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可分扩张(2)

推论 6．5．3 设 $L$ 为有限扩张 $K / F$ 的任一中间域，则 $K / F$ 是可分扩张当且仅当 $K / L$ 和 $L / F$ 都是可分的．

证明 必要性显然．下证充分性．设 $K / L$ 和 $L / F$ 为可分扩张．由定理6．5．2的第一部分的证明，可知嵌入数有等式

$$
N(F, K)=N(F, L) N(L, K) .
$$

因为 $K / L$ 和 $L / F$ 都可分，根据定理6．5．2，有

$$
N(L, K)=[K: L], N(F, L)=[L: F] .
$$

由域的次数公式即得 $N(F, K)=[K: F]$ ．再由定理 6．5．2 可知 $K / F$ 是可分的．
需要说明的是，当 $K / F$ 为代数扩张时，推论6．5．3 的结论也成立．
推论 6．5．4 设 $\alpha$ 为 $F$ 上的代数元，则 $\alpha$ 为 $F$ 上的可分元当且仅当 $F(\alpha)$为 $F$ 上的可分扩张．

推论 6．5．5 在代数扩张 $K / F$ 中可分元素的和、差、积、商（0 不作除数）都是可分的．

推论 6．5．6 一个可分多项式的分裂域是可分的．
联合推论 6．5．6 与定理 6．4．3 可以得到

定理 6．5．3 一个有限扩张 $E / F$ 是可分正规的当且仅当 $E$ 是 $F$ 上一个可分多项式的分裂域。

类似于代数闭包和正规闭包，也可以如下定义代数扩张的可分闭包．
定义 6．5．4 设 $K / F$ 为任一代数扩张，$K$ 中在 $F$ 上可分的元素全体构成 $K$的一个子域，称为 $F$ 在 $K$ 中的可分闭包，记为 $\boldsymbol{K}_s$ ．

定义 6．5．5 设 $F$ 为域，如果 $F[x]$ 中每个不可约多项式都是可分的，则称 $F$为完全域。

特征 0 的域是完全的，例6．5．1 中的 $F=\mathbf{F}_p(t)$ 不是完全的．
引理6．5．3 设 $F$ 为特征为素数 $p$ 的域，$a \in F$ ．如果 $a$ 在 $F$ 内可开 $p$ 次方，则 $x^p-a$ 在 $F$ 上可以完全分解成

$$
x^p-a=(x-b)^p, \quad b \in F ;
$$

否则，$x^p-a$ 在 $F$ 上不可约．
证明（1）若 $a$ 在 $F$ 内可开 $p$ 次方，即存在 $b \in F$ ，使得 $a=b^p$ ，则有

$$
x^p-a=x^p-b^p=(x-b)^p .
$$

（2）若 $a$ 在 $F$ 内不能开 $p$ 次方，下面证明此时 $x^p-a$ 在 $F$ 上不可约．
否则，设 $x^p-a$ 在 $F[x]$ 内可以分解成 $x^p-a=g(x) \cdot h(x)$ ，其中 $g(x)$ 为首一多项式，且次数 $r$ 满足 $1 \leqslant r<p$ 。设 $\alpha$ 为 $x^p-a$ 在其分裂域 $K$ 内的一个根，在 $K$ 内考虑 $x^p-a$ 的分解，有

$$
x^p-a=x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p=g(x) \cdot h(x),
$$

从而 $g(x)=(x-\alpha)^r=x^r+\cdots+(-1)^r \alpha^r \in F[x]$ ，于是 $\alpha^r \in F$ ．
又因为 $\alpha^p=a \in F$ ，且 $(r, p)=1$ ，令 $u r+v p=1$ ，于是 $\alpha=\alpha^{u r+v p}= \left(\alpha^r\right)^u\left(\alpha^v\right)^p \in F$ ，这说明 $a$ 在 $F$ 内可开 $p$ 次方，与假设矛盾。故此时 $x^p-a$ 在 $F$上不可约．

由引理6．5．3 可以得到
命题 6．5．1 一个特征为素数 $p$ 的域 $F$ 是完全域当且仅当 $F$ 的每个元素在 $F$ 内可开 $p$ 次方，即 $F^p=F$ ，其中 $F^p=\left\{a^p \mid a \in F\right\}$ 。

证明 先证必要性．用反证法，如果 $F^p \neq F$ ，则存在 $a \in F$ 但 $a \notin F^p$ ，即 $a$ 在 $F$ 内不能开 $p$ 次方．根据引理 6．5．3 知，$x^p-a$ 在 $F$ 上不可约，但是 $x^p-a$在 $F$ 上不可分，所以 $F$ 不是完全域，与题设矛盾，故 $F^p=F$ ．

再证充分性．设 $F^p=F$ ，如果 $F$ 不是完全域，则 $F[x]$ 中存在不可分的不可约多项式 $f(x)$ ．由于 $f(x)$ 不可分，故 $f(x)$ 可写成

$$
f(x)=g\left(x^p\right)
$$

其中 $g(x)=x^m+b_1 x^{m-1}+\cdots+b_m \in F[x]$ ．另一方面，由于 $F^p=F$ ，故 $b_i$ 在 $F$内可开 $p$ 次方，不妨设 $b_i=c_i^p$ ，其中 $c_i \in F$ 。令 $h(x)=x^m+c_1 x^{m-1}+\cdots+c_m$ ，则有

$$
f(x)=h(x)^p
$$

这说明 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中是可约的，与假设矛盾，故 $F$ 是完全域．
对于特征为 $p$ 的有限域 $F$ ，可以证明 $\sigma: x \mapsto x^p$ 是 $F$ 到自身的同构映射，称为弗罗贝尼乌斯（Frobenius）自同构。因此有 $F^p=F$ ，故有限域都是完全域。此外还可以证明

命题 6．5．2 完全域上的代数扩张还是完全的．
证明 设 $F$ 为一个完全域，$K / F$ 为一代数扩张．因为特征为 0 的域都是完全域，只需考虑 $\operatorname{char}(F)=p>0$ 的情况。

对任一 $\alpha \in K$ ，考虑中间域 $E=F(\alpha), E$ 有一个自同态 $\sigma: x \mapsto x^p$ ，在这个自同态下，$\sigma(E)=\sigma(F)(\sigma(\alpha))$ ，而且 $\sigma(\alpha)$ 在 $\sigma(F)$ 上的次数等于 $\alpha$ 在 $F$ 上的次数．由于 $F$ 为一个完全域，$\sigma(F)=F^p=F$ ，于是 $E^p=F\left(\alpha^p\right),\left[E^p: F\right]= [E: F]$ ，所以 $E^p=E$ ．

由 $\alpha$ 的任意性知，$K^p=K$ ，因而 $K$ 是完全域。
下面考虑有限扩张 $K / F$ 在什么条件下是单扩张，即是否存在元素 $\alpha \in K$ ，使得 $K=F(\alpha)$ ．这样的元素 $\alpha$ 称为 $K / F$ 的一个本原元素．

对于有限域，下面的结论成立．
命题 6．5．3 有限域都是单扩张．
证明 设 $K$ 是一个有限域， $\mathbf{F}_p$ 为其素子域。由 5.1 节的推论 5．1．3 知，作为乘法群，$K^*$ 是一个循环群．设 $\xi$ 为 $K^*$ 的一个生成元，则有 $K=\mathbf{F}_p(\xi)$ ，故 $K$ 为 $\mathbf{F}_p$ 上的单扩张．

更一般地，有结论
命题 6．5．4 有限可分扩张都是单扩张．
证明 不妨设 $E / F$ 为一个有限扩张，$E=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_r\right)$ ，其中 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r$是可分元．

当 $F$ 为有限域时，由于有限域的有限扩张仍然是一个有限域，而有限域都是单扩张，故 $E / F$ 是单扩张．

以下设 $F$ 为无限域．先证 $r=2$ 的情形，不妨设 $K=F(\alpha, \beta)$ ，其中 $\beta$ 为可分元，求证 $E / F$ 为单扩张．当 $r>2$ 时类似可以递归证明．

设 $f(x), g(x)$ 分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的极小多项式，并设 $E / K$ 为 $f(x) g(x)$ 在 $K$ 上的分裂域，$\alpha_1=\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 和 $\beta=\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $E$内的全部根，考虑下列方程

$$
\alpha_i+y \beta_j=\alpha_k+y \beta_1 \text {, 其中 } j \neq 1 \text {. }
$$

因为 $\beta_j \neq \beta_1, j \neq 1$ ，每个方程在 $F$ 内只有一个解，方程个数有限而 $F$ 的元素无限，因而存在一个 $c \in F$ 使得

$$
\alpha_i+c \beta_j \neq \alpha_k+c \beta_1
$$

对所有的 $i, j, k, j \neq 1$ 都成立．
令 $\theta=\alpha_1+c \beta_1$ ，则 $f(\theta-c x)$ 和 $g(x)$ 仅有公共根 $\beta_1$ ．因为 $x-\beta_1$ 是 $g(x)$的单因式，所以 $f(\theta-c x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式是 $x-\beta_1$ ，注意 $f(\theta-c x)$ 和 $g(x)$ 的系数都属于 $F(\theta)$ ，故在 $F(\theta)[x]$ 内存在两个多项式 $u(x)$ 和 $v(x)$ ，使得 $u(x) f(\theta-c x)+v(x) g(x)=x-\beta_1$ ，因而 $\beta_1 \in F(\theta)$ ，于是 $\alpha_1=\theta-c \beta_1 \in F(\theta)$ ．反之，显然 $F(\theta) \subseteq F(\alpha, \beta)$ ，因而 $F(\alpha, \beta)=F(\theta)$ ．

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