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黑洞的形成

9.3 黑洞的形成

在本节中，我们简要地介绍通过恒星塌缩形成黑洞的基本物理过程。简单地说，恒星的演化过程如下。

一颗恒星是通过气体与辐射压强的混合来与自身引力达到平衡的．辐射压强来自轻核到重核聚变产生的辐射。当恒星逐渐地辐射能量时，其核心部分开始收缩。这种收缩挤压并加热了核心部分，当温度足够高时会点燃下一次核聚变，即从氢到氦再到碳、氧等元素。而恒星的外层其实扩大了，恒星变成了红巨星（red giant）．核聚变的过程会继续：碳 → 氧 → 硅 → 铁．铁元素是所有原子核中最稳定的，聚变发生到铁元素时就无法继续下去，恒星的内核开始冷却并由于自身的引力而收缩．恒星的命运接下来取决于以下几个要素：质量、角动量和磁场．

当恒星的所有核燃料都燃烧殆尽，如果其质量约等于太阳质量且转动较慢，恒星将塌缩成一种高密度的物质状态 —白矮星．对于太阳，我们预计它在 50 亿年后最终塌缩成半径约为 5000 km 、密度约为 $10^9 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ 的白矮星．早在 1915 年，白矮星就被发现．当时它是作为一颗非常明亮的恒星——天狼星（Sirius）的伴星被发现的，被命名为 Sirius B． 1927 年，物理学家福勒（Fowler）意识到白矮星是由于电子简并压与引力相平衡而形成的。即使恒星具有更高的质量，但由于强大的恒星风也可能带走质量，若质量损失比较大，恒星仍有可能变成白矮星。另一种可能是，核聚变反应非常激烈，核心部分变得非常不稳定，从而导致超新星爆发，这样也可能损失掉很多能量，改变恒星的最终命运。此外，由于角动量守恒，恒星塌缩中转动变得非常重要。转动原则上可以提高恒星形成白矮星的质量上限．但是磁场的存在会把一部分角动量从核心转移到恒星的其他部分，由此可以得到一个更加球对称的塌缩。

1930 年，未满 20 岁的印度年轻人钱德拉塞卡（Chandrasekhar）在去英国留学的长途旅行中有了一个大胆的想法：如果一颗白矮星的质量更重，其密度更高，引力场更强，则电子简并压可能无法抵抗引力的挤压，使白矮星不稳定而进一步塌缩．接下来的几年，他通过仔细研究，发现了白矮星能够稳定存在的质量上限是 $M_{\mathrm{c}}=1.4 M_{\odot}$ ，这个临界质量称为钱德拉塞卡极限。如果白矮星质量大于 $M_{\mathrm{c}}$ ，引力将压倒电子简并压而使白矮星进一步塌缩，形成中子星．中子星的形成来自中子简并压与引力的平衡，这是由于反 $\beta$ 衰变：

$$
\mathrm{e}^{-}+\mathrm{p} \rightarrow \mathrm{n}+\mathrm{v}_{\mathrm{e}}
$$

电子与质子作用形成中子和中微子，中微子逃逸后，大量中子会有简并压．由于中子的简并压比电子要强得多，如果中子星不是特别重的话可以抵抗引力的挤压．中子星质量约为太阳质量，$M \sim M_{\odot}$ ，其半径约为 30 km ，密度约为 $10^{16} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ，相对论效应已经非常明显了．超新星爆发后可能会留下快速旋转的中子星，具有非常稳定的辐射脉冲，称为脉冲星。

如果恒星的质量更大，中子星也无法保持稳定．中子星的最大质量是在 $3 M_{\odot} \sim$

$4 M_{\odot}$ ，称为奥本海默－沃尔科夫（Oppenheimer－Volkoff）极限．如果恒星质量超过这个值，它们将继续塌缩，形成黑洞．如果塌缩是球对称的，形成的黑洞是史瓦西黑洞．但问题是：塌缩过程稳定吗？是否可能在塌缩中存在小的非对称扰动被放大从而破坏事件视界的形成？在 20 世纪60年代，彭罗斯利用拓扑学的工具证明了＂奇点＂定理．奇点定理告诉我们，在现实的情形下，如果一个闭的捕获面形成，则在这个面里面必然形成奇点，无论扰动是否是对称的．奇点定理的证明提供了强有力的证据，显示黑洞在自然界中可以通过恒星塌缩形成。

在一种理想状态下，我们假设恒星有一致的密度且内部压强为零，比如说完全由理想流体中的尘埃构成．在不存在压力梯度的情况下，在恒星外层表面的粒子将简单地沿径向测地线向内运动．初始时，我们假定这个质量层在足够远的地方，不妨设为无穷远处静止．等价地，我们也可以假定塌缩开始于一个有限半径 $r=r_0$ 处，但有一个向内的初速度．对于不同的稳态观测者而言，看到的塌缩图像是不同的：
（1）第一个观测者在恒星表面，随着恒星塌缩直到 $r=0$ ．
（2）第二个观测者在无穷远处或者足够远处．
如图 9.13 所示，对于第二个观测者而言，他看到的恒星表面一直没有穿过视界

![图片](/uploads/2025-12/10c129.jpg)
 
 $r=R_{\mathrm{s}}$ ．他接收到的从恒星表面发出的光子被红移，恒星表面越接近视界 $R_{\mathrm{s}}$ ，红移因子越大，$z \rightarrow \infty$ ．因此，他看到恒星越来越暗，直到亮度变成零．简而言之，无穷远观测者看到塌缩慢下来，恒星的状态接近于一个半径为 $R_{\mathrm{s}}$ 的近平衡物体，最终恒星完全暗下来，无法看到．

我们可以把上面的图像定量化．假设在恒星表面的粒子在 $\left(t_{\mathrm{E}}, r_{\mathrm{E}}\right)$ 处发射一个沿径向向外的光子，该光子被在 $\left(t_{\mathrm{R}}, r_{\mathrm{R}}\right)$ 处的观测者接收到．对一个自由下落的发射器，当它接近视界时，

$$
r_{\mathrm{E}}\left(t_{\mathrm{E}}\right) \approx R_{\mathrm{s}}+a \exp \left(-\frac{t_{\mathrm{E}}}{R_{\mathrm{s}}}\right),
$$

其中 $a$ 是依赖于 $M$ 的一个正的常数，其具体表达式并不重要．由于 $a$ 是正的，所以看起来要到达视界，需要无穷长坐标时．另一方面，恒星亮度的变化与时间尺度 $R_{\mathrm{s}} / c$ 有关，即恒星塌缩到视界附近时，亮度很快变暗．所以说，对任何近似自由落体的塌缩而言，其接近黑洞的过程是非常快的．我们可以计算红移因子．发射光子和接收光子的频率之比为

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\frac{u_{\mathrm{R}}^\mu p_\mu(\mathrm{R})}{u_{\mathrm{E}}^\mu p_\mu(\mathrm{E})} .
$$

对于自由下落的发射器，其 4－速度为

$$
u_{\mathrm{E}}^\mu=\left[\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1},-\left(\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{1 / 2}, 0,0\right],
$$

而对于足够远的稳态接收器，其 4－速度近似为

$$
u_{\mathrm{R}}^\mu=(1,0,0,0),
$$

则

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\frac{p_0(\mathrm{R})}{u_{\mathrm{E}}^0 p_0(\mathrm{E})+u_{\mathrm{E}}^1 p_1(\mathrm{E})}=\left(u_{\mathrm{E}}^0+\frac{p_1(\mathrm{E})}{p_0(\mathrm{E})} u_{\mathrm{E}}^1\right)^{-1}
$$

由于光子 4 －动量是零矢量，我们有

$$
p_1=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} p_0
$$

所以

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}}=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{E}}}\right)\left(1+\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{E}}}}\right)^{-1}=1-\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r_{\mathrm{E}}}}
$$

当 $r_{\mathrm{E}} \rightarrow R_{\mathrm{s}}$ 时，$v_{\mathrm{R}} \rightarrow 0$ ：

$$
\frac{\nu_{\mathrm{R}}}{\nu_{\mathrm{E}}} \approx \frac{r_{\mathrm{E}}-R_{\mathrm{s}}}{2 R_{\mathrm{s}}} \propto \exp \left(-\frac{t_{\mathrm{R}}}{2 R_{\mathrm{s}}}\right)
$$

对于无穷远观测者而言，恒星的亮度正比于 $\exp \left(-\frac{t_{\mathrm{R}}}{R_{\mathrm{s}}}\right)$ ，指数衰减．关键点在于指数因子，它告诉我们恒星塌缩变黑的特征时间是 $2 R_{\mathrm{s}} / c$ ．由于

$$
\frac{\mu}{c^3}=5 \times 10^{-6}\left(\frac{M}{M_{\odot}}\right) \mathrm{s}
$$

这个时间对于天体物理的时间尺度来说是非常小的．也就是说，对于外部观测者而言恒星很快变黑。

对于恒星表面的观测者，越过视界没有任何问题．当他越过视界时，他向外发射的光子信号并不能向径向坐标 $r$ 增大的方向运动，恰恰相反，不管这个信号如何发射，都是趋于 $r=0$ ．这是由于在视界内，$r$ 变成了类时坐标，其减小的方向正是指向未来的方向。因此，恒星一旦越过视界，其向奇点的塌缩就无法避免。此时，无论密度有多高，或者有其他形式的压强存在，都无法阻止它塌缩到奇点上，密度变为无穷大．即使恒星的塌缩在视界内不再是球对称的，其塌缩到奇点的命运也无法摆脱。

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