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真空中的引力波

第十一章 引力波

在本章中，我们将简要学习广义相对论的一个重要预言——引力波．如前所述，引力是自然界中最弱的力，牛顿引力耦合常数很小．一方面，这使得引力波很微弱，给探测引力波造成了很大的困难。事实上，直到 2015 年底，人类才第一次直接探测到了双黑洞并合时发出的引力波信号．另一方面，由于耦合常数很小，引力波在传播过程中与其他物质的耦合很弱，也就是说很难受到其他物质的干扰。因此，我们如果探测到引力波，它携带有引力波源的完整信息，这为研究各种引力波源提供了理想的平台．随着引力波直接观测的成功，引力波物理必将成为相对论天体物理、宇宙学研究的重要方向。

我们将在弱场近似的基础上学习引力波的知识，包括引力波的传播及其物理效应、引力波的产生、引力波携带的能量以及引力波的探测．在弱场（线性）近似下，度规场可以分解为平直时空背景及其扰动两部分：

$$
g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}
$$

其中 $h_{\mu \nu}$ 可以看作在平直时空下的二阶对称张量场，具有规范对称性

$$
h_{\mu \nu} \rightarrow h_{\mu \nu}+\partial_\mu \xi_\nu+\partial_\nu \xi_\mu
$$

通过引进迹相反的扰动，爱因斯坦方程可以写作

$$
\square \bar{h}_{\mu \nu}=-16 \pi G T_{\mu \nu} .
$$

基于此，我们将学习引力波的基本性质、引力波的产生和引力波的探测．对于引力波物理更深人的讨论，参见文献［49，51］．
11.1 真空中的引力波

在弱场近似下讨论引力波是方便的．我们的地球离可能产生引力波的源已经足够远了，此时弱场近似是一个很好的处理方法．我们先关注如果引力波已经产生了，其在真空中的行为．在真空中，＂迹相反＂扰动满足的方程为 $\square \bar{h}_{\mu \nu}=0$ ，其中 $\square=-\partial_t^2+\nabla^2$ ．这个方程有平面波解

$$
\bar{h}_{\mu \nu}=C_{\mu \nu} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma},
$$

其中 $C_{\mu \nu}$ 是一个常数对称 $(0,2)$ 张量，而 $k^\sigma$ 是一个常数矢量，通常称为波矢，代表平面波的传播．波的传播方程告诉我们，

$$
\begin{aligned}
0 & =\square \bar{h}_{\mu \nu}=\eta^{\rho \sigma} \partial_\rho \partial_\sigma \bar{h}_{\mu \nu}=\eta^{\rho \sigma} \partial_\rho\left(\mathrm{i} k_\sigma \bar{h}_{\mu \nu}\right)=-\eta^{\rho \sigma} k_\rho k_\sigma \bar{h}_{\mu \nu} \\
& =-k_\sigma k^\sigma \bar{h}_{\mu \nu} \\
\Rightarrow & k_\sigma k^\sigma=0,
\end{aligned}
$$

即波矢是一个零矢量，代表引力波是以光速传播的，而相应的引力子是一个无质量粒子，类似于光子．令 $\widehat{k}=\left(\omega, k_1, k_2, k_3\right)$ ，则 $\omega^2=\delta_{i j} k^i k^j$ ．注意，由于波动方程是一个相对论性线性方程，叠加原理是适用的．不同的波只要满足波动方程就可以叠加在一起．

11．1．1 物理自由度
四维时空中引力波的传播自由度可以通过确定规范自由度来得到．首先，由于 $C_{\mu \nu}$是对称张量，共有 10 个独立分量，这些分量中的大部分都是规范自由度．利用调和规范条件，

$$
0=\partial_\mu \bar{h}^{\mu \nu}=\partial_\mu\left(C^{\mu \nu} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}\right)=\mathrm{i} C^{\mu \nu} k_\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma},
$$

由此得

$$
k_\mu C^{\mu \nu}=0 .
$$
这个关系告诉我们引力波是一个横波，与波矢的传播方向垂直．它实际上是四个独立的方程，因此给出四个约束，剩余的自由度是 $10-4=6$ 个．然而我们知道，取调和规范并未完全确定坐标变换的自由度．实际上，在调和规范条件

$$
\square x^\mu=0
$$

中，如果坐标函数平移一个满足 $\square \zeta^\mu=0$ 的函数 $\zeta^\mu$ ，调和规范条件仍然满足．注意 $\square \zeta^\mu=0$ 本身就是一个波动方程，一旦选择了一个解，则所有的规范自由度就固定了．让我们选择解

$$
\zeta_\mu=B_\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}
$$

其中 $k_\sigma$ 是引力波的波矢，而 $B_\mu$ 是一个待定的常系数．在坐标函数平移下 $x^\mu \rightarrow x^\mu+\zeta^\mu$,

$$
h_{\mu \nu}^{(\text {new })}=h_{\mu \nu}^{(\text {old })}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu,
$$

这将导致＂迹相反＂的扰动做如下变化：

$$
\begin{aligned}
\bar{h}_{\mu \nu}^{(\text {new })} & =h_{\mu \nu}^{(\text {new })}-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu} h^{(\text {new })} \\
& =h_{\mu \nu}^{(\text {old })}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu-\frac{1}{2} \eta_{\mu \nu}\left(h^{(\text {old })}-2 \partial_\lambda \zeta^\lambda\right) \\
& =\bar{h}_{\mu \nu}^{(\text {old })}-\partial_\mu \zeta_\nu-\partial_\nu \zeta_\mu+\eta_{\mu \nu} \partial_\lambda \zeta^\lambda
\end{aligned}
$$

利用扰动的平面波解以及（11．9）式，有

$$
C_{\mu \nu}^{(\text {new })}=C_{\mu \nu}^{(\text {old })}-\mathrm{i} k_\mu B_\nu-\mathrm{i} k_\nu B_\mu+\mathrm{i} \eta_{\mu \nu} k_\lambda B^\lambda .
$$

我们可以得到如下结果．
命题 我们总可以选择合适的系数 $B_\mu$ 使变换后的引力波振幅满足

$$
C^{(\mathrm{new}) \mu}{ }_\mu=0 \quad \text { (无迹条件), }
$$

和

$$
C_{0 \nu}^{(\text {new })}=0 .
$$

证明 为了满足（11．13）式，必须有

$$
0=C^{(\text {old }) \mu}{ }_\mu+2 \mathrm{i} k_\lambda B^\lambda,
$$

即

$$
k_\lambda B^\lambda=\frac{\mathrm{i}}{2} C^{(\text {old }) \mu}{ }_\mu .
$$

$$
k_\lambda B^\lambda=\frac{\mathrm{i}}{2} C^{(\mathrm{old}) \mu}{ }_\mu
$$

接下来，（11．14）式的 $\nu=0$ 分量要求

$$
\begin{aligned}
0 & =C_{00}^{\text {(old) }}-2 \mathrm{i} k_0 B_0-\mathrm{i} k_\lambda B^\lambda \\
& =C_{00}^{\text {(old) }}-2 \mathrm{i} k_0 B_0+\frac{1}{2} C^{\text {(old) } \mu}{ }_\mu
\end{aligned}
$$

即

$$
B_0=-\frac{\mathrm{i}}{2 k_0}\left(C_{00}^{(\text {old })}+\frac{1}{2} C_\mu^{(\text {old }) \mu}\right) .
$$

而（11．14）式的 $\nu=j$ 分量要求

$$
\begin{aligned}
0 & =C_{0 j}^{(\mathrm{old})}-\mathrm{i} k_0 B_j-\mathrm{i} k_j B_0 \\
& =C_{0 j}^{(\mathrm{old})}-\mathrm{i} k_0 B_j-\mathrm{i} k_j\left[\frac{-\mathrm{i}}{2 k_0}\left(C_{00}^{(\mathrm{old})}+\frac{1}{2} C_\mu^{(\mathrm{old}) \mu}{ }_\mu\right)\right],
\end{aligned}
$$

或者

$$
B_j=\frac{\mathrm{i}}{2\left(k_0\right)^2}\left[-2 k_0 C_{0 j}^{(\mathrm{old})}+k_j\left(C_{00}^{(\mathrm{old})}+\frac{1}{2} C_\mu^{(\mathrm{old}) \mu}\right)\right]
$$

易见这些选择是相容的．
因此，四维中引力波的物理自由度只有两个，原因如下：
（1）$k_\mu C^{\mu \nu}=0$ 给出 4 个约束．
（2）$C_\mu^\mu=0$ 给出 1 个约束．
（3）$C_{0 \nu}=0$ 给出 4 个约束．
（4）但是 $C_{0 \nu}=0$ 已经包含了 $k_\mu C^{\mu 0}=0$ ．也就是说 $k_\mu C^{\mu \nu}=0$ 中只有 $\nu=j$ 时才是独立的约束．所以我们最终有 8 个约束，真实的物理自由度只有两个．

我们可以和电磁辐射做一个比较．电磁波可以由 $A_\mu=C_\mu \mathrm{e}^{\mathrm{i} k^\sigma x_\sigma}$ 来描述，$k^\sigma$ 是波矢．利用相对论性波动方程知道 $C_\mu k^\mu=0$ ，即电磁波是一个横波．这给出一个约束．另一方面，利用规范对称性，我们可以选定规范．最终的结果是四维中电磁波也只有两个物理自由度．

11．1．2 TT 规范
从前面的讨论我们知道，如果我们选择合适的规范，引力波是一个无迹、横向的波．我们不妨选择波的传播沿 $z$ 方向，这时有

$$
k^\mu=\left(\omega, 0,0, k^3\right)=(\omega, 0,0, \omega),
$$

其中 $k^3=\omega$ 是因为波矢是零矢量．在这种情况下 $k^\mu C_{\mu \nu}=0$ 和 $C_{0 \nu}=0$ 两个条件暗示着

$$
C_{3 \nu}=0 .
$$

所以，$C_{\mu \nu}$ 中非零分量是 $C_{11}, C_{12}, C_{21}$ 和 $C_{22}$ ．进一步地，由迹零、对称条件，我们可以把 $C_{\mu \nu}$ 写作

$$
C_{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & C_{11} & C_{12} & 0 \\
0 & C_{12} & -C_{11} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

这样一个在调和规范下的子规范称为横向无迹规范（transverse traceless gauge），有时也称作辐射规范（radiation gauge），简记为 TT 规范．在此规范下，度规扰动是无迹的，

与波矢垂直．上面的讨论都是对＂迹相反＂扰动 $\bar{h}_{\mu \nu}$ 做的讨论，并非扰动 $h_{\mu \nu}$ 本身．然而，在 TT 规范下，

$$
\bar{h}_{\mu \nu}^{\mathrm{TT}}=h_{\mu \nu}^{\mathrm{TT}} .
$$

也就是说，如果我们选择 TT 规范，对两种扰动的讨论等价．
当然也可以选择别的规范来讨论问题，但在研究引力波的辐射时 TT 规范比较方便．实际上，如果我们只关心引力辐射，则有如下定理 ${ }^{(1)}$ 。

定理 给定线性方程的任意解 $h_{\mu \nu}$ ，只有其空间分量中无迹、横向部分 $h_{i j}^{\mathrm{TT}}$ 包含引力辐射的信息，与规范选择无关．

此时无迹、横向意味着

$$
\partial_i h_{i j}^{\mathrm{TT}}=0, \quad \delta_{i j} h_{i j}^{\mathrm{TT}}=0, \quad \bar{h}_{i j}^{\mathrm{TT}}=h_{i j}^{\mathrm{TT}} .
$$

即使在其他规范下得到了平面波的分量，我们也很容易把它们转换到 TT 规范中．定义一个投影算子 $P_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}-n_\mu n_\nu$ ．这个投影算子的作用是把矢量投影到与单位矢量 $n_\mu$ 正交的平面上．我们可以取 $n_\mu$ 是一个类空矢量，沿着引力波的传播方向， $n_0=0, n_j=k_j / \omega$ ，则引力波扰动的横向分量为 $P_\mu{ }^\rho P_\nu{ }^\sigma h_{\rho \sigma}$ 。我们可以进一步减除迹的部分，得到横向－无迹的扰动

$$
h_{\mu \nu}^{\mathrm{TT}}=P_\mu{ }^\rho P_\nu{ }^\sigma h_{\rho \sigma}-\frac{1}{2} P_{\mu \nu} P^{\rho \sigma} h_{\rho \sigma} .
$$

11．1．3 引力波对点粒子的效应
为了探测引力波，我们需要知道引力波的物理效应．我们希望得到一个与坐标选择无关的物理效应，因此关注相邻粒子间的相对运动。我们知道在足够小区域中，由爱因斯坦的等效原理，无法探测时空的弯曲或者引力的存在，必须通过考虑相邻粒子的测地偏离来探测引力波造成的时空涟满．因此，考虑相邻的粒子束，假设在局部参考系中其中一个粒子的4－速度为 $u^\mu(x)$ ，偏离矢量为 $S^\mu$ ，则有测地偏离方程

$$
\frac{\mathrm{D}^2}{\mathrm{~d} \tau^2} S^\mu=R_{\nu \rho \sigma}^\mu u^\nu u^\rho S^\sigma .
$$

到扰动 $h_{\mu \nu}$ 的一阶，如果粒子的运动并不快，由于黎曼张量已经是一阶小量，我们可以取 $u^\nu=(1,0,0,0)$ ，则方程右边由 $R^\mu{ }_{00 \sigma}$ 给出主要的贡献．如我们所知，

$$
R_{\mu 00 \sigma}=\frac{1}{2}\left(\partial_0 \partial_0 h_{\mu \sigma}+\partial_\sigma \partial_\mu h_{00}-\partial_\sigma \partial_0 h_{\mu 0}-\partial_\mu \partial_0 h_{\sigma 0}\right) .
$$

但 $h_{\mu 0}=0$ ，所以

$$
R_{\mu 00 \sigma}=\frac{1}{2} \partial_0 \partial_0 h_{\mu \sigma} .
$$

对慢速粒子，$\tau=x^0=t$ ，所以测地偏离方程变为

$$
\frac{\partial^2}{\partial t^2} S^\mu=\frac{1}{2} S^\sigma \frac{\partial^2}{\partial t^2} h_\sigma^\mu .
$$

如果引力波沿 $x^3$ 运动，则只有 $S^1$ 和 $S^2$ 两个方向会受到影响．也就是说，试探粒子只在垂直于波矢的方向上受到影响。这与电磁学中类似，电磁波也是横波，电场和磁场都与波的传播方向正交．

引力波由两个量来刻画：$C_{+}=C_{11}$ 和 $C_{\times}=C_{12}$ ．这两个分量的物理效应是不同的，我们分别进行讨论．我们首先假定 $C_{\times}=0$ ，则有

$$
\frac{\partial^2}{\partial t^2} S^1=\frac{1}{2} S^1 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(C_{+} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}\right), \quad \frac{\partial^2}{\partial t^2} S^2=-\frac{1}{2} S^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(C_{+} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}\right) .
$$

在最低阶，有解

$$
S^1=\left(1+\frac{1}{2} C_{+} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}\right) S^1(0), \quad S^2=\left(1-\frac{1}{2} C_{+} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma}\right) S^2(0) .
$$

这个解的物理图像是：如果开始时粒子互相之间沿 $x^1$ 方向分开，则这些粒子沿 $x^1$ 方向来回振荡；同样对于沿 $x^2$ 方向分开的粒子，它们也是沿 $x^2$ 方向来回振荡．如果我们开始时在 $x^1-x^2$ 平面上有一组分布在圆环上的静态粒子，当沿 $x^3$ 方向的引力波经过时，这些粒子在该平面上的振荡方式是一个＂＋＂形，如图 11.1 所示．而对于另一种情况 $C_{+}=0$ 但 $C_{\times} \neq 0$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
& S^1=S^1(0)+\frac{1}{2} C_{\times} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma} S^2(0) \\
& S^2=S^2(0)+\frac{1}{2} C_{\times} \mathrm{e}^{\mathrm{i} k_\sigma x^\sigma} S^1(0)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-12/ad509c.jpg)
 
 此时，圆环上的粒子的振荡方式是一个 $\times$ 形，如图 
 
  ![图片](/uploads/2025-12/415fc3.jpg)
  
  我们可以类比于电磁波来考虑两种圆偏振模式，定义

$$
\begin{aligned}
C_{\mathrm{R}} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(C_{+}+\mathrm{i} C_{\times}\right), \\
C_{\mathrm{L}} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(C_{+}-\mathrm{i} C_{\times}\right) .
\end{aligned}
$$

一个纯 $C_{\mathrm{L}}$ 波将使平面上的粒子做一个向左旋转的运动，如图 11.3 所示．

![图片](/uploads/2025-12/c1ea77.jpg)
 
 电磁波与引力波类似，都是横波，具有两个传播物理自由度．等价地，我们可以认为电磁波有两种偏振或者极化态。比如说，如果波的传播方向是 $z$ 方向，则在 $x-y$ 平面上有两种偏振态，而且每一个偏振态在平面转动 $2 \pi$ 下保持不变．在量子化以后，这给出自旋为 1 的光子。而对于无质量的费米子，比如把中微子看作无质量粒子，可以通过一个场来描述它．在 $2 \pi$ 转动下，费米场会变号，它只有在转动 $4 \pi$ 以后才回到自身．因此费米子（中微子）的自旋是 $\frac{1}{2}$ ．更一般地，自旋 $S$ 的场如果在转动 $\theta$ 角后极化模式保持不变，则自旋为 $S=2 \pi / \theta$ ．对于引力场而言，前面的讨论已经告诉我们，引力波对应着无质量的粒子．但引力波的偏振态在转动 $\pi$ 后保持不变，这意味着无质量粒子引力子的自旋应该是 2 ．

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