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爱丁顿—芬克斯坦坐标

9．1．1 爱丁顿—芬克斯坦坐标
从上面的讨论可知，在描述史瓦西黑洞时空时，史瓦西坐标有其局限性，并不能准确地描述粒子的运动状态和时空的因果结构．如前所述，时空流形独立存在，本身不依赖坐标卡的选择。为了更好地描述史瓦西时空，我们可以选择其他坐标系。为了便于了解粒子的运动，我们可以选择不同粒子的世界线族来描述时空。一般而言，可以选择有质量粒子的世界线族，但这样得到的坐标比较复杂，不利于讨论．一个常用的坐标系是利用无质量粒子径向运动的世界线族。对于无质量粒子，其径向运动满足

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2=0
$$

这给出

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r}= \pm \frac{1}{1-R_{\mathrm{s}} / r}
$$

由此定义一个新的径向坐标，它满足

$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r_*}= \pm 1 \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} r_*}{\mathrm{~d} r}=\frac{1}{1-R_{\mathrm{s}} / r}
$$

即

$$
r_*=r+R_{\mathrm{s}} \ln \left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right)
$$

称为乌龟坐标．由此定义可见，这个坐标对于 $r>R_{\mathrm{s}}$ 是很好定义的，但取值从 $-\infty$ 到 $\infty$ ．实际上，这个定义可以解析延拓到视界内 $r<R_{\mathrm{s}}$ 处．利用乌龟坐标，

$$
\mathrm{d} s^2=\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)\left(-\mathrm{d} t^2+\mathrm{d} r_*^2\right)+r^2\left(r_*\right) \mathrm{d} \Omega^2
$$
此时，度规分量没有发散，光锥在视界处似乎并没有关闭，代价是视界 $r=R_{\mathrm{s}}$ 被推到了无穷远．无质量粒子的径向运动可以由曲线族 $t= \pm r_*+c$ 描述．不同取值的 $c$ 代表不同的曲线，可以当作坐标，正负号分别代表向外和向内运动．由此定义，

$$
\tilde{u}=t+r_*, \quad \tilde{v}=t-r_*,
$$

所以 $\tilde{u}=$ 常数代表向内零径向运动，而 $\tilde{v}=$ 常数代表向外零径向运动。
利用坐标 $r, \tilde{u}$ ，史瓦西时空的度规可写作

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} \tilde{u}^2+(\mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} r+\mathrm{d} r \mathrm{~d} \tilde{u})+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2 .
$$

这样一组坐标称为超前爱丁顿－芬克斯坦（advanced Eddington－Finkelstein，简记为 AEF）坐标或者内向爱丁顿－芬克斯坦坐标 ${ }^{(3)}$ 。由 $g=-r^4 \sin ^2 \theta$ ，度规是非退化的．而径向零曲线为

$$
\frac{\mathrm{d} \tilde{u}}{\mathrm{~d} r}= \begin{cases}0 & \text { (内向) }, \\ 2\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} & (\text { 外向 }) .\end{cases}
$$

所以，内向的零曲线由 $\tilde{u}=$ 常数来刻画，而外向的零曲线由

$$
\tilde{u}=2 r+2 R_{\mathrm{s}} \ln \left|\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right|+\text { 常数 }
$$

来刻画．在 AEF 坐标中，光锥即使在视界 $r=R_{\mathrm{s}}$ 处仍然是很好定义的，而视界也在有限的坐标值上。因此，无质量粒子或者有质量粒子穿过视界没有任何问题。有趣的是，光锥在进人视界后会发生偏转，使所有指向未来的路径都是沿 $r$ 减小的方向，如图 9.4所示。对于下落的粒子，$r=R_{\mathrm{s}}$ 是一个事件视界：由于没有任何信息可以逃出事件视界，视界外的观测者无法看到视界内．也就是说，在视界内 $r \leqslant R_{\mathrm{s}}$ 中的事件无法影响视界外 $r>R_{\mathrm{s}}$ 的事件。更准确地说，$r=R_{\mathrm{s}}$ 即是事件视界，也是基灵视界。

我们可以引进时间坐标

$$
t^{\prime} \equiv \tilde{u}-r=t+R_{\mathrm{s}} \ln \left|\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right|
$$

坐标（ $t^{\prime}, r, \theta, \phi$ ）也称为超前爱丁顿－芬克斯坦坐标，在这组坐标下度规为

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} t^{\prime 2}+\frac{2 R_{\mathrm{s}}}{r} \mathrm{~d} t^{\prime} \mathrm{d} r+\left(1+\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

![图片](/uploads/2025-12/70bbbf.jpg)
 
 易见，这个坐标在视界处并不奇异．实际上，为了消除史瓦西坐标在视界处的奇异性，我们已经引进了一个奇异的坐标变换 $r \rightarrow r_*$ 。但是在视界外，$r>R_{\mathrm{s}}$ ，这个坐标变换却是非奇异的，这保证了上述度规仍然是真空爱因斯坦方程的解，而且在视界外描述相同的时空区域．然而，由于在新的坐标下 $0<r<\infty$ ，我们可以描述视界内的物理．

在此坐标下，内向和外向的光子世界线为

$$
\begin{gathered}
t^{\prime}=-r+\text { 常数 } \quad(\text { 内向 }), \\
t^{\prime}=r+2 R_{\mathrm{s}} \ln \left|\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right|+\text { 常数 } \quad(\text { 外向 }) .
\end{gathered}
$$

因此，在 AEF 坐标下史瓦西时空的芬克斯坦图如 9.5 所示．由图 9.5 可见，内向下落光子的轨迹在史瓦西半径处是连续的，但是光锥结构在史瓦西半径处发生了变化，一旦你进入了这个半径，你的未来总是指向奇点处．在半径内 II 区发射的光子或者粒子是没有办法跑到半径外 I 区的．也就是说，史瓦西半径实际上对于外部观测者而言是一个视界。

在 AEF 坐标下，度规在时间反演 $t^{\prime} \rightarrow-t^{\prime}$ 下并非不变的．也就是说，时间反演对称性丢失了．从数学上讲，史瓦西解在时间反演下仍然是爱因斯坦方程的解．换句话说，AEF 坐标不能覆盖整个时空流形。我们可以利用另一个外向的零径向曲线族来描述时空流形，即利用 $\tilde{v}$ 而非 $\tilde{u}$ ．这样的话，时空度规为
$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} \tilde{v}^2-(\mathrm{d} \tilde{v} \mathrm{~d} r+\mathrm{d} r \mathrm{~d} \tilde{v})+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

进一步地，我们引进

$$
t^*=\tilde{v}+r,
$$

这样一组坐标 $\left(t^*, r, \theta, \phi\right)$ 称为推迟爱丁顿－芬克斯坦（retarded Eddington－Finkelstein，

![图片](/uploads/2025-12/78b1fa.jpg)
 
 简记为 REF）坐标或者外向爱丁顿－芬克斯坦坐标．零径向曲线满足

$$
\frac{\mathrm{d} \tilde{v}}{\mathrm{~d} r}= \begin{cases}0 & (\text { 外向 }), \\ -2\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} & (\text { 内向 }) .\end{cases}
$$

在 REF 坐标下，外向和内向的零径向曲线分别为

$$
\begin{gathered}
t^*=r+\text { 常数 } \quad(\text { 外向 }), \\
t^*=-r-2 R_{\mathrm{s}} \ln \left|\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right|+\text { 常数 } \quad(\text { 内向 }) .
\end{gathered}
$$

易见外向光子的世界线在史瓦西半径处是连续的，而内向的却是不连续的．因此，REF坐标可以很好地描述从 $r=0$ 发射穿过视界 $r=R_{\mathrm{s}}$ 的粒子，但对下落粒子的描述是病态的．实际上，它描述的是一个＂白洞＂，即粒子、物质等从视界内＂无中生有＂地冒出来．这样一个过程可以看作黑洞形成的时间反演．在此坐标下的光锥图为图9．6，而芬克斯坦图为图 9．7．

综上所述，我们可以自洽地沿着未来指向或者过去指向的路径穿过视界，但会到达不同的时空区域。因此我们把时空沿着不同的两个方向延伸，一个到未来，另一个到过去．原来的史瓦西坐标只描述了时空的一部分，即 $r>R_{\mathrm{s}}$ 的部分．AEF 坐标描述了

![图片](/uploads/2025-12/0121e3.jpg)
 
 黑洞的部分，而 REF 坐标描述了白洞的部分．不同的坐标之间存在坐标变换，在共同的区域 $r>R_{\mathrm{s}}$ 是很好定义的，但在别的区域变换是有奇异性的．这与通常流形的描述并不矛盾：不同的坐标卡描述时空流形的不同区域，只有在重叠区域坐标变换才是光滑的。

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