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整除、相伴、不可约元和素元

5.2 整除、相伴、不可约元和素元

本节介绍一般整环上的整除性，给出整除、相伴、最大公因子、不可约元、素元等基本概念和性质。

定义 5．2．1 设 $R$ 是一个整环 $a, b \in R$ ．
（1）如果存在 $c \in R$ 使得 $a=b c$ ，则称 $b$ 整除 $a$ ，记为 $b \mid a$ 。并称 $b$ 为 $a$ 的因子，$a$ 为 $b$ 的倍数；
（2）如果 $a \mid b$ ，且 $b \mid a$ ，则称 $a$ 与 $b$ 相伴，记作 $a \sim b$ ；
（3）如果 $a \mid b$ ，但 $b \nmid a$ ，则 $a$ 称为 $b$ 的真因子．
记 $U$ 为 $R$ 的全体可逆元构成的乘法群，则每个非零元 $a$ 都有两类平凡因子，即 $U$ 和 $U a$ ．容易验证相伴关系是一个等价关系，记 $a$ 所在的相伴类为 $\bar{a}$ ，则

$$
\bar{a}=\{U a \mid U \text { 是 } R \text { 的可逆元 }\} \text {. }
$$

例 5．2．1 因为 $\mathbf{Z}$ 有且仅有两个可逆元 $1,-1$ ，故对任意非零整数 $a$ ，有 $\bar{a}=\{a,-a\}$.

例 5．2．2 因为 $R[x]$ 的可逆元是 $R$ 的可逆元，故对任意 $f(x), g(x) \in R[x]$ ， $f(x), g(x)$ 相伴当且仅当存在 $R$ 的可逆元 $u$ ，使得 $f(x)=u g(x)$ ．

设 $R$ 是整环，$a, b, c \in R$ ，类似于整数环，容易证明下列简单性质成立：
（1） $1|a, a| 0$ ；
（2）$a \mid 1$ 当且仅当 $a$ 为 $R$ 的可逆元；
（3）若 $a \mid b$ ，则 $a c \mid b c$ ；
（4）若 $a \mid b$ ，且 $b \mid c$ ，则 $a \mid c$ ；（整除的传递性）
（5）若 $b_i, c_i \in R$ ，且 $a \mid b_i, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $a \mid \sum_{i=1}^n b_i c_i$ ；
（6）$a \mid b$ 当且仅当 $(b) \subseteq(a)$ ，进而，$a \sim b$ 当且仅当 $(a)=(b)$ ．

定义 5．2．2 设 $R$ 是一个整环，如果 $c \mid a$ 且 $c \mid b$ ，则称 $c$ 为 $a, b$ 的一个公因子．如果 $d$ 为 $a, b$ 的一个公因子，并且 $a, b$ 的任一公因子 $c$ 都整除 $d$ ，则称 $d$ 为 $a, b$ 的一个最大公因子，记为 $d \sim(a, b)$ ．

一般而言，整环中的一些元素的最大公因子不一定存在，参见本节末的例子．如果存在，它们必然相伴．如果 $(a, b) \sim 1$ ，则称 $a, b$ 互素．如果 $(a, b) \sim 1$ ， $(a, c) \sim 1$ ，则 $(a, b c) \sim 1$ ．

类似地，如果 $a \mid c$ 且 $b \mid c$ ，则称 $c$ 是 $a, b$ 的一个公倍数．如果 $c$ 为 $a, b$ 的一个公倍数，并且 $c$ 整除 $a, b$ 的任一公倍数，则称 $c$ 为 $a, b$ 的最小公倍数，记为 $c \sim[a, b]$ ．

定义 5．2．3 设 $R$ 是一个整环， $0 \neq a \in R$ ，且 $a$ 不是 $R$ 中的可逆元．若从 $a=b c$ 恒推出 $b \sim 1$ 或 $b \sim a$（即 $b$ 为可逆元或 $c$ 为可逆元），则称 $a$ 为 $R$ 的一个不可约元。

定义 5．2．4 设 $R$ 是一个整环， $0 \neq a \in R$ ，且 $a$ 不是 $R$ 中的可逆元．若从 $a \mid b c$ 恒推出 $a \mid b$ 或 $a \mid c$ ，则称 $a$ 为 $R$ 的一个素元．

例 5．2．3 整数环 $\mathbf{Z}$ 中，素数是不可约元，也是素元．域上的一元多项式环 $F[x]$ 中，不可约多项式是不可约元，也是素元．在这两种环中素元和不可约元是一样的．后面将证明主理想整环和唯一分解整环中素元和不可约元也都是一样的．

一般来说，不可约元不一定为素元，但素元一定是不可约元，且有下面的性质．
定理 5．2．1 设 $R$ 是一个整环，则对任意 $a \in R$ ，有
（1）$a$ 为素元当且仅当（ $a$ ）为素理想；
（2）素元是不可约元．
证明（1）由素元和素理想的定义容易证明第一个结果成立．
（2）设 $a$ 是整环 $R$ 的任一素元，用反证法证明 $a$ 是不可约元．假如 $a$ 可以分解为两个真因子 $b, c$ 的积 $a=b c$ ，则有 $a \mid b c$ ．由于 $a$ 为素元，故有 $a \mid b$ 或 $a \mid c$ ，即 $a \sim b$ 或 $a \sim c$ ，这与 $b, c$ 是 $a$ 的真因子矛盾．

\＃

特别地，在主理想整环中下面的结论成立．
定理 5．2．2 设 $R$ 是主理想整环，$a \in R$ ，则 $a$ 为不可约元当且仅当（ $a$ ）为非零极大理想．

证明 设 $a$ 为不可约元，$N$ 是任一真包含 $(a)$ 的理想，即 $(a) \subseteq N$ 且 $(a) \neq N$ ．由于 $R$ 是主理想整环，故存在 $b \in R$ ，使得 $N=(b)$ ．于是由 $(a) \subseteq N=(b)$可得 $b \mid a$ ，又因为 $(a) \neq N$ ，故 $a \nsim b$ ，所以 $b$ 是 $a$ 的一个真因子．由于 $a$ 为不可约元，故 $b \sim 1$ ，即 $N=(b)=R$ ，所以 $(a)$ 为 $R$ 的极大理想．

反之，设（a）为非零极大理想，则 $a \neq 0$ 且 $a$ 不可逆，下面证 $a$ 为不可约元．
假如 $a$ 可以分解为两个真因子 $b, c$ 的积 $a=b c$ ，则有 $(a) \subseteq(b),(a) \subseteq(c)$ ．因为 $b, c$ 都不可逆，故由 $(a)$ 的极大性知 $(a)=(b)$ 且 $(a)=(c)$ ，于是有 $a \sim b$ 或 $a \sim c$ ，这与 $b, c$ 是 $a$ 的真因子矛盾，故 $a$ 是不可约元．

\＃

由定理 5．2．1 容易得到
推论 5．2．1 主理想整环中的不可约元必是素元，非零素理想必是极大理想．
本节的最后介绍二次数域上的代数整数环，它们提供了许多特殊整环的实例。
设 $m$ 为整数，$m \neq 0,1$ ，且 $m$ 不含平方因子，记 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})=\{s+t \sqrt{m} \mid s, t \in \mathbf{Q}\}$ ，它关于复数的加减乘除运算封闭，构成复数域 $\mathbf{C}$ 的一个子域，叫做有理数域 $\mathbf{Q}$ 上

的一个二次数域．设 $\alpha$ 是复数，如果存在整系数多项式 $f(x)$ 使得 $f(\alpha)=0$ ，则称 $\alpha$ 为代数整数．

关于 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ 中的代数整数，有下列性质。
（1）若 $\alpha \in \mathbf{Q}$ ，则 $x-\alpha$ 是 $\alpha$ 的极小多项式，故 $\alpha$ 为代数整数当且仅当 $\alpha$ 为有理整数．
（2）若 $\alpha=s+t \sqrt{m} \in \mathbf{Q}(\sqrt{m}), t \neq 0$ ，则 $\alpha$ 的极小多项式为 $x^2-(\alpha+\bar{\alpha}) x+ \alpha \cdot \bar{\alpha}=x^2-2 s x+\left(s^2-m t^2\right)$ ，其中 $\bar{\alpha}=s-t \sqrt{m}, \alpha \cdot \bar{\alpha}$ 称为 $\alpha$ 的范数，记为 $N(\alpha)$ ．因而，
$\alpha$ 为代数整数当且仅当 $2 s$ 和 $\left(s^2-m t^2\right)$ 都为整数．令 $2 s=a, a \in \mathbf{Z}$ ．又令 $2 t=b$ ，则 $s^2-m t^2=\frac{1}{4}\left(a^2-m b^2\right)$ 。由此可见， $\alpha$ 为代数整数当且仅当 $a, b$ 为整数并且 $a^2-m b^2 \equiv 0(\bmod 4)$ ．而后者成立当且仅当下列条件之一成立：

当 $m \equiv 2$ 或 $3(\bmod 4)$ 时，$a, b$ 为偶数，即 $s, t$ 为整数；
当 $m \equiv 1(\bmod 4)$ 时，$a, b$ 同奇或同偶。
用 $R_m$ 表示 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ 中代数整数全体，则有
（1）当 $m \equiv 2$ 或 $3(\bmod 4)$ 时，$R_m=\{a+b \sqrt{m} \mid a, b \in \mathbf{Z}\}=\mathbf{Z}[\sqrt{m}]$ ；
（2）当 $m \equiv 1(\bmod 4)$ 时，$R_m=\left\{\left.\frac{1}{2}(a+b \sqrt{m}) \right\rvert\, a, b \in \mathbf{Z}\right.$ 且 $a, b$ 同奇或同偶 $\}=\mathbf{Z}[(1+\sqrt{m}) / 2]$ ．
可以验证 $R_m$ 是 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ 的一个子环，称为 $\mathbf{Q}(\sqrt{m})$ 的代数整数环．

下面举例说明在 $R_m$ 中如何判断不可约元，并举一个最大公因子不存在的例子。

例 5．2．4 记 $R_{-5}=\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b \sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbf{Z}\}$ 是 $\mathbf{Q}(\sqrt{-5})$ 的代数整数环，容易看出 $R_{-5}$ 中 6 有两种分解

$$
6=2 \cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),
$$

可以证明 2,3 和 $1 \pm \sqrt{-5}$ 都是 $R_{-5}$ 的不可约元，但不是素元，且 6 和 $2(1+\sqrt{-5})$没有最大公因子．

证明 首先确定 $R_{-5}$ 的单位．设 $\alpha=a+b \sqrt{-5}$ 是一个单位，则存在一个 $\beta=c+d \sqrt{-5}$ 使得 $\alpha \beta=1$ ．两边取范数得 $1=N(\alpha \beta)=N(\alpha) \cdot N(\beta)$ ．由于 $N(\alpha), N(\beta)$ 为正整数，故有 $N(\alpha)=N(\beta)=1$ ，即 $a^2+5 b^2=1$ 。从而 $b=0$ ， $a= \pm 1$ ．所以 $R_{-5}$ 仅有单位 $\pm 1$ ．因此，$R_{-5}$ 的元素 $\alpha, \beta$ 相伴当且仅当 $\alpha= \pm \beta$ ．

如果 $1+\sqrt{-5}$ 不是不可约元，不妨设 $1+\sqrt{-5}$ 有分解

$$
1+\sqrt{-5}=(a+b \sqrt{-5})(c+d \sqrt{-5})
$$

两边取范数得

$$
6=\left(a^2+5 b^2\right)\left(c^2+5 d^2\right)
$$

于是有

$$
\begin{array}{cc}
a^2+5 b^2=2, & c^2+5 d^2=3, \\
\text { 或 } a^2+5 b^2=1, & c^2+5 d^2=6, \\
\text { 或 } a^2+5 b^2=6, & c^2+5 d^2=1 .
\end{array}
$$

情形（1）不可能，而在情形（2）和（3）下可以得到 $a^2+5 b^2=1$ 或 $c^2+5 d^2=1$ ，于是有 $a+b \sqrt{-5}= \pm 1$ 或 $c+d \sqrt{-5}= \pm 1$ ，所以 $1+\sqrt{-5}$ 是不可约元．同理可证 $1-\sqrt{-5}, 2$ 和 3 也都是不可约元。

由于 2 整除 $6=2 \cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ ，但 2 不整除 $1 \pm \sqrt{-5}$ ，故 2 不是 $R_{-5}$ 的素元．类似可得 3 和 $1 \pm \sqrt{-5}$ 都不是素元．

从上面的分析可以看出， 6 和 $2(1+\sqrt{-5})$ 的公因子只有 $\pm 2$ 和 $\pm(1+\sqrt{-5})$ ，但它们不相伴，都不是其最大公因子，故 6 和 $2(1+\sqrt{-5})$ 没有最大公因子．\＃

上面的例子说明，在某些整环中不可约元不一定为素元，某些元素的最大公因子也不一定存在．下一节将介绍唯一分解整环的概念并证明唯一分解整环上这些结论都成立．

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