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史瓦西黑洞

第九章 史瓦西黑洞

史瓦西几何除了可以描述球对称星体外的时空几何，另一个非常重要的应用是描述了球对称黑洞时空．严格地说，应该是球对称黑洞时空的一部分．这个黑洞可能是通过恒星燃烧塌缩形成的，其物理机制是饶有趣味的课题，我们将在后面给予介绍．

黑洞的概念在牛顿引力中就存在。早在 1783 年，英国人米切尔（Michell）首先指出了黑洞的存在性．稍后， 1796 年，法国著名科学家拉普拉斯也独立地得到了同样的结论．分析并不复杂，由牛顿引力中逃逸速度为 $\sqrt{2 G M / R}$ 知，如果在某星体上，粒子的逃逸速度是光速，则星体必须具有史瓦西半径

$$
R_{\mathrm{s}}=\frac{2 G M}{c^2} .
$$

当星体密度极高时，其半径 $r$ 可能小于史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}$ ，此时光也无法摆脱星体引力的吸引，对于远处的观测者，星体看起来完全是黑的，这样的星体当时被称为＂暗星＂．如果进一步考虑狭义相对论，没有什么物质的传播速度能够超过光速，所以星体上的信息完全无法被远处的观测者接收到。这样一颗黑暗的星体可以吞噬物质，但不释放任何信息，称为＂黑洞＂${ }^{(1)}$ ．然而，在牛顿力学的框架下，如果离星体足够近，由于光线从星体表明向外发射时能够传播一段距离，观测者仍然能够接收到这些光线，星体并不全黑．这与广义相对论中的黑洞图像截然不同．
形成黑洞的星体的密度必须足够高．比如说，对于太阳质量的物体，$m_{\odot} \sim 10^{30} \mathrm{~kg}$ ，其史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}$ 约几千米，而对于地球质量的物体，其史瓦西半径大概只有乒乓球半径尺寸。另一方面，越大的黑洞实际上密度越低：

$$
\rho=\frac{\text { 质量 }}{\text { 体积 }}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R_{\mathrm{s}}^3} \propto \frac{1}{M^2},
$$

可见密度与质量平方成反比．太阳质量的黑洞，密度为 $\rho \sim 10^{16} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ ．而对于巨黑洞， $M \sim 10^{11} M_{\odot}, \rho_{\mathrm{c}} \sim 10^{-6} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 。

严格地说，黑洞无论是在牛顿引力还是在广义相对论中都是经典的概念，忽略了可能的量子效应。当然，黑洞的量子效应是量子引力研究的重要内容，但并非本书关注的重点．我们可以问这样一个问题：什么样的物体能够形成或者看作黑洞呢？比如说电子为何不能称作黑洞呢？一个基本的判据是这个物体的康普顿波长 $\lambda_{\mathrm{c}}$ 应该小于其史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}$ ，否则其量子行为太明显，已经不能当作黑洞来看待。在广义相对论中，我们处理的是经典的物体，而这些物体可能的量子行为超出了广义相对论的范畴．由于 $\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{h}{m c}$ ，所以

$$
\frac{R_{\mathrm{s}}}{\lambda_{\mathrm{c}}}=\frac{2 G m^2}{h c} .
$$

为了让 $R_{\mathrm{s}} \sim \lambda_{\mathrm{c}}$ ，必须有

$$
m \geqslant \sqrt{\frac{h c}{2 G}}=m_{\mathrm{pl}} \sim 10^{-5} \mathrm{~g} .
$$

9.1 史瓦西黑洞

我们简单回顾一下史瓦西解的基本性质．史瓦西时空是真空爱因斯坦方程的解．在史瓦西坐标下，解的明显形式如下：

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\ri

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