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带电球对称黑洞

9.5 带电球对称黑洞

在本节中，我们将学习史瓦西黑洞的一个带电推广，即赖斯纳－努德斯特伦 （Reissner－Nordström）时空．它是爱因斯坦－麦克斯韦理论的球对称解，某些方面与史瓦西时空类似，但呈现出一些新的特点，如黑洞的视界不止一个、存在类时的奇点、时空的最大延拓具有无穷多个区域等。

9．5．1 赖斯纳—努德斯特伦时空
在电动力学中，我们知道如果电荷是球对称分布的，则其能动张量也是球对称的．这启发我们寻找带电球对称星体外的时空解．此时，我们需要同时考虑引力与电磁相互作用．对于电磁相互作用，场强张量 $F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$ ，即我们可以利用微分形式而不必借助任何仿射联络来定义电磁场强，因此 $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$ 是一个很好的标量。理论的完整作用量除包含通常的爱因斯坦—希尔伯特项以外，还包含麦克斯韦作用量

$$
S=\frac{1}{16 \pi G_D} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g}\left(R-\frac{g_0^2}{4 \pi} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right)
$$

对度规变分可以得到引力的爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G_D g_0^2 T_{\mu \nu}^{(\mathrm{F})}
$$

其中

$$
T_{\mu \nu}^{(\mathrm{F})}=\frac{1}{4 \pi}\left(F_{\mu \rho} F_\nu^\rho-\frac{1}{4} g_{\mu \nu} F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}\right),
$$

而规范场的运动方程为

$$
\nabla_\mu F^{\mu \nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} F^{\mu \nu}\right)=0
$$
我们希望找到 4 维球对称静态解，具有基灵矢量 $\partial_t$ 和 $\partial_\phi$ ．类似于史瓦西解的讨论，我们可以假设保持球对称性的度规为

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{2 \alpha(r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

保持球对称的规范场强可拟设为 ${ }^{(7)}$

$$
\widehat{F}_2=F_{t r}(r) \mathrm{d} t \wedge \mathrm{~d} r+F_{\theta \phi}(\theta) \mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{~d} \phi,
$$

满足 $\mathrm{d} \widehat{F}_2=0$ ．我们先来处理规范场的运动方程．有很多种方式来求解 $\nabla_\mu F^{\mu \nu}=0$ ，这里我们利用外微分的技术来讨论．利用霍奇对偶，无源运动方程可以写作 $\mathrm{d} * \widehat{F}=0$ ．场强的霍奇对偶是

$$
(* F)_{\mu \nu}=\frac{1}{2} \varepsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} F^{\lambda \sigma}=\frac{\sqrt{-g}}{2} \tilde{\varepsilon}_{\mu \nu \lambda \sigma} g^{\lambda \alpha} g^{\sigma \beta} F

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