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唯一分解整环

5.3 唯一分解整环

整数环中的整数可以唯一分解成一些素数方幂的乘积，数域上的一元多项式可以唯一分解成一些不可约多项式的乘积，在一般整环中也可以类似考虑唯一因子分解问题．

定义 5．3．1 设 $R$ 是一个整环，若对 $R$ 中每个非零非单位的元素 $a$ 都有
（1）$a$ 可以分解为有限个不可约元的乘积 $a=p_1 p_2 \cdots p_s$ ，其中 $p_i(i=1,2, \cdots$ ， $s)$ 为不可约元；
（2）若 $a=p_1 p_2 \cdots p_s=q_1 q_2 \cdots q_t$ ，其中 $p_i(1 \leqslant i \leqslant s)$ 和 $q_j(1 \leqslant j \leqslant t)$ 为不可约元，则 $s=t$ ，且适当调换 $q_j$ 的次序后可以使得 $p_i \sim q_i, i=1,2, \cdots, s$ ．则称 $R$ 为唯一分解整环，也称高斯整环。

例如，整数环和域上一元多项式环都是唯一分解整环。下一节将证明主理想整环也是唯一分解整环。

设 $R$ 为唯一分解整环，则 $R$ 的每个非零非单位的元素 $a$ 都可以写成有限个不可约元的乘积．在每个不可约元的相伴类中取定一个代表元，于是得到不可约元的相伴代表系，记作 $S$ ．这样 $R$ 的每个非零元素 $a$ 可以唯一地写成 $S$ 中不可约元的方幂和一个单位的乘积，即有

$$
a=u \prod_{p_i \in S} p_i^{r_i}, \quad u \in U
$$

其中 $r_i \geqslant 0$ 而且除有限个 $r_i$ 外其余全为 $0, U$ 为环 $R$ 的单位群．（5．3．1）式称为环 $R$ 中元素 $a$ 的一个标准分解式．

设 $b \in R, b \neq 0$ ，元素 $b$ 的标准分解式为

$$
b=u^{\prime} \prod_{p_i \in S} p_i^{s_i}, \quad u^{\prime} \in U
$$

不难证明下面的结论都成立：
（1）$a \mid b$ 当且仅当 对所有的 $p_i \in S$ ，都有 $r_i \leqslant s_i$ ；
（2）$a \sim b$ 当且仅当 对所有的 $p_i \in S$ ，都有 $r_i=s_i$ ．

（3）$a$ 的因子分成相伴类，其类数有限，共有 $\prod_i\left(r_i+1\right)$ 类．
（4）令 $e_i=\min \left(r_i, s_i\right)$ ，则 $d=v \prod_{p_i \in S} p_i^{e_i}$ 是 $a, b$ 的一个最大公因子，其中 $v \in U$.
（5）令 $m_i=\max \left(r_i, s_i\right)$ ，则 $m=w \prod_{p_i \in S} p_i^{m_i}$ 是 $a, b$ 的一个最小公倍数，其中 $w \in U$.

根据上面的分析，唯一分解整环 $R$ 中任意一对元素都有最大公因子，并且唯一分解整环中每个元素不相伴的因子个数都有限．下面介绍更一般化的因子链条件，并给出唯一分解整环的几个等价判别条件．

定义 5．3．2 如果整环 $R$ 的元素序列 $a_1, a_2, \cdots, a_i, \cdots$ ，满足条件

$$
a_{i+1} \mid a_i, \quad

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