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最大延拓史瓦西时空

9.2 最大延拓史瓦西时空

前面对坐标的讨论显示史瓦西时空存在不同的区域，不同的坐标适用的时空区域不同，史瓦西坐标描述 $R_{\mathrm{s}}<r<\infty$ 的区域，AEF 和 REF 坐标都描述 $0<r<\infty$ 的区域，但属于不同的区域．一个有趣的问题是完整的史瓦西时空流形是什么．我们从如下定义出发．

定义 一个流形称为最大的（maximal），如果从这个流形上任意一点出来的任意测地线要么在两个方向上都可以无限延长，要么终止于内禀奇点上．对于第一种情形，流形称为测地完备的。

对于史瓦西时空而言，无论是史瓦西坐标还是爱丁顿－芬克斯坦坐标，其中测地线的延长都不是最大的．比如说，对于爱丁顿－芬克斯坦坐标而言，要么是下落的内向测地线，要么是外向的测地线是很好定义的，但无法做到两者都是很好定义的．那么是否存在一个坐标，在其中内向和外向的零测地线都是很好定义的？或者说，史瓦西解的最大解析延拓是什么？回答是肯定的．这样的坐标称为克鲁斯卡尔（Kruskal）坐标，或者克鲁斯卡尔－塞凯赖什（Kruskal－Szekeres）坐标．通过它，我们可以发现史瓦西时空的完整结构。

作为第一步，我们先来试试同时使用描述内向和外向零曲线的 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$ 坐标．这使我们得到史瓦西解的度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\frac{1}{2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)(\mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}+\mathrm{d} \tilde{v} \mathrm{~d} \tilde{u})+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2,
$$

其中 $r$ 是 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$ 的函数，

$$
\frac{1}{2}(\tilde{u}-\tilde{v})=r+R_{\mathrm{s}} \ln \left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)
$$

对于 $\theta=$ 常数，$\phi=$ 常数，有

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}
$$

引进坐标

$$
\tilde{t}=\frac{1}{2}(\tilde{u}+\tilde{v}), \quad \tilde{x}=\frac{1}{2}(\tilde{u}-\tilde{v}),
$$

上面的度规（9．45）变为

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(\mathrm{d

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