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星体内部的球对称几何

9.4 星体内部的球对称几何

我们前面仔细讨论的史瓦西时空是真空爱因斯坦方程的解，它可以描述恒星塌缩形成的球对称黑洞，也可以描述在球对称星体外面的时空几何．在本节中我们介绍球对称星体内部的时空几何。此时，星体内部不再是真空，存在物质．这些物质具有能动张量，会改变时空的几何．时空几何的度规仍可以假设为球对称的，即

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{e}^{2 \alpha(r)} \mathrm{d} t^2+\mathrm{e}^{2 \beta(r)} \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

我们需要求解有能动张量的爱因斯坦方程 $G_{\mu \nu}=8 \pi G T_{\mu \nu}$ ．对于以上度规，相应的爱因斯坦张量为

$$
\begin{aligned}
G_{t t} & =\frac{\mathrm{e}^{2(\alpha-\beta)}}{r^2}\left(2 r \partial_r \beta-1+\mathrm{e}^{2 \beta}\right) \\
G_{r r} & =\frac{1}{r^2}\left(2 r \partial_r \alpha+1-\mathrm{e}^{2 \beta}\right) \\
G_{\theta \theta} & =r^2 \mathrm{e}^{-2 \beta}\left(\partial_r^2 \alpha+\left(\partial_r \alpha\right)^2-\partial_r \alpha \partial_r \beta-\frac{1}{r} \partial_r(\alpha-\beta)\right) \\
G_{\phi \phi} & =\sin ^2 \theta G_{\theta \theta}
\end{aligned}
$$
物质可以很好地近似为理想流体，其能动张量为

$$
T_{\mu \nu}=(\rho+p) u_\mu u_\nu+p g_{\mu \nu},
$$

其中 $u_\mu$ 是流体共动参考系的4－速度，而 $\rho(r)$ 和 $p(r)$ 分别是这个参考系中的固有能量密度和各向同性压强．由于球对称性，$\rho(r)$ 和 $p(r)$ 只是 $r$ 的函数．一个有趣的问题是所有的物质形态是否都可以导致球对称的解，球对称解是否对物质的物态方程有所限制？实际上，从爱因斯坦方程知道，由于 $G_{t i}=0$ ，我们必须有 $u_i u_0=0$ ．另一方面，由 4－速度的归一化条件 $u_\mu u^\mu=-1, u_0$ 不能为零，所以 $u_i \equiv 0$ ，因此物质的 4 －速度为 $u_\mu=\left(\mathrm{e}^\alpha, 0,0,0\right)$ ．换句话说，物质对于无穷远观测者而言是没有运动的．因此，流体的能动张量为

$$
\begin{array}{ll}
T_{t t}=\mathrm{e}^{2 \alpha} \rho, & T_{r r}=\mathrm{e}^{2 \beta} p \\
T_{\theta \theta}=r^2 p, & T_{\phi \phi}=\left(r^2 \sin ^2 \theta\right) p
\end{array}
$$

而爱因斯坦方程变为

$$
\begin{aligned}
& 8 \pi G \rho(r)=\frac{\mathrm{e}^{-2 \beta}}{r^2}\left(2 r \partial_r \beta-1+\mathrm{e}^{2 \beta}\right), \\
& 8 \pi G p(r)=\frac{\mathrm{e}^{-2 \beta}}{r^2}\left(2 r \partial_r \alpha+1-\mathrm{e}^{2 \beta}\right), \\
& 8 \pi G p(r)=\mathrm{e}^{-2 \beta}\left(\partial_r^2 \alpha+\left(\partial_r \alpha\right)^2-\partial_r \alpha \partial_r \beta-\frac{1}{r} \partial_r(\alpha-\beta)\right) .
\end{aligned}
$$

定义

$$
\mathrm{e}^{2 \beta}=\left(1-\frac{2 G m(r)}{r}\right)^{-1},
$$

则这组方程的 $(t t)$ 分量给出

$$
\frac{\mathrm{d} m(r)}{\mathrm{d} r}=4 \pi r^2 \rho(r),
$$

积分后会给出质量函数 $m(r)$ ．然而这个质量函数并非只是物质质量密度的积分．首先注意到在上述弯曲时空中固有空间体积元是

$$
\sqrt{\gamma} \mathrm{d}^3 x=\mathrm{e}^\beta r^2 \sin \theta \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} \phi
$$

所以，固有体积元积分＂质量＂是

$$
\bar{M}=\int_0^R\left(1-\frac{2 G m\left(r^{\prime}\right)}{r^{\prime}}\right)^{-1 / 2} 4 \pi\left(r^{\prime}\right)^2 \mathrm{~d} r^{\prime} \rho\left(r^{\prime}\right)
$$

但另一方面，$m(r)$ 出现在度规中，该度规在星体表面应该与星体外的史瓦西度规连续．而在史瓦西度规中，有星体的总质量 $M$ ，所以我们在度规中必须使用质量函数

$$
m(r)=4 \pi \int_0^r r^2 \rho\left(r^{\prime}\right) \mathrm{d} r^{\prime}, \quad m(R)=M
$$

$m(r)$ 可看作在半径 $r$ 内的总质量（能量），它与史瓦西时空的 ADM 质量 $M$ 在星体表面一致。而前面给出的固有质量与 $M$ 不同，实际上 $\bar{M}-M=E_{\text {binding }}>0$ ．能量差是把星体中所有物质发送到无穷远所需要的能量．有时把 $\bar{M}$ 称为＂裸质量＂．在上面的讨论中，在星体外的任何地方 $m(r)=M$ ，即为遥远观测者看到的星体质量．对于牛顿力学中的星体，＂在半径 $r$ 内的质量＂有唯一的意义：$m(r)$ 就是这个质量，我们不必考虑时空的弯曲．而对于相对论中的星体，

$$
m(r)=m_0(r)+U(r)+\Omega(r),
$$

其中 $m_0(r)$ 是静止质量能量，$U(r)$ 是内能，$\Omega(r)$ 是引力势能．更准确地说，由固有体积，我们得到在半径 $r$ 内的总静止质量

$$
m_0=\int_0^r \mu_0 n \sqrt{\gamma} \mathrm{~d}^3 x=\int_0^r\left(1-\frac{2 G m\left(r^{\prime}\right)}{r^{\prime}}\right)^{-1 / 2} 4 \pi\left(r^{\prime}\right)^2 \mu_0 n \mathrm{~d} r^{\prime}
$$

其中 $\mu_0 n$ 是给出静止质量的内能。比如说对于尘埃，$\mu_0$ 是单个粒子的质量，而 $n$ 是粒子数密度．内能为 $U(r)=\int_0^r\left(\rho-\mu_0 n\right) \sqrt{\gamma} \mathrm{d}^3 x$ ，来自组成物质的粒子之间的相互作用．引力势即束缚能

$$
\begin{aligned}
\Omega & =-\int_0^r \rho\left(\left(1-\frac{2 G m\left(r^{\prime}\right)}{r^{\prime}}\right)^{-1 / 2}-1\right) 4 \pi\left(r^{\prime}\right)^2 \mathrm{~d} r^{\prime} \\
& \approx-G \int_0^r\left(\rho m\left(r^{\prime}\right) / r^{\prime}\right) 4 \pi\left(r^{\prime}\right)^2 \mathrm{~d} r^{\prime} \quad(G m(r) / r \ll 1)
\end{aligned}
$$

我们可以考虑一个理想化的情形，即星体是由重子构成，重子的数密度为 $n(r)$ ，而星体的重子数为

$$
B=\int_0^R 4 \pi r^2\left(1-\frac{2 G m(r)}{r}\right)^{-1 / 2} n(r) \mathrm{d} r
$$

如果单个重子的质量为 $m_{\mathrm{N}}$ ，则星体的总质量为 $\bar{M}=m_{\mathrm{N}} B$ ．假定重子数密度为常数，能量密度也就是常数，因此

$$
m(r)=\frac{4 \pi}{3} \rho_* r^3
$$

所以

$$
\begin{aligned}
B & =4 \pi n \int_0^R\left(1-A r^2\right)^{-1 / 2} r^2 \mathrm{~d} r \\
& =\frac{4 \pi n R^3}{3} f(x)
\end{aligned}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
A & =\frac{8 \pi G \rho_*}{3 c^2} \\
f(x) & =\frac{3}{2} \frac{\sin ^{-1} x-x \sqrt{1-x^2}}{x^3}, \quad x=R \sqrt{A}
\end{aligned}
$$

对于普通的星体，$x \ll 1$ ，所以近似有

$$
f(x) \approx 1+\frac{3}{5} \frac{G M}{R}+\cdots
$$

由此，有

$$
\bar{M}=m_{\mathrm{N}} B=\frac{4 \pi \rho_*}{3} R^3 f(x)=M f(x)
$$

而

$$
\Delta M=\bar{M}-M=M(f(x)-1)=\frac{3}{5} \frac{G M^2}{R c^2}
$$
而

$$
\Delta M=\bar{M}-M=M(f(x)-1)=\frac{3}{5} \frac{G M^2}{R c^2}
$$

正是牛顿近似下的引力束缚能。
由爱因斯坦方程的（rr）分量得到

$$
\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{~d} r}=\frac{G m(r)+4 \pi G r^3 p(r)}{r^2(1-2 G m(r) / r)},
$$

积分后给出 $g_{t t}$ ．然而，在这个方程中包含了 $p(r)$ ，因此我们需要考虑能动张量满足的方程 $\nabla_\mu T^{\mu \nu}=0$ ．由此得到

$$
\begin{aligned}
& (p+\rho) \frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{~d} r}=-\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} r} \\
\Rightarrow & \frac{\mathrm{~d} p}{\mathrm{~d} r}=-\frac{(\rho(r)+p(r))\left[G m(r)+4 \pi G r^3 p(r)\right]}{r(r-2 G m(r))} .
\end{aligned}
$$

方程（9．87）和（9．102）统称托尔曼－奥本海默－沃尔科夫（Tolman－Oppenheimer－Volkoff）方程，简记为 TOV 方程，也称为静流体（hydrostatic）平衡态方程．方程（9．87）告诉我们，在合适的边界条件下，$m(r)$ 由 $\rho(r)$ 确定，而方程（9．102）把 $p(r)$ 和 $\rho(r)$ 相联系。也许大家会疑惑为何不需要爱因斯坦方程的 $(\theta \theta)$ 和 $(\phi \phi)$ 分量．首先，这两个分量方程是互相依赖的，只有一个独立．其次，我们已经用到了能动量守恒方程，这两个方程不再需要。

方程（9．102）的左边是压强梯度差．在星体表面 $p=0$ ，由于 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} r}<0$ ，压强随着径向增加而单调下降．随着半径减小，压强逐渐增大，这是由于越靠近中心，外层物质的重量都压在其上，中心感受的压强也越来越大．此外，能量密度越大，这个梯度差越大，反映了要抗衡引力，越靠近中心压强增长越快．而令人惊奇的是，不止能量密度，压强本身也会影响到压强梯度差，压强越大，梯度差越大．这与牛顿引力理论形成了鲜明的对比．在牛顿引力中，压强没有引力效应，而在广义相对论中并非如此．我们可以考虑非相对论极限，此时 $r \gg R_{\mathrm{s}}, \rho \gg p$ ，我们发现

$$
\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} r}=-\frac{4 \pi G}{3} \rho^2 r .
$$

这正是牛顿引力下的结果：压强梯度差与压强无关而只与能量密度有关．
为了求解这组 TOV 方程，我们必须加上物态方程条件 $p(\rho)$ 。对很多天体物理系统，物质满足形如 $p=K \rho^\gamma$ 的物态方程，其中 $K$ 和 $\gamma=1+\frac{1}{n}$ 都是常数，$n$ 是多方 （polytropic）指标．这样的话，TOV 方程是两个互相耦合的一阶微分方程．如果加上合适的边界条件，我们就可以完全确定时空几何以及物质能量密度和压强的变化．为了得到唯一确定的解，我们需要两个边界条件：
（1）$m(0)=0$ 和 $m(R)=M$ ；
（2）$p(R)=0$ ．
由此得到的中心压强 $p(r=0)=p_{\mathrm{c}}$ 定义了星体模型．给定一个物态方程，所有的球对称星体模型的集合构成了一个单参数序列，参数即中心密度．我们可以通过数值计算来求解方程，得到莱恩一埃姆登（Lane－Emden）解。

我们可以考虑一个理想化的可解模型．假设在星体内部的密度为常数：

$$
\rho(r)= \begin{cases}\rho_*, & r \leqslant R, \\ 0, & r>R .\end{cases}
$$

这个假设并没有真实的物理对应，应该对应于一个极端坚硬的物态—不可压缩流体。此时，流体的声速

$$
c_{\mathrm{s}}=\left(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} \rho}\right)^{1 / 2}
$$

是无穷大，是超光速的，不被相对论所允许．然而，致密中子星内部可以近似看作单一密度的．对这个模型，质量函数为

$$
m(r)= \begin{cases}\frac{4}{3} \pi r^3 \rho_*, & r \leqslant R, \\ \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_* \equiv M, & r>R,\end{cases}
$$

而另一个 TOV 方程变为

$$
\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} r}=-\frac{4}{3} \pi r \frac{\left(\rho_*+p\right)\left(\rho_*+3 p\right)}{1-8 \pi r^2 \rho_* / 3},
$$

由此得

$$
\frac{\rho_*+3 p}{\rho_*+p}=\frac{\rho_*+3 p_c}{\rho_*+p_c}\left(1-\frac{2 \mu}{r}\right)^{1 / 2} .
$$

由 $p(r=R)=0$ ，我们发现中心压强为

$$
p_{\mathrm{c}}=\rho_* \frac{1-\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2}}{3\left(1-R_{\mathrm{s}} / R\right)^{1 / 2}-1} .
$$

从上面的关系可见，对于固定质量的星体，当它的半径 $R$ 接近于 $9 R_{\mathrm{s}} / 8$ 时，$p_{\mathrm{c}} \rightarrow \infty$ ．等价地，如果恒星的半径固定，则它有一个最大质量 $M_{\max }=\frac{4 R}{9 G}$ ，对应的中心压强为无穷大。当恒星质量更大时，无法保持平衡，会塌缩成黑洞。

对于常密度模型，我们最终发现星体内部时空的度规为

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(\frac{3}{2}\left(1-A R^2\right)^{1 / 2}-\frac{1}{2}\left(1-A r^2\right)^{1 / 2}\right)^2 \mathrm{~d} t^2+\frac{\mathrm{d} r^2}{1-A r^2}+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

其中 $R$ 是星体的半径，而

$$
A=\frac{2 G M}{R^3} .
$$

易见，这个度规在星体表面与星体外部的史瓦西时空一致．
在上面讨论的常密度模型中，我们发现当恒星质量 $M>M_{\max }=\frac{4 R}{9 G}$ 时，中心压强发散，意味着恒星无法稳定．实际上，我们有一个更强有力的定理，无论物态方程是什么都成立。

布奇达尔（Buchdahl）定理 不存在半径小于 $\frac{9 G M}{4}$ 的恒星。
这个定理对固定半径恒星的质量设了上限．假如我们有一个半径为 $\frac{9 G M}{4}$ 的恒星，那么球对称地给予它一点向内的力，则它将没有悬念地向内塌缩．或者说，固定半径时
稍微多加一点质量将破坏流体静态平衡，导致塌缩．最终，我们将得到一个史瓦西黑洞．这个极限很容易达到：对于密度约为 $10^{16} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3}$ 的中子星，质量 $M<7 \times 10^{31} \mathrm{~kg}$ ，或者近似地小于 35 个太阳质量。这是我们星系中大部分恒星拥有的质量．

另一个可解的恒星模型具有物态方程 $\rho=12\left(p_* p\right)^{1 / 2}-5 p$ ，其中 $p_*$ 是常数。它可以保持因果性，只需要 $c_{\mathrm{s}}=\sqrt{\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} \rho}}<1$ ．这实际上要求 $p<p_*$ 或者 $\rho<7 p_*$ ．对压强比较小的情形，$\rho=12 \sqrt{p_* p}$ ．这对应于牛顿系统中的 $n=1$ 幂次模型．

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