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真空中的引力波

第十一章 引力波

在本章中，我们将简要学习广义相对论的一个重要预言——引力波．如前所述，引力是自然界中最弱的力，牛顿引力耦合常数很小．一方面，这使得引力波很微弱，给探测引力波造成了很大的困难。事实上，直到 2015 年底，人类才第一次直接探测到了双黑洞并合时发出的引力波信号．另一方面，由于耦合常数很小，引力波在传播过程中与其他物质的耦合很弱，也就是说很难受到其他物质的干扰。因此，我们如果探测到引力波，它携带有引力波源的完整信息，这为研究各种引力波源提供了理想的平台．随着引力波直接观测的成功，引力波物理必将成为相对论天体物理、宇宙学研究的重要方向。

我们将在弱场近似的基础上学习引力波的知识，包括引力波的传播及其物理效应、引力波的产生、引力波携带的能量以及引力波的探测．在弱场（线性）近似下，度规场可以分解为平直时空背景及其扰动两部分：

$$
g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}
$$

其中 $h_{\mu \nu}$ 可以看作在平直时空下的二阶对称张量场，具有规范对称性

$$
h_{\mu \nu} \rightarrow h_{\mu \nu}+\partial_\mu \xi_\nu+\partial_\nu \xi_\mu
$$

通过引进迹相反的扰动，爱因斯坦方程可以写作

$$
\square \bar{h}_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu} .
$$

基于此，我们将学习引力波的基本性质、引力波的产生和引力波的探测．对于引力波物理更深人的讨论，参见文献［49，51］．
11.1 真空中的引力波

在弱场近似下讨论引力波是方便的．我们的地球离可能产生引力波的源已经足够远了，此时弱场近似是一个很好的处理方法．我们先关注如果引力波已经产生了，其在真空中的行为．在真空中，＂迹相反＂扰动满足的方程为 $\square \bar{h}_{\mu \nu}=0$ ，其中 $\square=-\partial_t^2+\nabla^2$ ．这个方程有平面波解

$$
\bar{h}_{\mu \nu}=C_{\mu \nu} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma},
$$

其中 $C_{\mu \nu}$ 是一个常数对称 $(0,2)$ 张量，而 $k^\sigma$ 是一个常数矢量，通常称为波矢，代表平面波的传播．波的传播方程告诉我们，

$$
\begin{aligned}
0 & =\square \bar{h}_{\mu \nu}=\eta^{\rho \sigma} \partial_\rho \partial_\sigma \bar{h}_{\mu \nu}=\eta^{\rho \sigma} \partial_\rho\left(\mathrm{i} k_\sigma \bar{h}_{\mu \nu}\right)=-\eta^{\rho \sigma} k_\rho k_\sigma \bar{h}_{\mu \nu} \\
& =-k_\sigma k^\sigma \bar{h}_{\mu \nu} \\
\Rightarrow & k_\sigma k^\sigma=0,
\end{aligned}
$$

即波矢是一个零矢量，代表引力波是以光速传播的，而相应的引力子是一个无质量粒子，类似于光子．令 $\widehat{k}=\left(\omega, k_1, k_2, k_3\right)$ ，则 $\omega^2=\delta_{i j} k^i k^j$ ．注意，由于波动方程是一个相对论性线性方程，叠加原理是适用的．不同的波只要满足波动方程就可以叠加在一起．

11．1．1 物理自由度
四维时空中引力波的传播自由度可以通过确定规范自由度来得到．首先，由于 $C_{\mu \nu}$是对称张量，共有 10 个独立分量，这些分量中的大部分都是规范自由度．利用调和规范条件，

$$
0=\partial_\mu \bar{h}^{\mu \nu}=\partial_\mu\left(C^{\mu \nu} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}\right)=\mathrm{i} C^{\mu \nu} k_\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma},
$$

由此得

$$
k_\mu C^{\mu \nu}=0 .
$$
这个关系告诉我们引力波是一个横波，与波矢的传播方向垂直．它实际上是四个独立的方程，因此给出四个约束，剩余的自由度是 $10-4=6$ 个．然而我们知道，取调和规范并未完全确定坐标变换的自由度．实际上，在调和规范条件

$$
\square x^\mu=0
$$

中，如果坐标函数平移一个满足 $\square \zeta^\mu=0$ 的函数 $\zeta^\mu$ ，调和规范条件仍然满足．注意 $\square \zeta^\mu=0$ 本身就是一个波动方程，一旦选择了一个解，则所有的规范自由度就固定了．让我们选择解

$$
\zeta_\mu=B_\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}
$$

其中 $k_\sigma$ 是引力波的波矢，而 $B_\mu$ 是一个待定的常系数．在坐标函数平移下 $x^\mu \rightarrow x^\mu+\zeta^\mu$,

$$
h_{\mu \nu}^{(\text {new })}=h_{\mu \nu}^{(\text {old })}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu,
$$

这将导致＂迹相反＂的扰动做如下变化：

$$
\begin{aligned}
\bar{h}_{\mu \nu}^{(\text {new })} & =h_{\mu \nu}^{(\text {new })}-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu} h^{(\text {new })} \\
& =h_{\mu \nu}^{(\text {old })}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu}\left(h^{(\text {old })}-2 \partial_\lambda \z

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