最后更新: 2025-12-17 21:27 查看: 10 次纠错评论(0) 课件开VIP

克鲁斯卡尔流形中的时间平移对称性

9．2．2 克鲁斯卡尔流形中的时间平移对称性
从史瓦西解中可见 $\partial_t$ 是时空的基灵矢量．也就是说，时间平移 $t \rightarrow t+c$ 是一个时空的对称性．这个平移对称性在克鲁斯卡尔坐标下表现为

$$
u^{\prime} \rightarrow \mathrm{e}^{c / 4 \mu} u^{\prime}, \quad v^{\prime} \rightarrow \mathrm{e}^{-c / 4 \mu} v^{\prime},
$$

它是整个最大延拓史瓦西时空的对称性．其无穷小的变换给出

$$
\delta u^{\prime}=\frac{c}{4 \mu} u^{\prime}, \quad \delta v^{\prime}=-\frac{c}{4 \mu} v^{\prime},
$$

因此，这个基灵矢量的生成元在克鲁斯卡尔坐标下是

$$
\widehat{k}=\frac{1}{4 \mu}\left(u^{\prime} \frac{\partial}{\partial u^{\prime}}-v^{\prime} \frac{\partial}{\partial v^{\prime}}\right) .
$$

在 I 区中，这个基灵矢量可以通过坐标变换由史瓦西度规下的基灵矢量 $\partial_t$ 得到，但现在这个基灵矢量是在整个流形上定义的。它具有如下性质：
（1）$\widehat{k}^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \Rightarrow \begin{cases}\text { 类时的，在 } \mathrm{I} \text { 和 } \mathrm{I}^{\prime}, \\ \text { 类空的，在 } \mathrm{II} \text { 和 } \mathrm{I}^{\prime}, \\ \text { 零的，在视界上，即 }\left\{u^{\prime}=0\right\} \cup\left\{v^{\prime}=0\right\} .\end{cases}$
（2）$\left\{u^{\prime}=0\right\}$ 和 $\left\{v^{\prime}=0\right\}$ 都是基灵矢量 $\widehat{k}$ 的固定点集，

$$
\begin{aligned}
& \left\{u^{\prime}=0\right\}, \widehat{k}=\partial / \partial \tilde{v} \\
& \left\{v^{\prime}=0\right\}, \widehat{k}=\partial / \partial \tilde{u}
\end{aligned}
$$

其中 $\tilde{v}, \tilde{u}$ 是爱丁顿－芬克斯坦零坐标．在 $\left\{u^{\prime}=0\right\}$ 上，$\tilde{v}$ 是自然的群参数，$\widehat{k}$ 的轨道对应于 $-\infty<\tilde{v}<\infty$ ．同样，在 $\left\{v^{\prime}=0\right\}$ 上，$\tilde{u}$ 是自然的群参数，$\widehat{k}$ 的轨道对应于 $-\infty<\tilde{u}<\infty$ ．
（3）在博耶尔－克鲁斯卡尔（Boyer－Kruskal）轴（BK 轴）上 $\left\{u^{\prime}=v^{\prime}=0\right\}$（一个二维球面）的每一个点都是 $\widehat{k}$ 的固定点．$\widehat{k}$ 的固定点如图 9.12 所示．

![图片](/uploads/2025-12/f876d9.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：虫洞

下一篇：黑洞的形成

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)