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带电球对称黑洞

9.5 带电球对称黑洞

在本节中，我们将学习史瓦西黑洞的一个带电推广，即赖斯纳－努德斯特伦 （Reissner－Nordström）时空．它是爱因斯坦－麦克斯韦理论的球对称解，某些方面与史瓦西时空类似，但呈现出一些新的特点，如黑洞的视界不止一个、存在类时的奇点、时空的最大延拓具有无穷多个区域等。

9．5．1 赖斯纳—努德斯特伦时空
在电动力学中，我们知道如果电荷是球对称分布的，则其能动张量也是球对称的．这启发我们寻找带电球对称星体外的时空解．此时，我们需要同时考虑引力与电磁相互作用．对于电磁相互作用，场强张量 $F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$ ，即我们可以利用微分形式而不必借助任何仿射联络来定义电磁场强，因此 $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$ 是一个很好的标量。理论的完整作用量除包含通常的爱因斯坦—希尔伯特项以外，还包含麦克斯韦作用量

$$
S=\frac{1}{16 \pi G_D} \int \mathrm{~d}^D x \sqrt{-g}\left(R-\frac{g_0^2}{4 \pi} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right)
$$

对度规变分可以得到引力的爱因斯坦方程

$$
R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R=8 \pi G_D g_0^2 T_{\mu \nu}^{(\mathrm{F})}
$$

其中

$$
T_{\mu \nu}^{(\mathrm{F})}=\frac{1}{4 \pi}\left(F_{\mu \rho} F_\nu^\rho-\frac{1}{4} g_{\mu \nu} F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}\right),
$$

而规范场的运动方程为

$$
\nabla_\mu F^{\mu \nu}=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu\left(\sqrt{-g} F^{\mu \nu}\right)=0
$$
我们希望找到 4 维球对称静态解，具有基灵矢量 $\partial_t$ 和 $\partial_\phi$ ．类似于史瓦西解的讨论，我们可以假设保持球对称性的度规为

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{2 \alpha(r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

保持球对称的规范场强可拟设为 ${ }^{(7)}$

$$
\widehat{F}_2=F_{t r}(r) \mathrm{d} t \wedge \mathrm{~d} r+F_{\theta \phi}(\theta) \mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{~d} \phi,
$$

满足 $\mathrm{d} \widehat{F}_2=0$ ．我们先来处理规范场的运动方程．有很多种方式来求解 $\nabla_\mu F^{\mu \nu}=0$ ，这里我们利用外微分的技术来讨论．利用霍奇对偶，无源运动方程可以写作 $\mathrm{d} * \widehat{F}=0$ ．场强的霍奇对偶是

$$
(* F)_{\mu \nu}=\frac{1}{2} \varepsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} F^{\lambda \sigma}=\frac{\sqrt{-g}}{2} \tilde{\varepsilon}_{\mu \nu \lambda \sigma} g^{\lambda \alpha} g^{\sigma \beta} F_{\alpha \beta} .
$$

利用度规的拟设形式，我们有

$$
\begin{aligned}
(* F)_{t r} & =\tilde{\varepsilon}_{t r \theta \phi}\left(\mathrm{e}^{\alpha+\beta} r^2 \sin \theta\right) \frac{1}{r^2} \frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} F_{\theta \phi} \\
& =\frac{\mathrm{e}^{\alpha+\beta}}{r^2 \sin \theta} F_{\theta \phi}(\theta), \\
(* F)_{\theta \phi} & =-\tilde{\varepsilon}_{\theta \phi t r}\left(\mathrm{e}^{\alpha+\beta} r^2 \sin \theta\right) \mathrm{e}^{-2 \alpha} \mathrm{e}^{-2 \beta} F_{t r} \\
& =-\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)} r^2 \sin \theta F_{t r},
\end{aligned}
$$

换句话说，
$$
* \widehat{F}=-\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)} r^2 \sin \theta F_{t r} \mathrm{~d} \theta \wedge \mathrm{~d} \phi+\frac{\mathrm{e}^{\alpha+\beta}}{r^2 \sin \theta} F_{\theta \phi}(\theta) \mathrm{d} t \wedge \mathrm{~d} r
$$

因此

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d}(* \widehat{F})= & -\partial_r\left(\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)} r^2 F_{t r}\right) \sin \theta \mathrm{d} r \wedge \mathrm{~d} \theta \wedge \mathrm{~d} \phi \\
& +\partial_\theta\left((\sin \theta)^{-1} F_{\theta \phi}(\theta)\right) r^{-2} \mathrm{e}^{\alpha+\beta} \mathrm{d} \theta \wedge \mathrm{~d} t \wedge \mathrm{~d} r .
\end{aligned}
$$

而 $\mathrm{d} * \widehat{F}=0$ 要求

$$
\partial_r\left(\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)} r^2 F_{t r}\right)=0, \quad \partial_\theta\left((\sin \theta)^{-1} F_{\theta \phi}(\theta)\right)=0
$$

它们的解为

$$
\mathrm{e}^{-(\alpha+\beta)} r^2 F_{t r}(r)=\text { 常数, } \quad(\sin \theta)^{-1} F_{\theta \phi}(\theta)=\text { 常数, }
$$
即

$$
F_{t r}(r)=\frac{Q}{4 \pi g_0} \frac{\mathrm{e}^{\alpha+\beta}}{r^2}, \quad F_{\theta \phi}=\frac{P}{4 \pi g_0} \sin \theta,
$$

其中 $Q$ 和 $P$ 分别是电荷和磁荷．
进一步地，我们可以求解爱因斯坦方程，发现 $\alpha+\beta=0$ ．类似于史瓦西解的讨论，我们可以求解所有的爱因斯坦方程．最终，我们得到赖斯纳－努德斯特伦解（简记为 RN 解）：

$$
\mathrm{d} s_{\mathrm{RN}}^2=-\Delta(r) \mathrm{d} t^2+\Delta^{-1}(r) \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega_2^2,
$$

其中

$$
\Delta(r)=1-\frac{2 \mu}{r}+\frac{Q^2+P^2}{r^2} .
$$

如果我们把这个解当作带电恒星塌缩形成的黑洞，则这个黑洞具有视界

$$
\begin{aligned}
& \Delta=0 \\
\Rightarrow & r^2-(2 \mu) r+\left(Q^2+P^2\right)=0 \\
\Rightarrow & r_{ \pm}=\mu \pm \sqrt{\mu^2-\left(Q^2+P^2\right)} .
\end{aligned}
$$

此时，我们实际上有两个视界 $r_{ \pm}$．当两个视界重合时，我们得到极端黑洞的解

$$
r_{+}=r_{-}=\mu=\sqrt{Q^2+P^2}
$$

RN 解具有如下性质：
（1）渐近平直．$F_{t r}$ 是点电荷 $Q$ 的电场，而 $F_{\theta \phi}$ 是点磁荷 $P$ 的磁场．它们给出的能动张量在无穷远处都为零。从解的具体形式很容易看出电磁场的贡献衰减得比质量项更快，因此 RN 解渐近地趋于平直闵氏时空。
（2）当电荷和磁荷都为零，即 $Q=0=P$ 时，解约化为史瓦西解．
（3）RN 解拥有和史瓦西解相同的时空对称性，在外视界 $r_{+}$外，具有一个类时的基灵矢量，也具有球对称性．实际上，在外视界 $r_{+}$外，它是静态的．
（4）类似于史瓦西解，RN 解具有唯一性，它是爱因斯坦－麦克斯韦理论的唯一球对称解．

从解的具体数学形式上看，$(M, Q, P)$ 的任何取值都是允许的，然而，物理上却并非如此．为了讨论简单起见，我们令磁荷为零而只考虑带电的 RN 时空．我们先来讨论 $Q^2>\mu^2$ 的情形．在这种情况下，度规分量

$$
g_{00}=-\left(g_{11}\right)^{-1}=\Delta(r)=\Sigma / r^2
$$

其中 $\Sigma=r^2-2 \mu r+Q^2$ ．在此情形下，二次型 $\Sigma$ 的不定式是 $\mu^2-Q^2<0$ ，因此 $\Sigma>0$ ，也就是说，度规除了 $r=0$ 外没有奇点．所以，坐标 $t$ 总是类时的，而坐标 $r$ 总是类空的，没有坐标奇点．但 $r=0$ 仍是一个内禀奇点，实际上 $R_4=R^{\mu \nu \sigma \rho} R_{\mu \nu \sigma \rho}$ 在 $r=0$ 处发散．在这种情况下，没有事件视界，而 $r=0$ 处的奇点是一个裸奇点，即没有视界把它遮住．通过测地线的分析可以得知这个奇点具有排斥性：类时测地线无法与 $r=0$相交，它们可以接近奇点然后被排斥转向离开它．当 $r \rightarrow \infty$ 时，解是渐近平直的，因此因果结构在任何地方都具有通常平直时空的形式．然而，裸奇点的存在挑战了宇宙监督法则．实际上，我们无法期待一个通过引力塌缩形成的黑洞满足 $\mu^2<Q^2$ ．如果是这样的话，黑洞的总质量小于电磁场的能量．换句话说，携带电荷或者磁荷的物质必须具有负能量才能使这个不等式满足。这当然是非物理的。因此，满足 $Q^2>\mu^2$ 的解被认为是非物理的．

下面我们只讨论物理的 RN 黑洞．如果 $Q^2<\mu^2$ ，则我们有两个视界 $r_{ \pm}=\mu \pm \sqrt{\mu^2-Q^2}$ ．此时，度规可以分为三个区域：
（1）区域 I：$r_{+}<r<\infty$ ；
（2）区域 II：$r_{-}<r<r_{+}$；
（3）区域 III： $0<r<r_{-}$．
它在 $r_{ \pm}$处有坐标奇点．$r=r_{+}$类似于史瓦西黑洞时的史瓦西视界 $r=R_{\mathrm{s}}$ ，在其外，时空是渐近平直的．在 I 和 III 区，$t$ 是类时坐标，$r$ 是类空坐标，因此时空流形在这两个区域是静态的．而在 II 区，$t$ 是类空坐标，$r$ 是类时坐标，因此这个区域内的时空是动力学的．
我们如果讨论这个时空中的类光测地线，如史瓦西时空的情形，可以选择乌龟坐标，则光子的轨迹如图9．14所示．对于沿径向内向的零测地线，轨迹是沿 $45^{\circ}$ 的直线，而在此坐标下外向的零测地线则是曲线．从光锥结构很容易看出 $r=r_{+}$是一个事件视界．光锥在 II 区倾斜，表明粒子在此区域中总是向内运动直到内视界 $r=r_{-}$．而粒子一旦进人 III 区，光锥不再倾斜，粒子不必落到奇点上．这个时空图某种意义上会造成误解：这个图显示 III 区中外向粒子只能渐近地到达内视界上，而无法超越它，然而通过对 RN 解的解析延拓显示，粒子可以在有限的固有时中穿过 $r=r_{-}$．

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