最后更新: 2025-12-17 21:26 查看: 12 次纠错评论(0) 课件开VIP

虫洞

9．2．1 虫洞
在 $(u, v)$ 坐标中，考虑一个类空超曲面 $v=0(t=0)$ 的几何．这个超曲面从 $u=\infty$延伸到 $u=-\infty$ ．此超曲面的线元为

$$
\mathrm{d} s^2=\frac{32 \mu^3}{r} \exp \left(-\frac{r}{2 \mu}\right) \mathrm{d} u^2+r^2\left(\mathrm{~d} \theta^2+\sin ^2 \theta^2 \mathrm{~d} \phi^2\right) .
$$

为了更好地看清这个超曲面的几何，我们先固定在赤道面 $\theta=\pi / 2$ 上，这样的话

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} s^2 & =\frac{32 \mu^3}{r} \exp \left(-\frac{r}{2 \mu}\right) \mathrm{d} u^2+r^2 \mathrm{~d} \phi^2 \\
& =\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \phi^2
\end{aligned}
$$

最后一步中我们用到了 $r$ 的函数关系．此时 $v=0$ ，而当 $u=\infty$ 到 $u=-\infty$ 时，$r$ 逐渐变小，一直到最小值 $r=R_{\mathrm{s}}$ ，然后逐渐增大．如果把这个二维的超曲面嵌人三维欧氏空间中，其几何图像就清楚了．在柱坐标下三维欧氏空间的度规为

$$
\mathrm{d} s^2=\mathrm{d} z^2+\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \phi^2
$$

如果

$$
\left(\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} r}\right)^2+1=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1}
$$

则诱导度规正好是上面超曲面的度规．这要求

$$
z=\sqrt{4 R_{\mathrm{s}}\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)}+\text { 常数. }
$$

这样我们就可以清楚地看到超曲面的几何，如图9．9所示．这个几何称为爱因斯坦－罗森（Einstein－Rosen）桥，或者史瓦西喉、史瓦西虫洞．从图9．9中可以看到，$t=0$ 的超曲面实际上是一座桥或者＂虫洞＂，把两个不同的渐近平直区域连接起来．注意 $r>R_{\mathrm{s}}$ ，所以这个虫洞最窄的地方半径只有史瓦西半径。此外讨论中我们忽略了一个角方向，实际上对固定的 $r$ 或者 $u$ ，虫洞是一个二维的球面，而非一个圆．

![图片](/uploads/2025-12/e68bfc.jpg)
 
 更一般地，我们可以考虑任意 $t=$ 常数的曲面的几何．此时，我们需要引进所谓的各向同性坐标 $(t, \rho, \theta, \phi)$ ，其中新的径向坐标 $\rho$ 可以如下定义：

$$
r=\left(1+\frac{\mu}{2 \rho}\right)^2 \rho .
$$

这样的话，我们有

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(\frac{1-\frac{\mu}{2 \rho}}{1+\frac{\mu}{2 \rho}}\right)^2 \mathrm{~d} t^2+\left(1+\frac{\mu}{2 \rho}\right)^4[\underbrace{\mathrm{~d} \rho^2+\rho^2 \mathrm{~d} \Omega^2}_{\text {平直 } 3 \text { 维空间的度规 }}] .
$$

在各向同性的坐标中，$t=$ 常数的三维空间是共形平直的．对于一个固定的 $t$ ，有两个对应的 $\rho$ 值，且这两个值在变换 $\rho \rightarrow(\mu)^2 /(4 \rho)$ 下交换，而固定点在 $\rho=\mu / 2$ 。这个变换对应于克鲁斯卡尔坐标中的变换 $\left(u^{\prime}, v^{\prime}\right) \rightarrow\left(-u^{\prime},-v^{\prime}\right)$ 。各向同性坐标只能覆盖克鲁斯卡尔时空中的 I 和 $\mathrm{I}^{\prime}$ 区，它在 $r<R_{\mathrm{s}}$ 区域并非很好定义的，如图 9.10 所示．

![图片](/uploads/2025-12/fd0479.jpg)
 
 虫洞的结构实际上是动力学的．史瓦西时空几何并非静态的，在 II 和 $\mathrm{II}^{\prime}$ 区 $t$ 是类空的，而 $r$ 是类时的．刚才的讨论固定在 $t=0$ ．如果我们把史瓦西时空用取不同常数值的 $v$ 来切片，每一个如图 9．11（a）所示的切片对应的虫洞变化如图 9．11（b）所示．
 
  ![图片](/uploads/2025-12/cfdada.jpg)
  
  因此，我们得到了如下图像：史瓦西时空几何确实描述两个渐近平直时空区域，它们通过虫洞相连，虫洞打开又很快地关闭．联通区域是二维的球面．更准确地说，在 $v=-1$ 时虫洞打开变大，在 $v=0$ 时，虫洞最宽，而在 $v=1$ 时，虫洞关闭．虫洞的关闭非常快，不足以让任何类时观测者从一个渐近平直区域进人另一个区域．

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