\end{aligned}
$$

在视界处，我们有

$$
\dot{\tilde{v}}_{\text {out }} \approx\left(2 u_0\right)^{-1},
$$

它总是有限的．也就是说，粒子由内向外穿过视界并没有奇异性．如前所述，对于 REF坐标，它描述的是实际上是一个白洞．

因此，对于 RN 时空而言，不同的渐近平直区域是通过黑洞隧道（black hole tunnel）相连的，粒子可以从一个渐近平直区域进人黑洞，然后再出来而进人另一个渐近平直区域．注意这里粒子无法抵达黑洞奇点并非来自粒子具有角动量而具有离心势，而是来自时空本身的性质，或者说时空引力场的不同．我们可以说，在内视界内，引力表现为一种排斥力，这个排斥力最终导致了黑洞隧道的产生．黑洞隧道在 RN 时空中的存在是毋庸置疑的，但这并不意味着我们就可以通过这个隧道进人另一个渐近平直区域，或者说另一个宇宙．仔细的研究发现，这个隧道是不稳定的，其存在非常强地依赖于静态和球对称性，黑洞内部一点很小的扰动就会让隧道消失 ${ }^{[56]}$ 。

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