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欧几里得整环

5.5 欧几里得整环

本节介绍一类存在带余除法的整环一一欧几里得整环，并给出一些欧几里得整环和主理想整环的例子。

定义 5．5．1 设 $R$ 是一个整环．如果存在 $R$ 的乘法半群 $R^*=R-\{0\}$ 到自然数集 $\mathbf{N}$ 的一个函数 $\delta(x)$ ，使得对于任意一对元素 $a, b \in R, b \neq 0$ ，存在一对元素 $q$ 和 $r$ 使得

$$
a=q b+r,
$$

其中 $r=0$ ，或 $r \neq 0$ ，但 $\delta(r)<\delta(b)$ ，则 $R$ 称为欧几里得整环，$\delta$ 称为 $R$ 上的一个度量。

例 5．5．1 整数环 $\mathbf{Z}$ 是欧几里得整环，其中对每个非零整数 $a$ ，规定
$$
\delta(a)=|a| .
$$

例 5．5．2 域上的一元多项式环是欧几里得整环，其中对每个非零多项式 $f(x)$ ，规定

$$
\delta(f(x))=\operatorname{deg} f(x) .
$$

例 5．5．3 域 $F$ 都是欧几里得整环．对任意非零元素 $x \in F$ ，可以令 $\delta(x)=$ 0 ．于是对于任意 $a, b \in R, b \neq 0$ ，有 $a=\left(a b^{-1}\right) b+0$ ．

关于欧几里得整环，可以证明下面的重要结论．
定理 5．5．1 欧几里得整环是主理想整环。
证明 设 $R$ 是一个欧几里得整环，$\delta(x)$ 为其中的度量函数．设 $N$ 为 $R$ 的任一理想．若 $N$ 为零理想，则它当然是主理想 $N=(0)$ ．设 $N \neq(0)$ ，在 $N$ 中存在一个非零元素 $b$ 使得 $\delta(b)$ 最小的，可以证明 $N=(b)$ ．显然 $(b) \subseteq N$ ，故只要证明 $N \subseteq(b)$.

事实上，对于任意 $a \in N$ ，由欧几里得整环的性质，存在一对元素 $q$ 和 $r$ 使得

$$
a=q b+r,
$$

其中 $r=0$ ，或 $r \neq 0$ 但 $\delta(r)<\delta(b)$ ．由于 $a, b \in N$ ，故 $r=a-q b \in N$ ．根据元素 $b$ 的取法知，$r=0$ ，从而 $a=q b \in(b)$ ，故 $N \subseteq(b)$ ．因此 $N=(b)$ ．\＃

欧几里得整环实际上是具有带余除法的主理想整环。正如整数环一样，在欧几里得整环中可以应用欧几里得除法求两个元素的最大公因子。需要注意的是，同一个欧几里得整环 $R$ 可能存在多个不同的度量函数 $\delta(x)$ ．

同 5.2 节，记 $R_m$ 为二次数域 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ 的代数整环。关于 $R_m$ 的性质目前已知的结果有
（1）关于虚二次数域 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ ，其代数整数环 $R_m$ 为主理想整环的只有 9 种，即 $m=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$ ，其中前 5 种还是欧几里得整环，其中度量函数 $\delta(x)=N(x)=x \cdot \bar{x}$ ；
（2）关于实二次数域 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ ，其代数整数环 $R_m$ 为欧几里得整环的只有 16种，即 $m=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$ ，其中度量函数 $\delta(x)=|N(x)|$ ．

至于实二次数域的代数整数环 $R_m$ 有多少为主理想整环，高斯曾猜想有无限多个实二次域，其代数整数环为主理想整环，但至今未能证实。

下面再利用 $R_m$ 举几个欧几里得整环的例子．
例 5．5．4 证明高斯整数环 $R_{-1}=\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]=\{s+t \sqrt{-1} \mid s, t \in \mathbf{Z}\}$ 为欧几里得整环。

证明 注意到 $-1 \equiv 3(\bmod 4)$ ，取函数 $\delta(x)=N(x)$ ．

对于 $\alpha, \beta \in R_{-1}, \beta \neq 0$ ．令 $\frac{\alpha}{\beta}=s+t \sqrt{-1}, s, t \in \mathbf{Q}$ ．取整数 $u, v$ 使得 $|s-u| \leqslant \frac{1}{2},|t-v| \leqslant \frac{1}{2}$ ，令 $q=u+v \sqrt{-1}, r_1=(s-u)+(t-v) \sqrt{-1}$ ，则有 $\frac{\alpha}{\beta}=q+r_1$ ，即

$$
\alpha=q \beta+r_1 \beta .
$$

由于 $\alpha, \beta, q \in R_{-1}$ ，故 $r_1 \beta \in R_{-1}$ ．另一方面，由计算知

$$
\delta\left(r_1\right)=N\left(r_1\right)=(s-u)^2+(t-v)^2 \leqslant \frac{1}{4}+\frac{1}{4}<1,
$$

令 $r=r_1 \beta$ ，则有

$$
\delta\left(r_1 \beta\right)=N\left(r_1 \beta\right)=N\left(r_1\right) N(\beta)<N(\beta)=\delta(\beta)
$$

所以算式 $\alpha=q \beta+r$ 满足定义 5．5．1 中的条件，故 $R_{-1}$ 为欧几里得整环．\＃
仿例 5．5．4，可以证明当 $m=-2,2,3$ 时，$R_m$ 为欧几里得整环．下面再举一个 $R_m, m \equiv 1(\bmod 4)$ 的例子。

例 5．5．5 证明 $R_{-3}$ 为欧几里得整环．
证明 注意到 $-3 \equiv 1(\bmod 4), R_{-3}=\left\{\left.\frac{1}{2}(a+b \sqrt{-3}) \right\rvert\, a, b \in \mathrm{Z}, a, b\right.$ 同奇或同偶 $\}$ ．

取函数 $\delta(x)=N(x)$ ．对于 $\alpha, \beta \in R_{-3}, \beta \neq 0$ ．令 $\frac{\alpha}{\beta}=s+t \sqrt{-3}, s, t \in \mathbf{Q}$ ．先取一个整数 $v$ 使得 $|2 t-v| \leqslant \frac{1}{2}$ ，然后取一个整数 $u$ 使得 $|2 s-u| \leqslant 1$ 而且保持 $u$ 与 $v$ 同奇或同偶。令 $q=\frac{1}{2}(u+v \sqrt{-3}), r_1=\frac{1}{2}((2 s-u)+(2 t-v) \sqrt{-3})$ ，则有 $\frac{\alpha}{\beta}=q+r_1$ ，即

$$
\alpha=q \beta+r_1 \beta .
$$

由于 $\alpha, \beta, q \in R_{-1}$ ，故 $r_1 \beta \in R_{-1}$ ．另一方面，由计算知

$$
\delta\left(r_1\right)=N\left(r_1\right)=\left(\frac{2 s-u}{2}\right)^2+3\left(\frac{2 t-v}{2}\right)^2 \leqslant \frac{1}{4}+\frac{3}{16}<1
$$

令 $r=r_1 \beta$ ，则有

$$
\delta\left(r_1 \beta\right)=N\left(r_1 \beta\right)=N\left(r_1\right) N(\beta)<N(\beta)=\delta(\beta) .
$$

所以算式 $\alpha=q \beta+r$ 满足定义中的条件，故 $R_{-3}$ 为欧几里得整环．

\＃
仿例 5．5．5，可以证明，当 $m=-11,-7,5,13$ 时，$R_m$ 为欧几里得整环．

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