最后更新: 2025-12-23 11:26 查看: 36 次纠错评论(0) 课件开VIP

引力辐射的多极展开

11．2．2 引力辐射的多极展开
对于一般的引力波源，我们可以通过多极展开进行定性的讨论．如前所述，引力扰动的一般解为

$$
\bar{h}_{\mu \nu}(t, \boldsymbol{x})=4 G \int \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} T_{\mu \nu}(t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|, \boldsymbol{y}) \mathrm{d}^3 y
$$

我们可以把引力波源的质心放在原点，令 $r \equiv|\boldsymbol{x}|$ 表示远处产生的引力波扰动．由多极展开

$$
\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}=\frac{1}{r}+y^i \frac{x_i}{r^3}+y^i y^j\left(\frac{3 x_i x_j-r^2 \delta_{i j}}{r^5}\right)+\cdots,
$$

可得引力扰动的逐阶展开

$$
\begin{aligned}
\bar{h}^{\mu \nu} & =4 G\left[\frac{1}{r} \int T^{\mu \nu}\left(t_{\mathrm{r}}, \boldsymbol{y}\right) \mathrm{d}^3 y+\frac{x_i}{r^3} \int T^{\mu \nu}\left(t_{\mathrm{r}}, \boldsymbol{y}\right) y^i \mathrm{~d}^3 y+\cdots\right] \\
& =4 G \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-1)^l}{l!} M^{\mu \nu i_1 \cdots i_l}\left(t_{\mathrm{r}}\right) \partial_{i_1} \cdots \partial_{i_l}\left(\frac{1}{r}\right), \\
M^{\mu \nu i_1 \cdots i_l}(t) & =\int T^{\mu \nu}(t, \boldsymbol{y}) y^{i_1} \cdots y^{i_l} \mathrm{~d}^3 y .
\end{aligned}
$$

因此，第 $l$ 极矩的振幅 $\sim \frac{1}{r^{l+1}}$ ，大约与距离的 $l+1$ 次方成反比．越高阶极矩对扰动的贡献越小。

对于致密源，最主要的贡献来自 $l=0$ ，即单极矩

$$
\bar{h}^{\mu \nu}=\frac{4 G}{c^4 r} \int T^{\mu \nu}(t-r, \boldsymbol{y}) \mathrm{d}^3 y
$$

其中 $\int T^{00} \mathrm{~d}^3 y \equiv M c^2, \int T^{0 i} \mathrm{~d}^3 y \equiv P^i c$ ，而 $\int T^{i j} \mathrm{~d}^3 y$ 是源内部剪切应力张量的和．对孤立的源，由能动量守恒 $\partial_\mu T^{\mu \nu}=0$ 可知 $M, P^i$ 守恒．由于我们已经取了质心系，如果没有转动，则 $P^i=0$ ，此时有

$$
\bar{h}^{00}=\frac{4 G M}{c^2 r}, \quad \bar{h}^{i 0}=\bar{h}^{0 i}=0 .
$$

我们可以与电磁辐射做一个比较．对于电磁辐射，规范势满足方程 $\square A_\mu=-4 \pi J_\mu$ ．在洛伦茨规范 $\partial^\mu A_\mu=0$ 下，其一般解为

$$
A_\mu(\boldsymbol{x})=\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|}}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|} J_\mu\left(x^{\prime}\right),
$$

其中 $A_\mu(\boldsymbol{x}, t)=A_\mu(\boldsymbol{x}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, J_\mu(\boldsymbol{x}, t)=J_\mu(\boldsymbol{x}) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, k=|\boldsymbol{k}|=\omega$ 。在远离辐射源的区域 $r \gg 1 / k$ ，有 $\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right| \approx r-\widehat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{x}^{\prime}$ ，因此

$$
\begin{aligned}
A_\mu(\boldsymbol{x}) & =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k r}}{r} \int \mathrm{~d}^3 x^{\prime} J_\mu\left(x^{\prime}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k \widehat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{x}^{\prime}} \\
& =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} k r}}{r} \sum_b \frac{(-\mathrm{i} k)^b}{b!} \int \mathrm{d}^3 x^{\prime} J_\mu\left(x^{\prime}\right)\left(\widehat{\boldsymbol{n}} \cdot \boldsymbol{x}^{\prime}\right)^b
\end{aligned}
$$

最低阶 $b=0$ ，相应的规范势为

$$
\begin{aligned}
A_0(\boldsymbol{x}, t) & =\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} \frac{J_0\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, t-\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|\right)}{\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|} \\
& \approx \int \mathrm{d}^3 x^{\prime} \frac{J_0\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, t-r\right)}{r}=-\frac{1}{r} \int \mathrm{~d}^3 x^{\prime} \rho\left(\boldsymbol{x}^{\prime}, t-r\right) \\
& =-\frac{q\left(t_r\right)}{r}=-\frac{q}{r} \\
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t) & =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k r-\omega t)}}{r} \int \mathrm{~d}^3 x^{\prime} \boldsymbol{J}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

也就是说，离源很远的地方静电势由总电荷给出．利用 $\int \boldsymbol{x}^{\prime}(\nabla \cdot \boldsymbol{J}) \mathrm{d}^3 x^{\prime}=-\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} J\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)$ ，以及电荷守恒的连续性条件 $\nabla \cdot \boldsymbol{J}=\mathrm{i} \omega \rho$ ，我们得到

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t) & =-\frac{\mathrm{i} \omega \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k r-\omega t)}}{r} \int \mathrm{~d}^3 x^{\prime} \boldsymbol{x}^{\prime} \rho\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)=-\frac{\mathrm{i} \omega \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k r-\omega t)}}{r} \boldsymbol{P} \\
& =-\frac{\mathrm{i} \omega \boldsymbol{P}\left(t_{\mathrm{r}}\right)}{r}=\frac{1}{r}\left(\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{P}}{\mathrm{~d} t}\right)_{t_{\mathrm{r}}}
\end{aligned}
$$

其中 $\boldsymbol{P}$ 是电偶极矩．对于更高阶，规范势大致为 $A \approx \frac{1}{r} \sum_l \frac{\mathrm{~d}^l}{\mathrm{~d} t^l}\left(E_l+M_l\right)$ ，这里的电多极矩和磁多极矩分别为

$$
E_l \propto \int\left(x^{\prime}\right)^l \rho\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime}, \quad M_l \propto \int\left(x^{\prime}\right)^l v\left(x^{\prime}\right) \rho\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime}
$$

如果我们考虑源束缚在某个区域，具有总电荷 $Q$ 、内部速度 $v$ 和大小 $L$ ，假定源大致以某种周期变化，则

$$
\begin{aligned}
E_l \propto Q L^l & \Rightarrow \frac{\mathrm{~d}^l E_l}{\mathrm{~d} t^l} \propto Q\left(\frac{v}{c}\right)^l \\
M_l \propto Q v L^l & \Rightarrow \frac{\mathrm{~d}^l M_l}{\mathrm{~d} t^l} \propto Q\left(\frac{v}{c}\right)^{l+1}
\end{aligned}
$$

多极矩增加一阶，则贡献被压低 $\frac{v}{c}$ ．对于 $l=0$ 的单极矩，由电荷守恒不会给出辐射．

对于引力辐射，$\square h_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu}$ ．与电磁辐射类似，我们有

$$
h_l^M \propto \frac{1}{r} \frac{\mathrm{~d}^l}{\mathrm{~d} t^l} M_l, \quad h_l^S \propto \frac{1}{r} \frac{\mathrm{~d}^l}{\mathrm{~d} t^l} S_l
$$

其中 $M_l$ 和 $S_l$ 分别是质量多极矩和流多极矩：

$$
M_l \propto \int\left(x^{\prime}\right)^l \rho\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime}, \quad S_l \propto \int\left(x^{\prime}\right)^l v\left(x^{\prime}\right) \rho\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d}^3 x^{\prime}
$$

因为度规扰动是没有量纲的，我们可以把牛顿引力常数、光速等放回各种物理量中：质量 $\rightarrow G / c^2$ ，时间 $\rightarrow c$ ，速度 $\rightarrow 1 / c$ ．由此我们得到

$$
h_l^M \propto \frac{1}{r} \frac{G}{c^{l+2}} \frac{\mathrm{~d}^l}{\mathrm{~d} t^l} M_l, \quad h_l^S \propto \frac{1}{r} \frac{G}{c^{l+3}} \frac{\mathrm{~d}^l}{\mathrm{~d} t^l} S_l
$$

基本上，每高一阶极矩，贡献被 $\frac{v}{c}$ 压低．引力势最主要的贡献来自质量单极矩

$$
l=0, \quad h_0^M=\frac{G}{c^2} \frac{M_0}{r}, \quad M_0=\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} \rho\left(x^{\prime}\right) \equiv M_{\mathrm{system}}
$$

这正好给出牛顿引力势．由质量和能量守恒，它是一个常数，不随时间变化，不会给出引力辐射．下一阶来自质量偶极矩的贡献：

$$
h_1^M \propto \frac{1}{r} \frac{G}{c^3} \frac{\mathrm{~d} M_1}{\mathrm{~d} t}, \quad M_1=\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} x^{\prime} \rho\left(x^{\prime}\right)
$$

由于 $\frac{\mathrm{d} M_1}{\mathrm{~d} t} \propto$ 总动量，因此它也只是一个纯规范，由动量守恒，没有引力辐射．再下一阶来自流偶极矩：
$$
h_1^S \propto \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \frac{\mathrm{~d} S_1}{\mathrm{~d} t}, \quad S_1=\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} x^{\prime} v\left(x^{\prime}\right) \rho\left(x^{\prime}\right) .
$$

因为 $h_1^S \propto \frac{\mathrm{~d} J}{\mathrm{~d} t}$ ，而 $J$ 是角动量，它是一个守恒量，也不导致引力辐射．接下来是质量四极矩的贡献：

$$
h_2^M \propto \frac{1}{r} \frac{G}{c^4} \frac{\mathrm{~d}^2 M_2}{\mathrm{~d} t^2}, \quad M_2=\int \mathrm{d}^3 x^{\prime} x_1^{\prime} x_2^{\prime} \rho\left(x^{\prime}\right)
$$

它给出了引力辐射的最重要的贡献．其振幅可以估算．由于其内部速度为 $\frac{\mathrm{d} x^{\prime}}{\mathrm{d} t} \propto v_{\text {int }}$ ，所以

$$
h_2^M \propto M_{\mathrm{tot}} v_{\mathrm{int}}^2 \sim(K E)_{\mathrm{int}} \quad \text { (内部动能) },
$$

或者更精确地 $h_2^M \sim \frac{1}{r} \frac{G}{c^4}(K E)_{\mathrm{int}}$ 。考虑一个恒星质量的源，其内部动能 $(K E)_{\mathrm{int}} \sim$

$1 M_{\odot} c^2 \approx 1.8 \times 10^{54} \mathrm{erg}$ ，而它离我们的典型距离 $r \sim 100 \mathrm{Mpc} \approx 3.1 \times 10^{26} \mathrm{~cm}$ ．考虑到

$$
G / c^4 \approx 8.26 \times 10^{-50} \mathrm{~cm} / \mathrm{erg},
$$

我们可以估算引力辐射的大小 $h_{\mathrm{rad}} \sim 10^{-22} \sim 10^{-21}$ ．
由前面的讨论可见，一个孤立的非相对论性物体产生的引力波正比于能量密度四极矩的二阶导数。而对于电磁辐射而言，我们用类似的方法讨论，会发现其来源于荷密度产生的变化偶极矩．数学上，这个差异来自引力波是二阶张量，而电磁波是一阶张量．物理上，差异来自引力本身的普适性质．一个变化的偶极矩来自密度中心的变化，对于电磁学来说是电荷密度的变化，对于引力来说是能量密度的变化．然而，对于一个孤立系统来说，质心的振荡破坏了动量守恒，因此是不存在的。换句话说，动量守恒禁戒了变化的偶极矩产生引力辐射．而能量密度的四极矩刻画了系统的形状，通常比偶极矩小得多。

与电磁辐射比较，引力辐射要弱得多．除了引力辐射是更高极矩产生这个原因以外，更重要的原因是引力的耦合强度远小于电磁耦合强度，所以引力比电磁力弱得多．实际上，引力是自然界中最弱的力．尽管引力辐射的振幅很小，很难被探测到，其带走的能量却不可小觑．实际上，单位时间里的能量损失大约是

$$
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t}=\int T^{0 i} \mathrm{~d} a_i \sim \frac{c^3}{G} r^2\left|\frac{\mathrm{~d} h}{\mathrm{~d} t}\right|^2 .
$$

如果 $h \sim 10^{-22}$ ，频率大约 100 Hz ，则辐射功率为

$$
\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} t} \sim 10^{53} \mathrm{erg} / \mathrm{s} \sim 10^{20} \text { 太阳的亮度. }
$$

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