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星体内部的球对称几何

9.4 星体内部的球对称几何

我们前面仔细讨论的史瓦西时空是真空爱因斯坦方程的解，它可以描述恒星塌缩形成的球对称黑洞，也可以描述在球对称星体外面的时空几何．在本节中我们介绍球对称星体内部的时空几何。此时，星体内部不再是真空，存在物质．这些物质具有能动张量，会改变时空的几何．时空几何的度规仍可以假设为球对称的，即

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{2 \alpha(r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

我们需要求解有能动张量的爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu}$ ．对于以上度规，相应的爱因斯坦张量为

$$
\begin{aligned}
G_{t t} & =\frac{\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}}{r^2}\left(2 r \partial_r \beta-1+\mathrm{e}^{2 \beta}\right) \\
G_{r r} & =\frac{1}{r^2}\left(2 r \partial_r \alpha+1-\mathrm{e}^{2 \beta}\right) \\
G_{\theta \theta} & =r^2 \mathrm{e}^{-2 \beta}\left(\partial_r^2 \alpha+\left(\partial_r \alpha\right)^2-\partial_r \alpha \partial_r \beta-\frac{1}{r} \partial_r(\alpha-\beta)\right) \\
G_{\phi \phi} & =\sin ^2 \theta G_{\theta \theta}
\end{aligned}
$$
物质可以很好地近似为理想流体，其能动张量为

$$
T_{\mu \nu}=(\rho+p) u_\mu u_\nu+p g_{\mu \nu},
$$

其中 $u_\mu$ 是流体共动参考系的4－速度，而 $\rho(r)$ 和 $p(r)$ 分别是这个参考系中的固有能量密度和各向同性压强．由于球对称性，$\rho(r)$ 和 $p(r)$ 只是 $r$ 的函数．一个有趣的问题是所有的物质形态是否都可以导致球对称的解，球对称解是否对物质的物态方程有所限制？实际上，从爱因斯坦方程知道，由于 $G_{t i}=0$ ，我们必须有 $u_i u_0=0$ ．另一方面，由 4－速度的归一化条件 $u_\mu u^\mu=-1, u_0$ 不能为零，所以 $u_i \equiv 0$ ，因此物质的 4 －速度为 $u_\mu=\left(\mathrm{e}^\alpha, 0,0,0\right)$ ．换句话说，物质对于无穷远观测者而言是没有运动的．因此，流体的能动张量为

$$
\begin{array}{ll}
T_{t t}=\mathrm{e}^{2 \alpha} \rho, & T_{r r}=\mathrm{e}^{2 \beta} p \\
T_{\theta \theta}=r^2 p, & T_{\phi \phi}=\left(r^2 \sin ^2 \theta\right) p
\end{array}
$$

而爱因斯坦方程变为

$$
\begin{aligned}
& 8 \pi G \rho(r)=\frac{\mathrm{e}^{-2 \beta}}{r^2}\left(2 r \partial_r \beta-1+\mathrm{e}^{2 \beta}\right), \\
& 8 \pi G p(r)=\frac{\mathrm{e}^{-2 \beta}}{r^2}\left(2 r \partial_r \alpha+1-\mathrm{e}^{2 \beta}\right), \\
& 8 \pi G p(r)=\mathrm{e}^{-2 \beta}\left(\partial_r^2 \alpha+\left(\partial_r \alpha\right)^2-\partial_r \alpha \partial_r \beta-\frac{1}{r} \partial_r(\alpha-\beta)\right) .
\end{aligned}
$$

定义

$$
\mathrm{e}^{2 \beta}=\left(1-\frac{2 G m(r)}{r}\right)^{-1},
$$

则这组方程的 $(t t)$ 分量给出

$$
\frac{\mathrm{d} m(r)}{\mathrm{d} r}=4 \pi r^2 \rho(r),
$$

积分后会给出质量函数 $m(r)$ ．然而这个质量函数并非只是物质质量密度的积分．首先注意到在上述弯曲时空中固有空间体积元是

$$
\sqrt{\gamma} \mathrm{d}^3 x=\mathrm{e}^\beta r^2 \sin \theta \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \phi
$$

所以，固有体积元积分＂质量＂是

$$
\bar{M}=\int_0^R\left(1-\frac{2 G m\left(r^{\prime}\right)}{r^{\prime}}\right)^{-1 / 2} 4 \pi\left(r^{\prime}\right)^2 \mathrm{~d} r^{\prime} \rho\left(r^{\prime}\right)
$$

但另一方面，$m(r)$ 出

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