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主理想整环

5.4 主理想整环

本节将证明主理想整环都是唯一分解整环，并分析唯一分解整环添加什么条件可以构成主理想整环．

可以证明主理想整环中任意一对元素必有最大公因子，且有
定理 5．4．1 若 $R$ 是主理想整环，对于任意 $a, b \in R$ ，若 $(a)+(b)=(d)$ ，则 $d$ 是 $a, b$ 的一个最大公因子，而且 $d$ 可表成

$$
d=u a+v b \text {, 其中 } u, v \in R \text {. }
$$

证明 由 $(a) \subseteq(d),(b) \subseteq(d)$ 得 $d|a, d| b$ ，故 $d$ 是 $a, b$ 的一个公因子．
设 $c|a, c| b$ ，于是 $(a) \subseteq(c),(b) \subseteq(c)$ ，从而 $(a)+(b)=(d) \subseteq(c)$ ，于是 $c \mid d$ ，所以 $d$ 为 $a, b$ 的一个最大公因子．

\＃

更一般地有
推论 5．4．1 若 $R$ 是主理想整环，对于任意 $a_1, \cdots, a_r \in R$ ，若 $\left(a_1\right)+\cdots+ \left(a_r\right)=(d)$ ，则 $d$ 是 $a_1, \cdots, a_r$ 的一个最大公因子而且 $d$ 可表成 $d=u_1 a_1 +\cdots+u_r a_r$ ，其中 $u_i \in R, i=1,2, \cdots, n$ ．

环 $R$ 的理想序列 $N_1, N_2, \cdots$ 如果满足条件 $N_i \subseteq N_{i+1}, i=1,2, \cdots$ ，则称其为一个理想升链。由于主理想整环 $R$ 中每个理想都是主理想，$R$ 的因子降链与理想升链一一对应，故有

引理 5．4．1（1）主理想整环 $R$ 的任一理想升链 $\left\{\left(a_i\right)\right\}$ 恒有限，即存在正整数 $m$ ，使得

$$
\left(a_m\right)=\left(a_{m+1}\right)=\left(a_{m+2}\right)=\cdots
$$

（2）主理想整环 $R$ 的任一因子降链 $\left\{a_i\right\}$ 恒有限，即存在正整数 $m$ ，使得

$$
a_m \sim a_{m+1} \sim a_{m+2} \sim \cdots
$$

证明 注意到对任意 $a, b \in R,(a)=(b)$ 当且仅当 $a \sim b$ ，故结论（1）和（2）等价。

下面证明结论（1）．设 $\left\{\left(a_i\right)\right\}$ 是 $R$ 的一个理想升链，令 $N=\bigcup_i\left(a_i\right)$ ，则 $N$ 为 $R$ 的一个理想．又因为 $R$ 为主理想整环，故存在 $d \in R$ ，使得 $N=(d)$ ．根据 $N$ 的定义，$d$ 属于某个 $\left(a_m\right)$ ，从而 $N \subseteq\left(a_m\right)$ ．反之，显然 $\left(a_m\right) \subseteq N$ ，所以 $N=\left(a_m\right)$ ．由 $N$ 的定义知，

$$
N=\left(a_m\right)=\left(a_{m+1}\right)=\left(a_{m+2}\right)=\cdots
$$

故结论（1）成立．再由等价性，结论（2）也成立．

\＃

由于主理想整环满足因子降链条件，且任意一对元素必有最大公因子，故有
定理 5．4．2 主理想整环是唯一分解整环。
反之，在唯一分解整环中添加下面的条件也可以构成主理想整环。
定理 5．4．3 一个唯一分解整环 $R$ 是主理想整环当且仅当下列条件之一成立：
（1）$R$ 中元素 $a, b$ 的最大公因子都可以表示成 $a, b$ 的组合；
（2）$R$ 的每个不可约元 $a$ 生成的主理想为极大理想．
证明 必要性由定理 5．4．1 和 5.2 节的定理 5．2．2 可得，下面证明充分性．
（1）若 $R$ 中元素 $a, b$ 的最大公因子都可以表示成 $a, b$ 的组合，则有 $(a)+(b)=$ （d），其中 $d$ 是 $a, b$ 的一个最大公因子．要证明 $R$ 为主理想整环，只需证明设 $R$的任一非零理想 $N$ 为主理想。

在 $N$ 中任取一个非零元素 $a_1$ ，若差集 $N-\left(a_1\right)$ 非空，则在 $N-\left(a_1\right)$ 中取一个元素 $b_1$ ，令 $\left(a_1\right)+\left(b_1\right)=\left(a_2\right)$ ，于是 $\left(a_1\right) \subseteq\left(a_2\right)$ ，且 $\left(a_1\right) \neq\left(a_2\right)$ ．

若差集 $N-\left(a_2\right)$ 非空，则在 $N-\left(a_2\right)$ 中取一个元素 $b_2$ ，令 $\left(a_2\right)+\left(b_2\right)=\left(a_3\right)$ ，于是 $\left(a_2\right) \subseteq\left(a_3\right)$ ，且 $\left(a_2\right) \neq\left(a_3\right)$ ．

如此继续下去，最多 $n$ 步后 $N-\left(a_n\right)$ 为空集，其中 $n$ 不超过包含 $\left(a_1\right)$ 的主理想的个数，这个数目等于 $a_1$ 的相伴素因子类的类数．这就证明了 $N=\left(a_n\right)$ ，故 $R$ 为主理想整环．
故结论（1）成立．再由等价性，结论（2）也成立．

\＃

如此继续下去，最多 $n$ 步后 $N-\left(a_n\right)$ 为空集，其中 $n$ 不超过包含 $\left(a_1\right)$ 的主理想的个数，这个数目等于 $a_1$ 的相伴素因子类的类数．这就证明了 $N=\left(a_n\right)$ ，故 $R$ 为主理想整环．
例 5．4．1 整数环 $\mathbf{Z}$ 上的一元多项式环 $\mathbf{Z}[x]$ 不是主理想整环．
证明 由于 $\mathbf{Z}$ 为整环，故 $\mathbf{Z}[x]$ 也是整环。下面证明 $\mathbf{Z}[x]$ 中理想 $(2, x)$ 不是主理想．否则，存在首项系数为正整数的多项式 $g(x) \in \mathbf{Z}[x]$ ，使得 $(2, x)=(g(x))$ ．

由 $2 \in(g(x))$ 知，存在 $h(x) \in \mathbf{Z}[x]$ ，使得 $2=g(x) h(x)$ ，故 $\operatorname{deg} g(x)=0$ ，从而 $g(x)=1$ 或 2 ．

若 $g(x)=1$ ，则由 $(2, x)=(1)$ 知，存在 $u(x), v(x) \in \mathbf{Z}[x]$ ，使得 $1=2 u(x)+ x v(x)$ ．比较两边的次数知，$v(x)=0, u(x)$ 为常数，设为整数 $c$ ，则有 $1=2 c$ ，矛盾．

若 $g(x)=2$ ，则由 $x \in(2)=(2, x)$ 知，存在 $r(x) \in \mathbf{Z}[x]$ ，使得 $x=2 r(x)$ ．令 $x=1$ ，得 $1=2 r(1)$ ，矛盾．故 $(2, x)$ 不是主理想， $\mathbf{Z}[x]$ 不是主理想整环．\＃

在 5.6 节，我们将要证明唯一分解整环上的多项式整环仍然是唯一分解整环，因此 $\mathbf{Z}[x]$ 是一个唯一分解整环，但不是一个主理想整环。由此可见，唯一分解整环是比主理想整环更广泛的一类整环．

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