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最大延拓史瓦西时空

9.2 最大延拓史瓦西时空

前面对坐标的讨论显示史瓦西时空存在不同的区域，不同的坐标适用的时空区域不同，史瓦西坐标描述 $R_{\mathrm{s}}<r<\infty$ 的区域，AEF 和 REF 坐标都描述 $0<r<\infty$ 的区域，但属于不同的区域．一个有趣的问题是完整的史瓦西时空流形是什么．我们从如下定义出发．

定义 一个流形称为最大的（maximal），如果从这个流形上任意一点出来的任意测地线要么在两个方向上都可以无限延长，要么终止于内禀奇点上．对于第一种情形，流形称为测地完备的。

对于史瓦西时空而言，无论是史瓦西坐标还是爱丁顿－芬克斯坦坐标，其中测地线的延长都不是最大的．比如说，对于爱丁顿－芬克斯坦坐标而言，要么是下落的内向测地线，要么是外向的测地线是很好定义的，但无法做到两者都是很好定义的．那么是否存在一个坐标，在其中内向和外向的零测地线都是很好定义的？或者说，史瓦西解的最大解析延拓是什么？回答是肯定的．这样的坐标称为克鲁斯卡尔（Kruskal）坐标，或者克鲁斯卡尔－塞凯赖什（Kruskal－Szekeres）坐标．通过它，我们可以发现史瓦西时空的完整结构。

作为第一步，我们先来试试同时使用描述内向和外向零曲线的 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$ 坐标．这使我们得到史瓦西解的度规

$$
\mathrm{d} s^2=-\frac{1}{2}\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)(\mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}+\mathrm{d} \tilde{v} \mathrm{~d} \tilde{u})+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2,
$$

其中 $r$ 是 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$ 的函数，

$$
\frac{1}{2}(\tilde{u}-\tilde{v})=r+R_{\mathrm{s}} \ln \left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)
$$

对于 $\theta=$ 常数，$\phi=$ 常数，有

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}
$$

引进坐标

$$
\tilde{t}=\frac{1}{2}(\tilde{u}+\tilde{v}), \quad \tilde{x}=\frac{1}{2}(\tilde{u}-\tilde{v}),
$$

上面的度规（9．45）变为

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(\mathrm{d} \tilde{t}^2-\mathrm{d} \tilde{x}^2\right)
$$
显然，它是共形平直的 ${ }^{(5)}$ ．对于一个共形平直的度规，它的光锥结构与平直时空里的一样．

进一步地，我们引进坐标

$$
\begin{aligned}
u^{\prime} & =\mathrm{e}^{\tilde{u} / 4 \mu} \\
v^{\prime} & =-\mathrm{e}^{-\tilde{v} / 4 \mu}
\end{aligned}
$$

它们与原来的史瓦西坐标间通过如下坐标变换联系：

$$
\begin{aligned}
u^{\prime} & =\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{(r+t) / 4 \mu} \\
v^{\prime} & =-\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{(r-t) / 4 \mu}
\end{aligned}
$$

利用 $\left(u^{\prime}, v^{\prime}, \theta, \phi\right)$ ，史瓦西解变为

$$
\mathrm{d} s^2=-\frac{16 \mu^3}{r} \mathrm{e}^{-r / 2 \mu}\left(\mathrm{~d} u^{\prime} \mathrm{d} v^{\prime}+\mathrm{d} v^{\prime} \mathrm{d} u^{\prime}\right)+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

在这个度规中，事件视界 $R_{\mathrm{s}}$ 不是奇异的．这里定义的 $\left(u^{\prime}, v^{\prime}\right)$ 是零坐标，我们可以把它们换成通常的时间和空间坐标：

$$
\begin{aligned}
& u=\frac{1}{2}\left(u^{\prime}-v^{\prime}\right)=\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{r / 4 \mu} \cosh (t / 4 \mu), \\
& v=\frac{1}{2}\left(u^{\prime}+v^{\prime}\right)=\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{r / 4 \mu} \sinh (t / 4 \mu),
\end{aligned}
$$

由此得到

$$
\mathrm{d} s^2=\frac{32 \mu^3}{r} \mathrm{e}^{-r / 2 \mu}\left(-\mathrm{d} v^2+\mathrm{d} u^2\right)+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2,
$$

其中 $r$ 由下式定义：

$$
\left(u^2-v^2\right)=\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right) \mathrm{e}^{r / R_{\mathrm{s}}} .
$$

坐标 $(v, u, \theta, \phi)$ 即克鲁斯卡尔坐标，或者说克鲁斯卡尔－塞凯赖什坐标．在这组坐标下，度规没有奇点，而且对于固定的 $(\theta, \phi)$ ，度规是共形平直的．

在克鲁斯卡尔坐标下，我们可以清楚地看到时空的整体性质。首先，对于径向零曲线，它们的形式如平直时空，

$$
v= \pm u+\text { 常数, }
$$

也就是说在克鲁斯卡尔坐标下光锥与闵氏时空中的一样，取对角的形式．在整个时空流形上，$v$ 坐标总是一个类时坐标，$u$ 坐标总是一个类空坐标．因此，其中的类时曲线的切矢量与 $v$ 轴的夹角小于 $45^{\circ}$ ，而类空曲线的切矢量与 $v$ 轴的夹角大于 $45^{\circ}$ ．其次，事件视界并不在无穷远，而是在

$$
v= \pm u
$$

它确实是一个零曲面．而 $r=$ 常数的曲面由如下方程描述：

$$
u^2-v^2=\text { 常数, }
$$

即它们是 $u-v$ 平面上的一些双曲线，而在整个时空上需要考虑另外两个角方向，因此变为超曲面．在视界外，这些超曲面的法向余矢是类空的，因此超曲面是类时的，而在视界内，超曲面的法向是类时的，曲面是类空的．因此时空奇点 $r=0$ 是一个类空奇点．此外，由于史瓦西时空定义在 $r \geqslant 0$ 的区域 ${ }^{(6)}$ ，因此并非 $u-v$ 平面上的所有区域都属于史瓦西时空．实际上史瓦西时空只在 $-\infty \leqslant u \leqslant \infty$ 且 $v^2<u^2+1$ 的区域中，即在 $r=0$ 的两个双曲线之间．我们把由克鲁斯卡尔坐标描述的最大延拓史瓦西时空称为克鲁斯卡尔时空．对于 $t=$ 常数的曲面，

$$
\frac{v}{u}=\tanh (t / 4 \mu)
$$

是一些 $u-v$ 平面上穿过原点的直线，斜率为 $\tanh (t / 4 \mu)$ ．从这些讨论中我们得到克鲁斯卡尔图 9．8．从这张图中，我们可以很容易地读出：
（1）$r=0$ 对应于两个双曲线：过去奇点和未来奇点．
（2）未来奇点是类空的，因此无法避免，即指向未来的信号必然与之相交．
（3）一个径向类时测地线穿过事件视界最终落到未来奇点 $r=0$ 上。
（4）在未来奇点所属的区域 $r<R_{\mathrm{s}}$ 中，信号被局限住了．无论发射光子信号，还是有质量粒子，它们的世界线无一例外地无法穿过视界，最终只能落到奇点上．
（5）$r=R_{\mathrm{s}}$ 渐近地把时空分作四个区域．I 和 II 区可以由 AEF 坐标描述，其中 I区是视界外的渐近平直区域，可以由史瓦西坐标描述，而 II 区是视界内的黑洞区域。同理， I 和 $\mathrm{I}^{\prime}$ 区由 REF 坐标描述，其中 $\mathrm{I}^{\prime}$ 区对应白洞解．在 $\mathrm{II}^{\prime}$ 区中有一个过去奇点，从那里时空诞生．$I^{\prime}$ 区是一个之前我们没有碰到的区域，它是另一个渐近平直的区域。同时，$I^{\prime}$ 区无法从 I 区通过无论向前或者向后的类时曲线相连．即我们没有办法到达另一个渐近平直区域．然而，我们可以通过＂虫洞＂与之相联系．

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