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爱丁顿—芬克斯坦坐标

9．1．1 爱丁顿—芬克斯坦坐标
从上面的讨论可知，在描述史瓦西黑洞时空时，史瓦西坐标有其局限性，并不能准确地描述粒子的运动状态和时空的因果结构．如前所述，时空流形独立存在，本身不依赖坐标卡的选择。为了更好地描述史瓦西时空，我们可以选择其他坐标系。为了便于了解粒子的运动，我们可以选择不同粒子的世界线族来描述时空。一般而言，可以选择有质量粒子的世界线族，但这样得到的坐标比较复杂，不利于讨论．一个常用的坐标系是利用无质量粒子径向运动的世界线族。对于无质量粒子，其径向运动满足

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2=0
$$

这给出

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r}= \pm \frac{1}{1-R_{\mathrm{s}} / r}
$$

由此定义一个新的径向坐标，它满足

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r_*}= \pm 1 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} r_*}{\mathrm{~d} r}=\frac{1}{1-R_{\mathrm{s}} / r}
$$

即

$$
r_*=r+R_{\mathrm{s}} \ln \left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)
$$

称为乌龟坐标．由此定义可见，这个坐标对于 $r>R_{\mathrm{s}}$ 是很好定义的，但取值从 $-\infty$ 到 $\infty$ ．实际上，这个定义可以解析延拓到视界内 $r<R_{\mathrm{s}}$ 处．利用乌龟坐标，

$$
\mathrm{d} s^2=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(-\mathrm{d} t^2+\mathrm{d} r_*^2\right)+r^2\left(r_*\right) \mathrm{d} \Omega^2
$$
此时，度规分量没有发散，光锥在视界处似乎并没有关闭，代价是视界 $r=R_{\mathrm{s}}$ 被推到了无穷远．无质量粒子的径向运动可以由曲线族 $t= \pm r_*+c$ 描述．不同取值的 $c$ 代表不同的曲线，可以当作坐标，正负号分别代表向外和向内运动．由此定义，

$$
\tilde{u}=t+r_*, \quad \tilde{v}=t-r_*,
$$

所以 $\tilde{u}=$ 常数代表向内零径向运动，而 $\tilde{v}=$ 常数代表向外零径向运动。
利用坐标 $r, \tilde{u}$ ，史瓦西时空的度规可写作

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} \tilde{u}^2+(\mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} r+\mathrm{d} r \mathrm{~d} \tilde{u})+r^2 \mathrm

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