最后更新: 2025-12-24 16:46 查看: 6 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

交换么环上的多项式环

本章先介绍交换么环上的多项式环及其性质，再介绍整环上的整除性理论，给出整除、相伴、不可约元、素元、唯一分解整环、主理想整环、欧几里得整环等概念并讨论相关性质，最后简单介绍环论知识在编码和密码中的几个应用．
5.1 交换么环上的多项式环

高等代数课程中学习过数域上的多项式，本节将介绍交换么环上多项式的概念并着重研究整环上多项式的性质．

设 $R$ 为交换么环，$x$ 为环 $R$ 上的未定元，则形如

$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_i \in R\right)
$$

的表达式称为环 $R$ 上关于未定元 $x$ 的多项式．若 $a_n \neq 0$ ，称 $n$ 为 $f(x)$ 的次数，记作 $n=\operatorname{deg} f(x)$ ．规定 0 的次数为 $-\infty$ ，非零常数 $a=a x^0$ 的次数为 0 ．称最高次项 $a_n x^n$ 的系数 $a_n$ 为首项系数．称两个多项式 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$和 $g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0$ 相等当且仅当对任意 $i=1,2, \cdots$ ，都有 $a_i=b_i$ ．

记 $R[x]=\left\{a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_i \in R, n \geqslant 0\right\}$ 为环 $R$ 上关于未定元 $x$的所有多项式的全体，任取 $f(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i, g(x)=\sum_{j=0}^n b_j x^j \in R[x]$ ，定义多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的加法和乘法如下：

$$
\begin{gathered}
f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i+\sum_{j=0}^n b_j x^j=\sum_{k=0}^{\max (m, n)}\left(a_k+b_k\right) x^k, \\
f(x) g(x)=\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_i b_j x^{i+j}=\sum_{l=0}^{m+n} c_l x^l,
\end{gathered}
$$

其中 $c_l=\sum_{i+j=l} a_i b_j, l=0,1, \cdots, m+n$ ，并且当 $k>m$ 时规定 $a_k=0$ ，当 $k>n$时规定 $b_k=0$ ．按照上面的定义，$R[x]$ 构成一个环，称为环 $R$ 上的一元多项式环．
$R[x]$ 中各项系数全部为 0 的多项式称为零多项式，它是环 $R[x]$ 的零元．环 $R$的单位元 1 也是多项式环 $R[x]$ 的单位元．规定 $x^0=1$ ，环 $R$ 中的每个元素 $a$ 可以看成 $R[x]$ 上的常值多项式 $a=a x^0, R[x]$ 自然可视为 $R$ 的一个扩环．

容易验证 $R[x]$ 上任意两个多项式 $f(x), g(x)$ 的和与积的次数满足如下关系：

$$
\begin{gathered}
\operatorname{deg}(f(x)+g(x)) \leqslant \max (\operatorname{deg} f(x), \operatorname{deg} g(x)), \\
\operatorname{deg}(f(x) \cdot g(x)) \leqslant \operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x),
\end{gathered}
$$

其中当 $\operatorname{deg} f(x) \neq \operatorname{deg} g(x)$ 时（5．1．1）式的等号成立，而当 $f(x)$ 或 $g(x)$ 的首项系数不是零因子时（5．1．2）式的等号成立．特别地，当 $R$ 为整环时有

$$
\operatorname{deg}(f(x) \cdot g(x))=\operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x),
$$

由此可以得到
定理 5．1．1 若 $R$ 为整环，则 $R[x]$ 也是整环而且 $R[x]$ 的单位群与 $R$ 的单位群相同。

证明 先证明 $R[x]$ 是整环．因 $R$ 为交换么环，显然 $R[x]$ 也是交换么环．下面只要证明 $R[x]$ 为无零因子环．在 $R[x]$ 中任取两个非零多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，不妨设

$$
\begin{array}{ll}
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n, & \text { 其中 } a_n \neq 0 ; \\
g(x)=b_0+b_1 x+\cdots+b_m x^m, & \text { 其中 } b_m \neq 0,
\end{array}
$$

由于

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：没有了

下一篇：整除、相伴、不可约元和素元

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)