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史瓦西黑洞

第九章 史瓦西黑洞

史瓦西几何除了可以描述球对称星体外的时空几何，另一个非常重要的应用是描述了球对称黑洞时空．严格地说，应该是球对称黑洞时空的一部分．这个黑洞可能是通过恒星燃烧塌缩形成的，其物理机制是饶有趣味的课题，我们将在后面给予介绍．

黑洞的概念在牛顿引力中就存在。早在 1783 年，英国人米切尔（Michell）首先指出了黑洞的存在性．稍后， 1796 年，法国著名科学家拉普拉斯也独立地得到了同样的结论．分析并不复杂，由牛顿引力中逃逸速度为 $\sqrt{2 G M / R}$ 知，如果在某星体上，粒子的逃逸速度是光速，则星体必须具有史瓦西半径

$$
R_{\mathrm{s}}=\frac{2 G M}{c^2} .
$$

当星体密度极高时，其半径 $r$ 可能小于史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}$ ，此时光也无法摆脱星体引力的吸引，对于远处的观测者，星体看起来完全是黑的，这样的星体当时被称为＂暗星＂．如果进一步考虑狭义相对论，没有什么物质的传播速度能够超过光速，所以星体上的信息完全无法被远处的观测者接收到。这样一颗黑暗的星体可以吞噬物质，但不释放任何信息，称为＂黑洞＂${ }^{(1)}$ ．然而，在牛顿力学的框架下，如果离星体足够近，由于光线从星体表明向外发射时能够传播一段距离，观测者仍然能够接收到这些光线，星体并不全黑．这与广义相对论中的黑洞图像截然不同．
形成黑洞的星体的密度必须足够高．比如说，对于太阳质量的物体，$m_{\odot} \sim 10^{30} \mathrm{~kg}$ ，其史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}$ 约几千米，而对于地球质量的物体，其史瓦西半径大概只有乒乓球半径尺寸。另一方面，越大的黑洞实际上密度越低：

$$
\rho=\frac{\text { 质量 }}{\text { 体积 }}=\frac{M}{\frac{4}{3} \pi R_{\mathrm{s}}^3} \propto \frac{1}{M^2},
$$

可见密度与质量平方成反比．太阳质量的黑洞，密度为 $\rho \sim 10^{16} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ ．而对于巨黑洞， $M \sim 10^{11} M_{\odot}, \rho_{\mathrm{c}} \sim 10^{-6} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 。

严格地说，黑洞无论是在牛顿引力还是在广义相对论中都是经典的概念，忽略了可能的量子效应。当然，黑洞的量子效应是量子引力研究的重要内容，但并非本书关注的重点．我们可以问这样一个问题：什么样的物体能够形成或者看作黑洞呢？比如说电子为何不能称作黑洞呢？一个基本的判据是这个物体的康普顿波长 $\lambda_{\mathrm{c}}$ 应该小于其史瓦西半径 $R_{\mathrm{s}}$ ，否则其量子行为太明显，已经不能当作黑洞来看待。在广义相对论中，我们处理的是经典的物体，而这些物体可能的量子行为超出了广义相对论的范畴．由于 $\lambda_{\mathrm{c}}=\frac{h}{m c}$ ，所以

$$
\frac{R_{\mathrm{s}}}{\lambda_{\mathrm{c}}}=\frac{2 G m^2}{h c} .
$$

为了让 $R_{\mathrm{s}} \sim \lambda_{\mathrm{c}}$ ，必须有

$$
m \geqslant \sqrt{\frac{h c}{2 G}}=m_{\mathrm{pl}} \sim 10^{-5} \mathrm{~g} .
$$

9.1 史瓦西黑洞

我们简单回顾一下史瓦西解的基本性质．史瓦西时空是真空爱因斯坦方程的解．在史瓦西坐标下，解的明显形式如下：

$$
\mathrm{d} s^2=-\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-R_{\mathrm{s}} / r\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \Omega^2
$$

其中 $R_{\mathrm{s}}=2 G M / c^2=2 \mu$ 是史瓦西半径 ${ }^{(2)}$ ．远离黑洞时，它是渐近平直的，给出一个牛顿势

$$
\Phi \approx-\frac{R_{\mathrm{s}}}{2 r} .
$$

当 $r \rightarrow R_{\mathrm{s}}$ 时，$g_{t t} \rightarrow 0$ 且 $g_{r r} \rightarrow \infty$ ，看起来度规在史瓦西半径 $r=R_{\mathrm{s}}$ 处有奇异性，但它并非真正的奇点，只是一个坐标奇点，可以通过坐标变换来去掉．稍后我们将看到在其他坐标系下度规的行为．然而，需要注意的是史瓦西坐标的物理意义：它是无穷远静止观测者的参考系。

尽管 $r=R_{\mathrm{s}}$ 只不过是个坐标奇点，但此处确实比较特殊，有特别的物理意义。首先，它被称为＂事件视界＂（event horizon），其物理内涵在后面的讨论中将呈现出来．简单地说，在事件视界内发生的一切都不会被视界外的观测者看到．其次，它也是一个无穷大红移面．由前面的讨论可知，如果发射器和接收器都固定在某空间位置，则接收到的光子波长与发射时之比为

$$
\frac{\lambda_{\mathrm{o}}}{\lambda_{\mathrm{e}}}=\left(\frac{g_{t t}\left(r_{\mathrm{o}}\right)}{g_{t t}\left(r_{\mathrm{e}}\right)}\right)^{1 / 2}
$$

对于史瓦西时空，由于 $\left.g_{t t}\right|_{r \rightarrow R_3} \rightarrow 0, r=R_{\mathrm{s}}$ 是一个无穷大红移面，即从此处发射的光子的波长被无穷大红移了，无法被径向更远处的观测者所看到．也就是说，即使这个观测者只是在视界外有限位置处，也无法看到从视界发射出的光子。 而由 $\mathrm{d} \tau= \sqrt{1-R_{\mathrm{s}} / r} \mathrm{~d} t$ ，当 $r \rightarrow R_{\mathrm{s}}$ 时， $\mathrm{d} \tau \rightarrow 0$ ，相对于无穷远的观测者而言，在视界处的时钟是静止不动的，走得无穷慢．

在史瓦西时空中另一个值得注意的事实是关于＂类时＂基灵矢量的。从解的构造我们就知道，$\partial_t$ 总是时空的基灵矢量。 当 $R_{\mathrm{s}}>r>0$ 时，没有奇点，但是由于 $g_{t t}>0, g_{r r}<0, \partial_t$ 变成了类空矢量，而 $\partial_r$ 变成类时矢量。更重要的是，在视界内基灵矢量不再是类时的，而且也不存在类时基灵矢量，即时空此时不再是稳态的，而是动力学演化的．实际上，当 $r<R_{\mathrm{s}}$ 时，度规是时间依赖的．这个性质与坐标选择无关，无论选择什么样的坐标系，在视界内类时基灵矢量不存在。此外，在视界内如果要求 $\mathrm{d} s^2<0$ ，则必须有 $\mathrm{d} r^2<0$ ，也就是说时间的变化必然伴随着 $r$ 的变化．

为了更好地了解史瓦西黑洞时空，我们来看看其因果结构．考虑一个只沿径向运动的零测地线

$$
\mathrm{d} s^2=0=-\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right) \mathrm{d} t^2+\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} \mathrm{~d} r^2
$$

由此得
$$
\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} r}= \pm\left(1-\frac{R_{\mathrm{s}}}{r}\right)^{-1} \rightarrow \begin{cases} \pm 1, & \text { 当 } r \rightarrow \infty, \\ \pm \infty, & \text { 当 } r \rightarrow R_{\mathrm{s}},\end{cases}
$$

其中＂+ ＂号代表向外运动，＂- ＂号代表向内运动．看起来当 $r \rightarrow R_{\mathrm{s}}$ 时，坐标时 $t$ 走得越来越快，即 $\Delta t$ 要变得足够大．这当然是不对的，$t$ 是无穷远静止观测者的时钟时间，它以标准方法走时．换一个观点，对于无穷远的观测者，他看到光线接近视界，但走得越来越慢，需要无穷长时间才能到达视界．利用史瓦西坐标，光锥如图 9.1 所示．

![图片](/uploads/2025-12/ed3d4c.jpg)

当 $r \rightarrow R_{\mathrm{s}}$ 时，光锥逐渐闭合．因此，一条奔向视界的光线似乎永远无法达到视界，而只是渐近地趋向于它。这并非事实，而只是无穷远静止观测者看到的假象．事实上，无论是光子还是有质量粒子，穿过视界都没有什么问题，但无穷远观测者却看不到这一点．对上面的微分方程积分后得到

$$
\begin{aligned}
& t=r+R_{\mathrm{s}} \ln \left|\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right|+\text { 常数, } \quad \text { 外向光子, } \\
& t=-r-R_{\mathrm{s}} \ln \left|\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}-1\right|+\text { 常数, 内向光子. }
\end{aligned}
$$

这两个解是在时间反演下不变的．对于外向的光子，在视界以外，随着 $t$ 增加，$r$ 也增加，而在视界以内，随着 $r$ 增加，$t$ 减小。对于向内的光子，在视界以外，随着 $t$ 增加，$r$减小，而在视界以内，随着 $r$ 增加，$t$ 也增加。对固定的 $\theta, \phi$ ，我们有光锥图9．2．由图可知，在半径较大的地方，时空渐近平直，光锥结构与平直时空中的类似．当我们接近 $R_{\mathrm{s}}$ 时，内向光线 $t \rightarrow \infty$ ，而向外光线 $t \rightarrow-\infty$ ．这似乎表明内向光线需要无穷长时间穿过视界。在视界内 $r<R_{\mathrm{s}}$ ，由于 $t$ 和 $r$ 角色互易，光锥翻转 $90^{\circ}$ ，因此所有的光子都必然落到奇点 $r=0$ 上。由于任意有质量粒子的运动轨迹必须在其世界线每点的光锥中，所以在视界内这些粒子也必然落到奇点上．因此，一旦进人视界，粒子就无法摆脱落到奇点上的命运．

![图片](/uploads/2025-12/34076c.jpg)
 
 对于有质量粒子，其径向运动前面我们已经讨论过了．如果粒子从无穷远处自由下落，则它从 $r_0$ 到达视界的固有时是

$$
\Delta \tau=\frac{1}{\sqrt{R_{\mathrm{s}}}}\left(\frac{2}{3}\right)\left[r_0^{3 / 2}-\left(R_{\mathrm{s}}\right)^{3 / 2}\right]
$$

而对于无穷远观测者而言，坐标时为

$$
\Delta t=\left.R_{\mathrm{s}}\left(-\frac{2}{3}\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}\right)^{\frac{3}{2}}-2\left(\frac{r}{R_{\mathrm{s}}}\right)^{\frac{1}{2}}+\ln \left(\frac{\sqrt{r / R_{\mathrm{s}}}+1}{\sqrt{r / R_{\mathrm{s}}}-1}\right)\right)\right|_{r_0} ^r
$$

如图 9.3 所示，其中我们已经取了在 $r_0=8 \mu$ 处 $t=\tau=0$ ．粒子的世界线看起来在视界处有奇异性，从 $r=8 \mu$ 到 $r=R_{\mathrm{s}}$ 需要花无穷长坐标时。然而，对于粒子而言，它到达视界处所花的固有时是有限的，为 $\tau=9.33 \mu / c$ ．在视界内，固有时继续增加直到抵

![图片](/uploads/2025-12/b83e08.jpg)
 
 达 $r=0$ ，共花费的固有时为 $\tau=10.67 \mu / c$ ．趋近于视界时，粒子的运动在史瓦西坐标下渐近地有

$$
r=R_{\mathrm{s}}+C \mathrm{e}^{-t / R_{\mathrm{s}}}
$$

其中 $C$ 是一个正的常数．对无穷远观测者而言，无论经过多长时间，粒子都在视界外， $r>R_{\mathrm{s}}$ ，似乎粒子无法穿过视界进人黑洞中。当然，这只是对于无穷远观测者的假象。从以上的讨论中我们可以发现，史瓦西坐标并不适合描述粒子在 $r \leqslant R_{\mathrm{s}}$ 时的运动，或者说史瓦西坐标只能描述时空的一部分结构。

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