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唯一分解整环

5.3 唯一分解整环

整数环中的整数可以唯一分解成一些素数方幂的乘积，数域上的一元多项式可以唯一分解成一些不可约多项式的乘积，在一般整环中也可以类似考虑唯一因子分解问题．

定义 5．3．1 设 $R$ 是一个整环，若对 $R$ 中每个非零非单位的元素 $a$ 都有
（1）$a$ 可以分解为有限个不可约元的乘积 $a=p_1 p_2 \cdots p_s$ ，其中 $p_i(i=1,2, \cdots$ ， $s)$ 为不可约元；
（2）若 $a=p_1 p_2 \cdots p_s=q_1 q_2 \cdots q_t$ ，其中 $p_i(1 \leqslant i \leqslant s)$ 和 $q_j(1 \leqslant j \leqslant t)$ 为不可约元，则 $s=t$ ，且适当调换 $q_j$ 的次序后可以使得 $p_i \sim q_i, i=1,2, \cdots, s$ ．则称 $R$ 为唯一分解整环，也称高斯整环。

例如，整数环和域上一元多项式环都是唯一分解整环。下一节将证明主理想整环也是唯一分解整环。

设 $R$ 为唯一分解整环，则 $R$ 的每个非零非单位的元素 $a$ 都可以写成有限个不可约元的乘积．在每个不可约元的相伴类中取定一个代表元，于是得到不可约元的相伴代表系，记作 $S$ ．这样 $R$ 的每个非零元素 $a$ 可以唯一地写成 $S$ 中不可约元的方幂和一个单位的乘积，即有

$$
a=u \prod_{p_i \in S} p_i^{r_i}, \quad u \in U
$$

其中 $r_i \geqslant 0$ 而且除有限个 $r_i$ 外其余全为 $0, U$ 为环 $R$ 的单位群．（5．3．1）式称为环 $R$ 中元素 $a$ 的一个标准分解式．

设 $b \in R, b \neq 0$ ，元素 $b$ 的标准分解式为

$$
b=u^{\prime} \prod_{p_i \in S} p_i^{s_i}, \quad u^{\prime} \in U
$$

不难证明下面的结论都成立：
（1）$a \mid b$ 当且仅当 对所有的 $p_i \in S$ ，都有 $r_i \leqslant s_i$ ；
（2）$a \sim b$ 当且仅当 对所有的 $p_i \in S$ ，都有 $r_i=s_i$ ．

（3）$a$ 的因子分成相伴类，其类数有限，共有 $\prod_i\left(r_i+1\right)$ 类．
（4）令 $e_i=\min \left(r_i, s_i\right)$ ，则 $d=v \prod_{p_i \in S} p_i^{e_i}$ 是 $a, b$ 的一个最大公因子，其中 $v \in U$.
（5）令 $m_i=\max \left(r_i, s_i\right)$ ，则 $m=w \prod_{p_i \in S} p_i^{m_i}$ 是 $a, b$ 的一个最小公倍数，其中 $w \in U$.

根据上面的分析，唯一分解整环 $R$ 中任意一对元素都有最大公因子，并且唯一分解整环中每个元素不相伴的因子个数都有限．下面介绍更一般化的因子链条件，并给出唯一分解整环的几个等价判别条件．

定义 5．3．2 如果整环 $R$ 的元素序列 $a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots$ ，满足条件

$$
a_{i+1} \mid a_i, \quad i=1,2, \cdots,
$$

则 $\left\{a_i\right\}$ 叫做 $R$ 的一个因子降链．如果对于整环尺的任一因子降链

$$
a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots,
$$

恒存在一个正整数 $m$ 使得

$$
a_m \sim a_{m+1} \sim a_{m+2} \sim \cdots,
$$

则称整环 $R$ 满足因子降链条件．

整环 $R$ 满足因子链条件意味着 $R$ 中任何真因子序列 $a_1, a_2, \cdots a_i, \cdots$（其中 $a_{i+1}$ 是 $a_{i+1}$ 的真因子）只能含有有限项．显然，唯一分解整环满足因子链条件．满足因子链条件的整环还有下面的性质．

引理 5．3．1 若整环 $R$ 满足因子降链条件，则 $R$ 中每个非零非单位的元素 $a$ 都能写成有限个不可约元的积．

证明（反证法）假设存在 $R$ 中非零非单位的元素 $a$ 不能写成有限个不可约元的乘积，则 $a$ 不是不可约元，于是存在 $a$ 的真因子 $a_1, b_1$ ，使得 $a=a_1 b_1$ ，且 $a_1, b_1$ 至少有一个不能写成有限个不可约元的积．

不妨设 $a_1$ 不能写成有限个不可约元的乘积，则 $a_1$ 不是不可约元，于是存在 $a_1$ 的真因子 $a_2, b_2$ ，使得 $a_1=a_2 b_2$ ，且 $a_2, b_2$ 至少有一个不能写成有限个不可约元的积．

这样无限延续下去，可以得到一个具有无限项的因子降链

$$
a_1, a_2, \cdots, a_i, a_{i+1}, \cdots \text {, 其中 } a_{i+1} \mid a_i, i=1,2, \cdots
$$

这与整环 $R$ 满足因子降链条件矛盾．故整环 $R$ 中每个非零非单位的元素 $a$ 都能写成有限个不可约元的积．

\＃

下面给出唯一分解整环的几个等价判别条件．

定理 5．3．1 整环 $R$ 为唯一分解整环当且仅当 $R$ 满足下列两个条件：
（1）因子降链条件；
（2）每个不可约元都是素元．
证明 先证必要性．显然唯一分解整环 $R$ 满足因子链条件，下面证明 $R$ 中每个不可约元都是素元．设 $a$ 是 $R$ 的不可约元，且 $a \mid b c$ ，要证明 $a \mid b$ ，或者 $a \mid c$ ．不妨设 $b, c \neq 0$ 且 $b, c$ 都不可逆，则 $b, c$ 有分解式 $b=b_1 b_2 \cdots b_m, c=c_1 c_2 \cdots c_n$ ，其中 $b_i, c_j$ 都是不可约元，于是有

$$
a \mid b_1 b_2 \cdots b_m c_1 c_2 \cdots c_n
$$

由于 $R$ 为唯一分解整环且 $a$ 为不可约元，故存在 $b_i$ 或者 $c_j$ 使得 $a \sim b_i$ 或者 $a \sim c_j$ ，从而 $a \mid b$ ，或者 $a \mid c$ ，故 $a$ 为素元。

再证充分性．根据引理 5．3．1，$R$ 中每个非零非单位的元素 $a$ 都能写成有限个不可约元的乘积：

$$
a=p_1 p_2 \cdots p_s,
$$

下面利用 $R$ 中每个不可约元都是素元证明分解的唯一性．对不可约元 $p_i$ 的个数 $s$ 归纳．

不妨设 $a=p_1 p_2 \cdots p_s=q_1 q_2 \cdots q_t$ ．当 $s=1$ 时 $a=p_1$ 为不可约元，不能再分解成两个以上的不可约元的乘积，故 $t=1, a=p_1=q_1$ ．

假设结论对 $s-1$ 成立，下面证明结论对 $s$ 也成立．

由分解式 $a=p_1 p_2 \cdots p_s=q_1 q_2 \cdots q_t$ 可以得到 $p_1 \mid q_1 q_2 \cdots q_t$ ，由于 $p_1$ 为素元，故存在某个 $q_k$ ，使得 $p_1 \mid q_k$ ．由于 $q_i$ 的次序可任意排列，不妨设 $p_1 \mid q_1$ ，于是有 $q_1=u p_1$ 。由于 $p_1$ 和 $q_1$ 都是不可约元，故 $p_1 \sim q_1, u$ 为单位，将 $q_1=u p_1$ 代入 $a$的两个分解式中并消去 $p_1$ 得到

$$
p_2 \cdots p_s=\left(u q_2\right) \cdots q_t
$$

由归纳假设得，$s=t$ ，且适当调换次序后可以使得

$$
p_i \sim q_i, \quad i=2,3, \cdots, s .
$$

故结论对任意正整数 $s$ 都成立．因此，$R$ 为唯一分解整环．

\＃

下面介绍唯一分解整环的另一个判断条件．
引理 5．3．2 若整环 $R$ 的每一对元素都有最大公因子，则 $R$ 的每个不可约元都是素元。

证明 设 $p$ 为 $R$ 的任一不可约元，若 $p$ 不是素元，则存在 $a, b \in R$ ，使得

$$
p \mid a b \text {, 但 } p \nmid a, p \nmid b \text {. }
$$

因为 $p$ 为不可约元，故有

$$
(p, a) \sim 1, \quad(p, b) \sim 1,
$$

从而 $(p, a b) \sim 1$ ，这与 $p \mid a b$ 矛盾，故 $p$ 为素元．

\＃

由定理 5．3．1 和引理 5．3．2 可以得到
定理 5．3．2 整环 $R$ 为唯一分解整环当且仅当 $R$ 满足下列两个条件：
（1）因子降链条件；
（2）$R$ 中每一对元素都有最大公因子．
上一节的例 5．2．4 中，我们证明了代数整数环 $R_{-5}=\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b \sqrt{-5} \mid a$ ， $b \in \mathbf{Z}\}$ 中元素 6 有两种分解：

$$
6=2 \cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),
$$

其中 2,3 和 $1 \pm \sqrt{-5}$ 都是 $R_{-5}$ 的不可约元．因此 $R_{-5}$ 不是唯一分解整环．
对于这些不具有唯一分解性质的代数整数环 $R_m$ ，戴德金证明了相应的理想可以唯一分解，即有：代数整数环 $R_m$ 上任一非零非单位理想 $A$ 都可以唯一地写成一些素理想 $P_i$ 的方幂的乘积 $A=P_1^{e_1} \cdots P_r^{e_r}$ ．

就上面的例子来说，在 $R_{-5}$ 中 6 有两种分解 $6=2 \cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ ．把它写成理想的形式有

$$
(6)=(2) \cdot(3)=(1+\sqrt{-5}) \cdot(1-\sqrt{-5}),
$$

理想 $(2),(3),(1+\sqrt{-5}),(1-\sqrt{-5})$ 还可以进一步分解如下：

$$
\begin{aligned}
(2) & =P_1 \cdot P_3, & & (3)=P_2 \cdot P_4 \\
(1+\sqrt{-5}) & =P_1 \cdot P_2, & & (1-\sqrt{-5})=P_3 \cdot P_4
\end{aligned}
$$

其中
$$
\begin{array}{ll}
P_1=(2,1+\sqrt{-5}), & P_2=(3,1+\sqrt{-5}), \\
P_3=(2,1-\sqrt{-5}), & P_4=(3,1-\sqrt{-5}),
\end{array}
$$

$P_1, P_2, P_3, \cdots, P_4$ 都是 $R_{-5}$ 的极大理想，$R_{-5}$ 中理想（6）的最终分解形式为

$$
(6)=P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 \cdot P_4 .
$$

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