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潘勒韦坐标和引潮力

9．1．2 潘勒韦坐标和引潮力

在上面的讨论中我们利用了无质量粒子的径向运动常数来定义坐标系，很好地描述了无质量粒子的测地运动。我们同样可以利用有质量粒子的径向运动来引进坐标系，从而对这些粒子的运动有更好的理解。假定有质量粒子是从无穷远静止释放，其4－速 度为

$$
u^\mu=\left(\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1},-\sqrt{R_{\mathrm{s}} / r}, 0,0\right),
$$

其下指标的分量为

$$
u_\mu=\left(-1,-\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \sqrt{R_{\mathrm{s}} / r}, 0,0\right) \text {, }
$$

我们可以引进一个新的函数

$$
T=t+\int^r\left(1-R_{\mathrm{s}} / r^{\prime}\right)^{-1} \sqrt{R_{\mathrm{s}} / r^{\prime}} \mathrm{d} r^{\prime}
$$

易见，如果我们取 $T=$ 常数的超曲面，$u_\mu=\partial_\mu T$（考虑合适的定向）．因此，我们可以取 $T$ 作为时间坐标，$T=$ 常数这个超曲面的法矢量正好是有质量粒子的 4－速度．也就是说，对于有质量粒子而言，它的时间方向由 $T$ 给出．由这个函数的定义，我们知道

$$
\mathrm{d} T=\mathrm{d} t+\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \sqrt{R_{\mathrm{s}} / r} \mathrm{~d} r,
$$

所以，度规变为

$$
\mathrm{d} s^2=-\mathrm{d} T^2+\left(\mathrm{d} r+\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}} \mathrm{~d} T\right)^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$
$(T, r, \theta, \phi)$ 称为潘勒韦坐标．上面的度规即是在潘勒韦坐标下史瓦西时空的度规形式．使用此度规的好处在于 $\mathrm{d} T$ 总是一个类时的 1 形式，代表着 $T$ 可以作为时间坐标．这个度规的不方便之处在于它并非对角的 ${ }^{(4)}$ ．

对于讨论史瓦西时空的引潮力，使用潘勒韦坐标是方便的．从度规的形式易见，我们可以定义标架场

$$
\hat{\theta}^0=\mathrm{d} T, \quad \hat{\theta}^1=\mathrm{d} r+\sqrt{\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}} \mathrm{~d} T, \quad \hat{\theta}^2=r \mathrm{~d} \theta, \quad \hat{\theta}^3=r \sin \theta \mathrm{~d} \phi
$$

这个标架场相当于局部观测者的参考系

$$
\mathrm{d} s^2=\eta_{m n} \theta^m \theta^n, \quad m, n=0,1,2,3
$$

由 $\widehat{\theta}^m=e_\mu^m \mathrm{~d} x^\mu$ ，我们可以得到变换矩阵 $e_\mu^m$ ：

$$
\begin{aligned}
e_t^0=1, & e_r^0=\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \sqrt{R_{\mathrm{s}} / r} \\
e_t^1=\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}, & e_r^1=\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \\
e_\theta^2=r, & e_\phi^3=r \sin \theta
\end{aligned}
$$
由这些变换矩阵的逆，我们可以从史瓦西坐标下的黎曼张量得到潘勒韦坐标下的黎曼张量

$$
R_{m n p q}=e_m^\mu e_n^\nu e_p^\rho e_q^\sigma R_{\mu \nu \rho \sigma}
$$

而史瓦西时空中非零的黎曼张量分量为

$$
\begin{gathered}
R_{t r t r}=-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r^3}, \quad R_{t \theta t \theta}=\frac{R_{\mathrm{s}}\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)}{2 r^2}, \\
R_{t \phi t \phi}=\frac{R_{\mathrm{s}}\left(r-R_{\mathrm{s}}\right) \sin ^2 \theta}{2 r^2}, \quad R_{r \theta r \theta}=-\frac{R_{\mathrm{s}}}{2\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)}, \\
R_{r \phi r \phi}=-\frac{R_{\mathrm{s}} \sin ^2 \theta}{2\left(r-R_{\mathrm{s}}\right)}, \quad R_{\theta \phi \theta \phi}=r \sin ^2 \theta R_{\mathrm{s}},
\end{gathered}
$$

由此得到

$$
\begin{aligned}
R_{0101}=-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r^3}, & R_{0202}=\frac{R_{\mathrm{s}}}{2 r^3} \\
R_{2323}=\frac{R_{\mathrm{s}}}{r^3}, & R_{1212}=R_{1313}=-\frac{R_{\mathrm{s}}}{2 r^3}
\end{aligned}
$$

如果我们考虑一族测地线，则有测地偏离方程

$$
\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^\mu=R_{\nu \lambda \sigma}^\mu u^\nu u^\lambda \eta^\sigma .
$$

相对于自由下落观测者本身的局部参考系，我们有

$$
\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^m=R_{00 n}^m \eta^n,
$$
也就是说对于下落的观测者而言，有

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^1=\frac{R_{\mathrm{s}}}{r^3} \eta^1 \\
& \frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^2=-\frac{R_{\mathrm{s}}}{2 r^3} \eta^2 \\
& \frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} \eta^3=-\frac{R_{\mathrm{s}}}{2 r^3} \eta^3
\end{aligned}
$$

其中 $\eta^1$ 代表相对于粒子的径向方向，而 $\eta^2, \eta^3$ 是相对于粒子的横向方向．方程右边如果是正号，意味着是拉伸力，所以沿径向方向是拉伸的．方程右边如果是负号，意味着是挤压。而力与 $1 / r^3$ 成正比正是四维引潮力的典型标志。因此，我们得到以下图像：引潮力在径向方向是拉伸作用，在横向方向是挤压作用．越接近黑洞，引潮力越强．但是在视界处引潮力并没有什么特殊，也没有发散出现．而且如果黑洞越重，视界越大，在视界处的引潮力反而越小。对于超大质量的黑洞来说，一个航天员如果穿过视界，在身体的拉伸挤压方面感觉不到什么异常．然而，在奇点 $r=0$ 处，引潮力是无穷大，因此无论什么物体在接近黑洞奇点时都会被撕裂．

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