最后更新: 2025-12-23 11:24 查看: 6 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

引力辐射

11.2 引力辐射

对于＂迹相反＂的扰动，它们满足线性相对论性波动方程 $\square \bar{h}_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu}$ ，其中的能动张量可以当作产生波的源．这个方程与电动力学中电磁波满足的方程类似，
差别只在于源的不同．因此，我们可以利用熟知的格林函数方法来求解：

$$
\square_x G\left(x^\sigma-y^\sigma\right)=\delta^4\left(x^\sigma-y^\sigma\right),
$$

其中 $\square_x$ 代表相对于坐标 $x^\sigma$ 的达朗贝尔算子，而 $G\left(x^\sigma-y^\sigma\right)$ 是格林函数．线性化爱因斯坦方程的通解为

$$
\bar{h}_{\mu \nu}\left(x^\sigma\right)=-16 \pi G \int G\left(x^\sigma-y^\sigma\right) T_{\mu \nu}\left(y^\sigma\right) \mathrm{d}^4 y
$$

这里的格林函数由（11．33）式给出，可以是＂推迟＂格林函数或者＂超前＂格林函数，依赖于波是沿时间向前或者向后。我们关心的是引力源在过去产生的引力波传播到探测器这样的物理过程，因此我们应该使用推迟格林函数，它可以帮助我们得到之前产生信号的累加效应．推迟格林函数形如

$$
G\left(x^\sigma-y^\sigma\right)=-\frac{1}{4 \pi|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} \delta\left[|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|-\left(x^0-y^0\right)\right] \theta\left(x^0-y^0\right),
$$

其中 $\theta\left(x^0-y^0\right)$ 是一个阶梯函数，

$$
\theta\left(x^0-y^0\right)= \begin{cases}1, & x^0>y^0, \\ 0, & x^0<y^0 .\end{cases}
$$

由此得到扰动的解

$$
\bar{h}_{\mu \nu}(t, \boldsymbol{x})=4 G \int \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} T_{\mu \nu}(t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|, y) \mathrm{d}^3 y
$$

其中 $t=x^0$ ．我们可以定义一个推迟时间：$t_{\mathrm{r}}=t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ ．这个解的物理意义是：在 $(t, \boldsymbol{x})$ 处的引力场扰动来自在过去光锥中 $\left(t_{\mathrm{r}}, \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)$ 处能动张量源产生的影响，如图 11.4 所示．

![图片](/uploads/2025-12/aa512d.jpg)
 
 11．2．1 孤立源的引力辐射
在我们的宇宙中，产生引力辐射的源离我们都很远．如果不考虑原初引力波的辐射，而只考虑质量分布产生的引力波，这些引力波源可以很好地近似看作孤立的，而且整体运动是非相对论性的．利用时间方向的傅里叶（Fourier）变换

$$
\begin{aligned}
\widetilde{\phi}(\omega, \boldsymbol{x}) & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \mathrm{~d} t \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \phi(t, \boldsymbol{x}) \\
\phi(t, \boldsymbol{x}) & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \mathrm{~d} \omega \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \widetilde{\phi}(\omega, \boldsymbol{x})
\end{aligned}
$$

对横向无迹扰动做傅里叶变换：

$$
\begin{aligned}
\tilde{\bar{h}}_{\mu \nu}(\omega, \boldsymbol{x}) & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \mathrm{~d} t \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \bar{h}_{\mu \nu}(t,

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