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交换么环上的多项式环

本章先介绍交换么环上的多项式环及其性质，再介绍整环上的整除性理论，给出整除、相伴、不可约元、素元、唯一分解整环、主理想整环、欧几里得整环等概念并讨论相关性质，最后简单介绍环论知识在编码和密码中的几个应用．
5.1 交换么环上的多项式环

高等代数课程中学习过数域上的多项式，本节将介绍交换么环上多项式的概念并着重研究整环上多项式的性质．

设 $R$ 为交换么环，$x$ 为环 $R$ 上的未定元，则形如

$$
f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \quad\left(a_i \in R\right)
$$

的表达式称为环 $R$ 上关于未定元 $x$ 的多项式．若 $a_n \neq 0$ ，称 $n$ 为 $f(x)$ 的次数，记作 $n=\operatorname{deg} f(x)$ ．规定 0 的次数为 $-\infty$ ，非零常数 $a=a x^0$ 的次数为 0 ．称最高次项 $a_n x^n$ 的系数 $a_n$ 为首项系数．称两个多项式 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$和 $g(x)=b_m x^m+\cdots+b_1 x+b_0$ 相等当且仅当对任意 $i=1,2, \cdots$ ，都有 $a_i=b_i$ ．

记 $R[x]=\left\{a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_i \in R, n \geqslant 0\right\}$ 为环 $R$ 上关于未定元 $x$的所有多项式的全体，任取 $f(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i, g(x)=\sum_{j=0}^n b_j x^j \in R[x]$ ，定义多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的加法和乘法如下：

$$
\begin{gathered}
f(x)+g(x)=\sum_{i=0}^m a_i x^i+\sum_{j=0}^n b_j x^j=\sum_{k=0}^{\max (m, n)}\left(a_k+b_k\right) x^k, \\
f(x) g(x)=\sum_{i=0}^m \sum_{j=0}^n a_i b_j x^{i+j}=\sum_{l=0}^{m+n} c_l x^l,
\end{gathered}
$$

其中 $c_l=\sum_{i+j=l} a_i b_j, l=0,1, \cdots, m+n$ ，并且当 $k>m$ 时规定 $a_k=0$ ，当 $k>n$时规定 $b_k=0$ ．按照上面的定义，$R[x]$ 构成一个环，称为环 $R$ 上的一元多项式环．
$R[x]$ 中各项系数全部为 0 的多项式称为零多项式，它是环 $R[x]$ 的零元．环 $R$的单位元 1 也是多项式环 $R[x]$ 的单位元．规定 $x^0=1$ ，环 $R$ 中的每个元素 $a$ 可以看成 $R[x]$ 上的常值多项式 $a=a x^0, R[x]$ 自然可视为 $R$ 的一个扩环．

容易验证 $R[x]$ 上任意两个多项式 $f(x), g(x)$ 的和与积的次数满足如下关系：

$$
\begin{gathered}
\operatorname{deg}(f(x)+g(x)) \leqslant \max (\operatorname{deg} f(x), \operatorname{deg} g(x)), \\
\operatorname{deg}(f(x) \cdot g(x)) \leqslant \operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x),
\end{gathered}
$$

其中当 $\operatorname{deg} f(x) \neq \operatorname{deg} g(x)$ 时（5．1．1）式的等号成立，而当 $f(x)$ 或 $g(x)$ 的首项系数不是零因子时（5．1．2）式的等号成立．特别地，当 $R$ 为整环时有

$$
\operatorname{deg}(f(x) \cdot g(x))=\operatorname{deg} f(x)+\operatorname{deg} g(x),
$$

由此可以得到
定理 5．1．1 若 $R$ 为整环，则 $R[x]$ 也是整环而且 $R[x]$ 的单位群与 $R$ 的单位群相同。

证明 先证明 $R[x]$ 是整环．因 $R$ 为交换么环，显然 $R[x]$ 也是交换么环．下面只要证明 $R[x]$ 为无零因子环．在 $R[x]$ 中任取两个非零多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，不妨设

$$
\begin{array}{ll}
f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n, & \text { 其中 } a_n \neq 0 ; \\
g(x)=b_0+b_1 x+\cdots+b_m x^m, & \text { 其中 } b_m \neq 0,
\end{array}
$$

由于 $R$ 为整环，故 $a_n b_m \neq 0$ ，从而 $f(x) g(x) \neq 0$ ，故 $R[x]$ 是整环．
另一方面，对任意 $f(x), g(x) \in R[x]$ ，若 $f(x) \cdot g(x)=1$ ，则 $\operatorname{deg} f(x)+ \operatorname{deg} g(x)=0$ ．从而 $\operatorname{deg} f(x)=\operatorname{deg} g(x)=0 . f(x)$ 和 $g(x)$ 只能是非零常数。因此它们都是 $R$ 中单位（可逆元），故 $R[x]$ 的单位群与 $R$ 的单位群相同．

\＃

对任意正整数 $n$ ，可以递归定义 $R\left[x_1, \cdots, x_n\right]=R\left[x_1, \cdots, x_{n-1}\right]\left[x_n\right]$ ．这样可以得到多元多项式环 $R\left[x_1, \cdots, x_n\right] . R\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 中的元素可写成

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=0}^r f_i\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right) x_n^i
$$

其中 $f_i\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right) \in R\left[x_1, \cdots, x_{n-1}\right]$ 。每个 $f_i\left(x_1, \cdots, x_{n-1}\right)$ 又可写成 $x_{n-1}$的多项式，系数属于 $R\left[x_1, \cdots, x_{n-2}\right]$ 。如此继续下去，$f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 最后可写成有限和形式

$$
f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=\sum_{i_1, \cdots, i_n>0} a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}, \quad a_{i_1 \cdots i_n} \in R
$$

因此每个 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 是一些单项式 $a_{i_1 \cdots i_n} x_1^{i_1} \cdots x_n^{i_n}$ 的有限和．
定理 5．1．1 的结论可以推广到多元多项式环上，即有

推论 5．1．1 若 $R$ 为整环，则多元多项式环 $R\left[x_1, \cdots, x_n\right]$ 也是整环，而且它的单位群与 $R$ 的相同．

数域上两个一元多项式间可以做带余除法，在一般交换么环上，当除式的首项系数为 1 时，也可以做带余除法，即有

定理 5．1．2（带余除法）若 $R$ 为一个交换么环，$f(x), g(x) \in R[x], g(x) \neq 0$而且 $g(x)$ 的首项系数为 1 ，则存在唯一的一对多项式 $q(x), r(x) \in R[x]$ ，使得

$$
f(x)=g(x) q(x)+r(x)
$$

其中 $r(x)=0$ ，或者 $\operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x)$ ．
在定理 5．1．2 中若 $r(x)=0$ ，则称 $g(x)$ 整除 $f(x)$ ，记成 $g(x) \mid f(x)$ ，此时 $g(x)$叫做 $f(x)$ 的因式，$f(x)$ 叫做 $g(x)$ 的倍式．

推论 5．1．2 设 $f(x) \in R[x], c \in R$ ，则 $f(x)$ 可表成 $f(x)=q(x) \cdot(x-c)+ f(c)$ ，故有
$(x-c) \mid f(x)$ 当且仅当 $c$ 为 $f(x)$ 的一个根．
证明 由带余除法，存在多项式 $q(x)$ 和常数 $r$ 使得 $f(x)=q(x) \cdot(x-c)+r$ ，故 $r=f(c)$ ．

如果 $(x-c) \mid f(x)$ ，则余式 $r=0$ ，从而 $f(c)=r=0$ ，故 $c$ 为 $f(x)$ 的一个根．反之，若 $c$ 为 $f(x)$ 的一个根，则 $f(c)=0$ ，从而 $r=0$ ，故 $(x-c) \mid f(x) . \quad \#$关于环上多项式的根的个数，下面的结论成立．

命题 5．1．1 设 $R$ 是一个整环，$f(x) \in R[x]$ 且 $\operatorname{deg} f(x)=n \geqslant 0$ ，则 $f(x)$在 $R$ 中至多有 $n$ 个不同的根．

证明 设 $F$ 为整环 $R$ 的商域，把 $f(x)$ 看作 $F[x]$ 上的多项式，与数域的情况类似可证。

\＃

需要说明的是，当 $R$ 不是整环时，命题 5．1．1 的结论不一定成立．
比如，环 $\mathbf{Z} /(15)$ 中多项式 $f(x)=x^2-\overline{1}$ 有 4 个根 $\overline{1}, \overline{4}, \overline{11}, \overline{14}$ ，而在四元数体 $H$ 中多项式 $f(x)=x^2-1$ 至少有 3 个根 $I, J, K$ ．注意到 $H$ 中元素的乘法不交换，对于任意 $\alpha \in H, \alpha I \alpha^{-1}$ 都是 $f(x)$ 的根，而且 $\alpha I \alpha^{-1}=\beta I \beta^{-1}$ 当且仅当 $\beta^{-1} \alpha \in R[I]$ ，对另外两个根也有类似的结果．

命题 5．1．2 设 $R$ 是一个整环，$R^*=R-\{0\}$ 是一个乘法么半群。则 $R^*$ 的任意一个有限子群都是循环群。

证明 设 $G$ 为 $R^*$ 的一个有限群，阶为 $n$ ，则 $G$ 为一个交换群。
对于 $n$ 的每个因子 $d$ ，根据命题 5．1．1，$x^d-1$ 在 $R$ 中最多有 $d$ 个不同的根，因此 $G$ 中至多有 $d$ 个元素，其阶整除 $d$ ，即 $G$ 至多有一个 $d$ 阶子群，根据 2.5 节的定理 2．5．5 知，$G$ 为循环群。

\＃

当 $R$ 不是整环时，命题 5．1．2 的结论也不一定成立．
比如，四元数体 $H$ 中，$\{ \pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$ 是一个 8 阶有限群但不是循环群．
又如，剩余类环 $\mathbf{Z} /(15)$ 中，$\{\overline{1}, \overline{4}, \overline{11}, \overline{14}\}$ 是 4 阶群但不是循环群。
对于 $q$ 元有限域 $F$ ，由命题 5．1．2 知 $F$ 中非零元素全体组成一个 $q-1$ 阶循环群，即有

推论 5．1．3 设 $F$ 为含 $q$ 个元素的有限域，则 $F$ 中非零元素组成的乘法群 $F^*$ 是一个 $q-1$ 阶循环群。

对于域上的一元多项式环，还可以证明下面的结论成立。
定理 5．1．3 域上的一元多项式环是主理想整环。
证明 设 $F[x]$ 为域 $F$ 上的一元多项式环，$N$ 为 $F[x]$ 的任一理想．由于零理想显然是主理想，故可设 $N \neq(0)$ ．在 $N$ 的非零元素中取一个次数最低的首项系数为 1 的多项式 $f(x)$ ，可以证明

$$
N=(f(x)) .
$$

显然 $(f(x)) \subseteq N$ ，反之，对任意 $g(x) \in N$ ，做带余除法

$$
g(x)=q(x) f(x)+r(x), \quad \operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} g(x)
$$

因 $N$ 为理想，故有

$$
r(x)=g(x)-q(x) f(x) \in N .
$$

根据 $f(x)$ 的选择知，$r(x)=0$ ，于是 $g(x) \in(f(x)), N \subseteq(f(x))$ ，所以 $N= (f(x))$ ．

\＃
定理 5．1．4 设 $F$ 为一域，$F[x]$ 为 $F$ 上一元多项式环，$f(x) \in F[x]$ 为一个次数 $\geqslant 1$ 的多项式，则下列叙述等价：
（1）$f(x)$ 不可约，即 $f(x)$ 不能分解为两个次数较低的多项式的乘积；
（2）理想 $(f(x))$ 为 $F[x]$ 的极大理想；
（3）$F[x] /(f(x))$ 为一域；
（4）$F[x] /(f(x))$ 为整环；
（5）$(f(x))$ 为 $F[x]$ 的素理想．
证明（1）⇒（2）设 $f(x)$ 不可约，要证（ $f(x))$ 为极大理想．设 $N$ 为 $F[x]$ 的包含 $(f(x))$ 的任意理想，由于 $F[x]$ 为主理想整环，故存在 $g(x) \in F[x]$ ，使得 $N= (g(x))$ ．

于是由 $(f(x)) \subseteq(g(x))$ 得 $g(x) \mid f(x)$ ，故存在 $h(x) \in F[x]$ ，使得 $f(x)= g(x) h(x)$ 。因为 $f(x)$ 不可约，故 $g(x)$ 或者 $h(x)$ 为单位，从而 $(g(x))=(1)= F[x]$ 或者 $(g(x))=(f(x))$ ，即有 $N=(f(x))$ 或者 $N=F[x]$ ，故 $(f(x))$ 为极大理想。
（2）⇒（3）由极大理想的性质可得．
（3）⇒（4）显然．
（4）⇒（5）由素理想的性质可得．
（5）⇒（1）（用反证法）若 $f(x)$ 可约，不妨设 $f(x)=g(x) h(x)$ ，其中 $\operatorname{deg} g(x) <\operatorname{deg} f(x), \operatorname{deg} h(x)<\operatorname{deg} f(x)$ ，则 $g(x) \notin(f(x)), h(x) \notin(f(x))$ ，但是 $g(x) h(x)=f(x) \in(f(x))$ ，这与 $(f(x))$ 为素理想矛盾．

\＃

更一般地，还可以讨论添加包含 $R$ 的环 $R^{\prime}$ 中某元素 $u$ 得到的多项式环

$$
R[u]=\left\{f(u)=a_n u^n+\cdots+a_1 u+a_0 \mid a_i \in R, n \geqslant 0\right\}
$$

的性质．例如，有理数域 $\mathbf{Q}$ 上添加 $\sqrt{2}$ 得到的多项式环为

$$
\mathbf{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbf{Q}\} .
$$

本节证明了域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 是主理想整环，并且 $F[x]$ 中的素理想也是极大理想，它们都是由不可约多项式生成的理想．类似于数域上多项式的证明方法，基于带余除法或者后面将要介绍的主理想整环的性质，可以证明 $F[x]$上每个多项式可以唯一分解成一些不可约多项式的乘积。

整数环 $\mathbf{Z}$ 和域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 是两类重要的主理想整环，其中可以定义整除，存在带余除法和唯一因子分解，从下一节开始，我们将讨论一般整环上的整除关系，并给出不可约元、素元、最大公因子、互素、元素的唯一分解等概念．

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